limite.

limite. n.f. MATHÉMATIQUES : nombre approchant une fonction au voisinage d'un point. Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I de u. Soit a un nombre réel. On suppose que a appartient à I, ou que a est une extrémité de I. On dit que f admet la limite 0 au point a si, pour tout nombre réel strictement positif p, il existe un nombre réel strictement positif h tel que, pour tout point x de I, la relation x - a £ h implique la relation f (x) £ p. Soit l un nombre réel. On dit que f admet la limite l au point a si la fonction f - l admet la limite 0 en ce point. On dit aussi que f(x) tend vers l lorsque x tend vers a. On formalise cette notion à l'aide des quantificateurs : (np > 0) (àh > 0) (nx m I) x - a £ h h f (x) - l £ p Un tel nombre l est unique. On note : Si a appartient à I, le nombre l est nécessairement égal à f(a). Voir continue. Limites en + ¥ et en - ¥ : supposons maintenant que l'intervalle I n'est pas majoré. On dit que f admet la limite 0 en + ¥ si, pour tout nombre réel strictement positif p, il existe un nombre réel c tel que, pour tout élément x de I, la relation x >= c implique f (x) £ p. On définit de même les fonctions admettant une limite l en + ¥ . Le cas de - ¥ est analogue. Pour plus de précisions dans le cas des suites, c'est-à-dire des fonctions n ® u (n) lorsque n tend vers l'infini, voir suite. Limites infinies : on dit que f admet la limite + ¥ au point a si, pour tout nombre réel b, il existe un nombre réel strictement positif h tel que la relation x - a £ h implique que f(x) >= b. On définit de même les fonctions admettant la limite - ¥ en a et les fonctions admettant une limite en + ¥ (ou en - ¥ ). Voir achevée (droite numérique). Opérations sur les limites. Si f et g admettent des limites l et m au point a, alors f + g et fg admettent des limites en ce point. Plus précisément : Si g ne s'annule pas sur I et si m ¹ 0, alors : On peut aussi énoncer un résultat analogue pour la composée de fonctions admettant des limites. Formes indéterminées : il est cependant des cas où les théorèmes précédents ne permettent pas de conclure. Par exemple, si f admet pour limite + ¥ et si g admet pour limite - ¥ , la somme f + g peut admettre une limite finie, une limite infinie ou encore ne pas admettre de limite. On dit parfois que f + g se présente sous la forme indéterminée « + ¥ - ¥ » De même, si f admet pour limite + ¥ et si g admet pour limite 0, tout peut se produire pour le produit fg. On dit alors que fg se présente sous la forme indéterminée « 0 × ¥ ». L'étude des limites dans de telles situations s'effectue généralement à l'aide des développements limités.