étude de limite

« Si la limite obtenue à l’étape 2 est une forme indéterminée ∞∞; ; ×∞;+∞-+∞00 0 , cela ne signifie pas que l’on ne peut justifier et trouver le résultat de cette limite.

La démarche usuelle est alors de faire apparaître dans l’expression de ( ) f x le terme « responsable » de l’indétermination par factorisation forcée. Quelques exemples : Etude de : → - + - limx 2x2 4x2 2x 5 .  La fonction est définie en = x 2 donc on a : → = = = limx 2fx f2 03 0 Etude de : → - + - - limx 3x2 5x2 4x 21 .  La fonction n’est pas définie en =- x 3 , - - ×- - = + - = 32 4 3 21 9 12 21 0 donc le théorème 4 ne s’applique pas directement et on note que f est le quotient de deux fonctions donc on applique l’étape 2, deuxième point.  On a, →- + = + = →- - - = limx 3x2 5 9 5 14limx 3x2 4x 21 0 .

La limite du quotient tend donc (théorème fondamental) vers ∞ par quotient.

Il reste à déterminer si cette limite est +∞ ou -∞ On établit le signe du dénominateur : - - = ⇔ =- = x2 4x 21 0 x 3 ou x 7 et Δ>Δ; = Δ 0a 1 ainsi on a, x -∞ - - 3 3 - + 3 7 +∞ - - x2 4x 21 + 0 - 0 + On en déduit que : →- - + - - =+∞ limx 3 x2 5x2 4x 21 et →- + + - - =-∞ limx 3 x2 5x2 4x 21 Etude de : → + ∞ + - + limx x3 7x2 3x 4 . On applique la méthode du cours, (lim de polynôme en l’infini) et →+∞ + - + = →+∞ + - limx x3 7x2 3x 4 limx x31 7x + 3x2 4x3 etr →+∞ = →+∞- = →+∞ = limx 7x limx 3x2 limx 4x3 0 . Ainsi par produit il n’y a plus d’indétermination et →+∞ + - + =+∞ limx x3 7x2 3x 4 Etude de : → - ∞ + - - + + limx 2x2 5x 4 x2 12x 1 . C’est une FI +∞-∞ et →-∞ + - - + + = →∞ + - - - + = →∞ - =- limx 2x2 5x 4 x2 12x 1 limx 2x21 5x 4x2 x21 12x 1x2 limx 2 1 2 car →+∞ = →+∞ = →+∞- = →+∞ = limx 5x limx 4x2 limx 12x limx 1x2 0 Remarque : lorsque la fonction est bornée, on peut aussi appliquer le théorème des gendarmes ou les théorèmes de majorations et minorations.. »