transformations - mathématiques.

transformations - mathématiques. 1 PRÉSENTATION transformations (mathématiques), applications du plan ou de l'espace sur lui-même, associant deux objets géométriques, points ou figures. Les transformations les plus répandues sont les translations, les rotations, les symétries et les homothéties. 2 HISTORIQUE Comparée à celle de la géométrie, l'histoire des transformations est relativement récente. En effet, mathématiciens et géomètres ne se sont intéressés vraiment à ces applications qu'à la fin du XVIIIe siècle. C'est à cette période que les Français Jean Victor Poncelet et Michel Chasles voient en elles de nouveaux outils de démonstration. Au XIXe siècle, des mathématiciens comme Arthur Cayley puis Felix Klein étudient de façon plus générale et systématique les propriétés d'invariance, établissant grâce aux transformations un lien fécond entre algèbre et géométrie. Dans ce même cadre, l'étude des transformations permet de proposer un modèle unificateur, regroupant la géométrie euclidienne et les géométries non-euclidiennes, celles-ci jusque-là considérées comme des cas atypiques. 3 GROUPES DE TRANSFORMATIONS Pour étudier les transformations, il convient tout d'abord de préciser l'espace de travail. Ainsi, une transformation peut faire correspondre deux figures dans le plan, mais aussi dans l'espace à trois dimensions, ou plus généralement dans un espace de dimension n. Le mathématicien allemand Klein a montré de façon quasi générale que l'ensemble E des différentes transformations forme un groupe, c'est-à-dire une structure munie d'une loi de composition interne, d'un élément neutre et d'une application inverse. En effet, on démontre que la composition de deux transformations de E est une transformation appartenant à E. De plus, si on considère la transformation dite identité I, qui associe à toute figure elle-même, cette transformation constitue un élément neutre pour la composition, car la composition d'une transformation T avec I est la transformation T. Enfin, toute transformation T de E a un inverse T' dans E tel que la composition de T et T' soit égale à I. Ce groupe des transformations contient des sous-groupes, qui permettent de classer les différentes transformations. Ainsi, le sous-groupe principal est engendré par les rotations, les translations et les symétries orthogonales. Les différents sousgroupes de transformations sont hiérarchisés, le groupe principal étant l'un des plus restreints. 4 TRANSFORMATIONS PONCTUELLES 4.1 Dans le plan Parmi les transformations géométriques courantes du plan, on peut mentionner les translations, les rotations, les symétries et les homothéties. 4.1.1 Translations Soit un vecteur 4.1.2 du plan. On appelle translation de vecteur la transformation qui à tout point M du plan associe le point M' tel que = . Rotations Soit un point O du plan et un angle ?. On appelle rotation de centre O et d'angle ? la transformation qui à tout point M du plan associe le point M' tel que = et tel que ? soit l'angle orienté formé par les vecteurs et . Autrement dit, les points M et M' sont les extrémités d'un arc de cercle centré en O et de mesure ?. Le seul point invariant par cette rotation est le point O. 4.1.3 Symétries Soient deux droites D et D' non parallèles. On appelle symétrie par rapport à D et parallèlement à D' la transformation qui à tout point M du plan associe le point M' tel que =2 , où P est l'intersection de D avec la droite passant par M et parallèle à D'. Toute symétrie S est une involution, ce qui signifie que pour tout point M du plan, S(S(M)) = M. Lorsque D et D' sont orthogonales, S est appelée symétrie orthogonale par rapport à D. 4.1.4 Homothéties Soit un point O du plan et k un réel. On appelle homothétie de centre O et de rapport k la transformation qui à tout point M du plan associe le point M' tel que centre O et d'angle p, encore appelée symétrie centrale de centre O. =k . Si k = 1, l'homothétie est l'identité I. Si k = - 1, l'homothétie est la rotation de L'ensemble des homothéties et des translations muni de la loi de composition est un groupe. 4.2 Dans l'espace On rencontre dans l'espace usuel les mêmes transformations courantes que dans le plan. Les translations et les homothéties s'y définissent de la même manière. Les symétries et les rotations y nécessitent généralement une définition propre. La symétrie orthogonale par rapport à une droite demeure valable dans l'espace. La symétrie orthogonale par rapport à un plan fait correspondre à tout point M un point M' tel que le plan soit un plan médiateur de MM'. Une rotation se définit relativement à un axe. Si D est une droite de l'espace, on appelle rotation d'axe D et d'angle ? la transformation qui à tout point M de l'espace associe le point M' tel que passant par M, et tel que ? soit l'angle orienté formé par les vecteurs et = , où P est l'intersection de la droite D avec le plan orthogonal à D . Par conséquent, les points M et M' sont les extrémités d'un arc de cercle centré en P et de mesure ?. Les points invariants par cette rotation sont ceux de l'axe de rotation D. 5 ISOMÉTRIES Pour préciser les propriétés de certaines transformations, on choisit d'orienter le plan ou l'espace. Ainsi, l'angle entre deux vecteurs est une valeur algébrique, qui peut être positive ou négative. On nomme isométrie une transformation qui conserve les distances. Autrement dit, une transformation T est une isométrie si, pour tous points M et M' du plan ou de l'espace, la distance de M à M' est égale à celle de T(M) à T(M'). Dans le plan ou l'espace usuel orienté, on distingue deux types d'isométries : les déplacements et les antidéplacements. 5.1 Déplacements Une isométrie est un déplacement si elle conserve les angles. En d'autres termes, l'isométrie T est un déplacement si, pour tous points M, M', N, N' du plan ou de l'espace, l'angle formé par les vecteurs formé par les vecteurs et et est égal en valeur algébrique à celui . Ainsi, les translations et les rotations sont des déplacements. 5.2 Antidéplacements En reprenant les mêmes notations que pour la définition d'un déplacement, on dit qu'une isométrie est un antidéplacement si l'angle formé par les vecteurs et est l'opposé de celui formé par les vecteurs et . Par exemple, les symétries orthogonales sont des antidéplacements. 6 TRANSFORMATIONS DES FIGURES Jusqu'ici, on ne s'est intéressé qu'aux transformations associant deux points du plan, qui s'avèrent en effet les plus simples à définir et à étudier de manière rigoureuse. Il est ensuite facile d'associer à ces transformations ponctuelles des transformations mettant en correspondance des figures géométriques. En effet, ces dernières étant des ensembles de points, on peut aisément passer d'une figure à l'autre en cherchant l'image de tous les points formant la figure initiale. De plus, comme dans le plan et l'espace usuels une droite est toujours transformée en une droite, la recherche de l'image d'une figure géométrique par une transformation peut encore se simplifier dans certains cas. Ainsi, pour trouver la transformée d'un quadrilatère, il suffit généralement de connaître l'image de ses sommets et de quelques autres points particuliers. Par ailleurs, les propriétés des isométries permettent de déterminer rapidement l'image d'une figure simple. Par exemple, pour transformer un rectangle par une rotation, il suffit de calculer l'image d'un de ses sommets. La rotation étant un déplacement, il suffit ensuite d'appliquer la conservation des angles et des distances pour tracer la figure image. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.