sinus - mathématiques. 1 PRÉSENTATION sinus (mathématiques), fonction trigonométrique, dite aussi fonction circulaire, complémentaire de la fonction cosinus, introduites toutes deux dans la définition de la mesure d'un angle en géométrie euclidienne. Si la trigonométrie est une discipline mathématique datant de l'époque babylonienne, il y a plus de 3 000 ans, la définition des fonctions sinus et cosinus, telles qu'elles sont connues aujourd'hui, date du XVIe siècle seulement. Les astronomes de l'Antiquité grecque utilisaient ainsi une version archaïque de la fonction sinus d'un angle, la fonction corde, qui est le quotient entre la corde et la longueur de l'arc de cercle sous-tendu par un angle. Si à l'origine les fonctions trigonométriques étaient surtout destinées à mesurer les angles, elles interviennent, depuis l'invention du calcul infinitésimal, dans la description de nombreux phénomènes naturels, telle la houle, ou des phénomènes forcés, telles les oscillations mécaniques d'un ressort ou d'un pendule, et d'une façon très générale, dans tous les phénomènes ondulatoires ou périodiques. 2 GÉOMÉTRIE PURE Pour définir le sinus d'un angle, il est sans doute plus simple de l'introduire à l'aide d'un triangle rectangle, tel celui de la figure ci-dessous : En désignant par hypoténuse d'un triangle rectangle, le segment de droite opposé à l'angle droit du triangle, autrement dit le segment de droite formant des angles aigus avec les deux autres segments, et en notant C, A et B les trois sommets de ce triangle, tels que [CA] soit perpendiculaire à [CB] et ? l'angle que forme entre eux les deux segments de droite [AC] et [AB], l'hypoténuse est égale au segment [AB] et le sinus de l'angle ?, noté sin ?, est tel que : sin ? = CB / AB c'est-à-dire le quotient de la longueur du segment opposé à ? par la longueur de l'hypoténuse Le théorème de Pythagore permet d'exprimer la mesure de l'hypoténuse en fonction des deux autres côtés, par la relation : AB2 = CA2 + CB2, soit AB = (CA2 + CB2)1/2 Comme le montre la relation précédente, la longueur de l'hypoténuse AB est toujours supérieure à celles des deux autres côtés, ainsi la valeur absolue du sinus d'un angle est toujours inférieure à 1, ce qui peut se traduire par la relation : cos2 ? + sin2 ? = 1 Pour obtenir le sinus d'un angle ? entre deux droites D et D' sécantes en un point A, il suffit de se rapporter à la figure précédente : on choisit ainsi un point B sur l'une des deux droites, D par exemple, pour l'abaisser perpendiculairement sur la droite D' et ainsi obtenir le point C ; on a alors la même configuration que celle du triangle rectangle décrit dans le paragraphe précédent, ce qui permet de définir le sinus de l'angle ? de façon identique. 3 LOI DES SINUS Soit un triangle (ABC) et le cercle circonscrit de rayon R, la loi des sinus indique les relations d'égalité entre les côtés du triangle, les sinus des angles et le rayon du cercle circonscrit. En notant a, b et c les angles respectifs entre les segments [AB] et [AC], [BA] et [BC], puis [CB] et [CA], on a : 4 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE ET PROJECTIVE Soient x et y l'abscisse et l'ordonnée d'un point M dans un plan défini par un repère orthonormé d'origine O et (r, ?) ses coordonnées polaires. Alors, les relations entre les deux systèmes de coordonnées sont données par : x = r cos ? et y = r sin ? où cos est le symbole de la fonction trigonométrique cosinus. On a alors : Comme y est toujours inférieur à r, le sinus d'un angle est ainsi toujours compris entre - 1 et + 1. Un cercle unitaire centré sur O contient tous les points M du plan tel que : r = (x2 + y2)1/2 = 1 (équation d'un cercle unitaire) L'ordonnée de chacun de ces points M est donc égale au sinus de l'angle ?, correspondant à l'angle entre l'axe des abscisses et l'axe passant par l'origine O et le point M. En géométrie projective, le sinus de l'angle ? entre deux vecteurs et est défini par la norme de leur produit vectoriel divisée par le produit de leurs normes : Dans un plan vectoriel euclidien orienté, la rotation d'angle ? par rapport à une base orthonormée directe est une matrice de la forme : 5 ANALYSE D'un point de vue analytique, la fonction sinus est définie, continue et dérivable sur l'ensemble des nombres réels . Elle est périodique, de période égale à 2p, d'où : sin (x + 2p) = sin x Elle est croissante sur l'intervalle [- p/2, p/2] avec sin (- p/2) = - 1, sin (p/2) = 1 et sin (0) = 0, et strictement décroissante sur l'intervalle [p/2, 3p/2], avec sin (3p/2) = - 1. La fonction sinus est une fonction impaire [sin (- x) = - sin x] et sa dérivée est égale à la fonction cosinus : (sin x)' = d (sin x)/dx = cos x Sa dérivée seconde est donc égale à elle-même au signe près : (sin x)'' = - sin x La fonction sinus est donc solution des équations différentielles de type f'' = - f, propriété caractéristique des phénomènes ondulatoires. Les apports du calcul infinitésimal ont permis de développer en série entière la fonction sinus : où n!, dit factorielle n, est égal au produit de tous les entiers inférieurs à n : n! = n × (n- 1) × (n- 2)... × 3 × 2 × 1 Au XVIIIe siècle, le mathématicien Euler définit la fonction sinus complexe dans à partir de l'exponentielle complexe, par la relation : sin x = (eix - e-ix)/2i où i est l'imaginaire pur tel que i2 = -1 ; la fonction sin x est la partie imaginaire de la fonction complexe eix : eix = cos x + i sin x La réciproque de la fonction sinus d'un réel x est la fonction multiforme (ou multivoque) Arc sinus, notée Arc sin : pour toute variable réelle x de telle que le réel y soit défini par y = sin x, on a x = Arc sin y ; la fonction Arc sin associe ainsi à tout réel une infinité de réels y ; lorsqu'il s'agit de mesures d'angles, le réel x est alors exprimé usuellement en radians. 6 GÉOMÉTRIE HYPERBOLIQUE Le sinus hyperbolique, noté sh, joue en géométrie hyperbolique un rôle analogue à celui de la fonction sinus en géométrie euclidienne (voir non-euclidienne, géométrie). Pour tout réel x, on appelle sinus hyperbolique de x, le nombre réel sh x tel que : sh x = (ex - e-x)/2 où e est la base de la fonction exponentielle. Le sinus hyperbolique est une fonction impaire, strictement décroissante pour tous les réels ; la limite de la fonction sh tend vers plus, respectivement moins, l'infini lorsque x tend vers plus, respectivement moins, l'infini : Sa dérivée est égale à la fonction cosinus hyperbolique, notée ch. Le développement en série du sinus hyperbolique est donné par : La fonction réciproque de la fonction sh est nommée argument du sinus hyperbolique ; elle est notée Arg sh. C'est une bijection de démontre que : Sa dérivée est la fonction : Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés. sur . Pour tout réel x, tel que x = sh y , le nombre Arg sh x est l'unique réel y non nul, défini par y = Arg sh x. On
