vecteur - mathématiques.

vecteur - mathématiques. 1 PRÉSENTATION vecteur (mathématiques), objet mathématique caractérisé par une norme, une direction et un sens. Les vecteurs sont aussi les éléments d'un ensemble appelé espace vectoriel, notion qui est à la base de l'algèbre linéaire. Dans le plan et dans l'espace à 3 dimensions, on représente généralement un vecteur par une flèche. Cette flèche se présente sous la forme d'un segment de droite, dont la longueur est égale à la norme du vecteur. L'origine de la flèche se confond avec le point d'application du vecteur, tandis que le sens de la flèche indique le sens du vecteur. 2 RELATION DE CHASLES Malgré son extrême simplicité, la relation de Chasles est fondamentale en algèbre linéaire. Elle est valable quel que soit l'espace vectoriel considéré. Pour tout triplet de points (A, B, C), on peut écrire : Un exemple simple illustrant cette relation dans le plan est donné par la détermination de la trajectoire d'un navire. Sur le diagramme ci-dessous, le vecteur A vecteur $ indique le déplacement du bateau en l'absence de tout courant pendant une durée t. Le correspond à la dérive due au courant pendant t. Le trajet réel du navire est alors représenté par le vecteur B . Pour obtenir ce dernier vecteur, on a effectué la somme des vecteurs A et $ , en appliquant la relation de Chasles. Dans des cas plus complexes, les problèmes d'addition et de soustraction vectorielles peuvent être résolus au moyen de la trigonométrie. On les rencontre fréquemment en navigation, ainsi qu'en mécanique et en électricité. 3 COORDONNÉES D'UN VECTEUR Dans l'espace à 3 dimensions, muni d'un système de coordonnées cartésiennes, un vecteur est entièrement déterminé par ses trois coordonnées. Soient Alors, le vecteur + est défini par le triplet (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3). Le produit d'un vecteur et deux vecteurs de l'espace, ayant pour coordonnées les triplets (u1, u2, u3) et (v1, v2, v3). par un réel a est le vecteur a. , défini par le triplet (a.u1, a.u2, a.u3). Dans le plan, un vecteur est déterminé de manière similaire par ses deux coordonnées x et y. 4 VECTEURS COLINÉAIRES ET ORTHOGONAUX Deux vecteurs et sont dits colinéaires s'ils ont même direction, c'est-à-dire s'il existe un réel ? tel que = ?. . Ainsi, deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Deux vecteurs sont orthogonaux ou perpendiculaires si leurs directions sont orthogonales. Deux droites sont perpendiculaires entre elles si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. 5 PRODUIT SCALAIRE Si et sont deux vecteurs de l'espace à 3 dimensions, définis respectivement par les triplets (u1, u2, u3) et (v1, v2, v3), alors le produit scalaire de d'un vecteur , notée , est la racine carrée du produit scalaire de par . On peut ainsi écrire : = ? ( . et , noté . , est le nombre réel défini par ) = ? (u1)2 + (u2)2 + (u3)2. On peut également écrire . = . . = u1v1 + u2v2 + u3v3. On montre que la norme . cos ?, où ? définit l'angle formé par les vecteurs et . Par conséquent, le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est nul. 6 PRODUIT VECTORIEL Si et sont deux vecteurs de l'espace, définis respectivement par les triplets (u1, u2, u3) et (v1, v2, v3), alors le produit vectoriel de par , noté , est le vecteur défini par le triplet : = (u2v3 - u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1). Le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur directeur de la perpendiculaire commune aux deux droites portées par ces vecteurs (à condition que ces droites ne soient pas parallèles). Par exemple, la perpendiculaire commune aux droites dirigées par le vecteur (1, 1, 0) et par le vecteur (0, 1, 1) admet pour vecteur directeur le vecteur de coordonnées (1 × 1 - 0 × 1, 0 × 0 - 1 × 1, 1 × 1 - 1 × 0), soit (1, - 1, 1). On montre alors que la norme du vecteur . sin ?, où ? représente l'angle formé par les deux vecteurs et . Par conséquent, le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est nul. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés. a pour expression : = .