Les systèmes de projection (TPE)

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~ •liiiii11 Ïi11 dlll 1 Projection azimutale projection directe de Mercator rend totalement impropre cette projection à l'analyse dans les régions polaire s.

Pour être plus complet, dans la project ion de Mercator , le Groënland ( 2 ,2 m illion s de km') est repré senté avec une superficie en projection identique à celle de l'Amérique du sud (18 millions de km') ou même l'Afrique (30 millions de km').

Cette projection est donc désormais peu utilisée pour repré senter des région s très étendues en latitude s.

On lui préférera généralement des projection s équivalentes.

Néanmoin s, les projections équivalente s peuvent elles aussi occasionner des déformations considérables.

La projection équivalente de Lambert faus s e totalement les angles au voisinage du pôle : les méridiens qui devraient s'y couper sont parallèles .

Il est donc e xclu d 'analyser ces éléments aux pôles .

Des projections aphylactique s (sans propriété géométr ique particulière ) sont souvent privilégi ées car parmi ces projections , on peut en trouver qui offrent un bon compromis entre les altération s linéaires , angulaire s et surfaciques.

Reste que si l'on s'intére sse à une région particuli ère du globe, on aura généralement intérêt à abandonner les projections précédente s au profit de projections adaptées à la forme et la ~---~::::~::::.._ ____ ..,.

___ _::::::::::::_ ____ ~ localisation de la région considérée .

Par l'ellipsoïde , leurs propriétés .

Les parallèles sont des droite s parallèles , horizontales dans la project ion directe .

PROJECTION CONIQUE Cette projection correspond à des applications de la sphère sur un cône sécant ou tangent à la sphère.

Le cône étant développable, on peut en faire une représentation plane sans déformation.

Selon la propriété que l'on veut voir vérifiée, la projection sera conforme ou équivalente .

À noter que la conformité ou l'équivalence de ces projections est maintenue pour une Terre ellipsoïdale, lorsque l'axe du cône est confondu avec l'ax e de rotation de la Terre .

PROJECTION AZIMUTALE La projection azimutale s'opère sur un plan tangent à la surface terrestre .

Lorsque le point de tangence est le pôle terrestre, les parallèles apparaissent en projection sous forme de cercles concentriques, et les méridi ens, sous forme de droites .

Plus généralement, lorsque la surface terrestre est sphérique , la famille des grands cercles passant par le point de tangence devient dans le plan l'ensemble des droites passant par l'homologue du point en projection .

Cette propriété rend très utile ces projections pour la navigation.

LA PROJECTION DE LAMBERT La projection de Lambert est une projection conique et conforme.

C'est l'une des projections les plus utilisées.

Son utilisation remonte au début du siècle .

Le choix qui a été fait se justifie par au moins deux raisons : d 'une part son caractère conforme la rend très appréciable pour les calculs de réduction des observations géodésiques , qui étaient à l'époque menés directement en projection ; d'autre part, elle occasionne de faibles déformations sur des territoires situés aux moyennes latitudes et relativement symétriques comme la France .

LA PROJECTION DE MERCATOR La projection de Mercator est conforme (les angles sont conservés , les cercles restent des cercles) mais pas équivalente (les rapports de surface ne sont pas conservés, les cercles de surface identiques sur la Terre sont représentés avec des surfaces de plus en plus grandes en latitude ).

Il s 'agit d 'une projection où les longitudes sont cartographiée s sur une échelle arithmétique .

La transformation appliquée aux latitudes est une projection tangente modifiée .

DES CHOIX DIFFERENTS Après avoir étudié les projections les plus importantes on peut se demander si elles remplissent leurs buts? Le point important pour répondre à cette question est de comprendre qu'à un but donné correspondra une projection spécifique.

En effet, les projection s ne peuvent être complètement fidèles à la réalité et il convient alors de choisir la projection la plus adaptée au but poursuivi, c'est-à-dire celle conservant les grandeurs importantes .

Les paragraphes suivants illustrent comment chaque problème peut être résolu à l'aide d'un e projection particulière en détaillant le choix de la projection appropriée .

LA REPRtSENTATION DE LA TERRE Une projection occasionne toujours des déformations de la réalité .

Dans le cas des représentations globales de la Terre (les planisphères , cartes où est représenté l'ensemble du globe terrestre ), ces déformations rendent parfois la carte impropre à l'exploitation que l'on pourrait en faire.

Par exemple , une déformation infinie aux pôles comme celle produite par la exemple, pour les région s pola ires, relativement symétriques , on utilise en général des project ions azimutales .

Pour les région s aux latitudes moyennes , elles aussi relativement symétriques, on utilise en général des projections coniques qui conservent le parallèle de tangence .

Pour les région s équatoriale s, les projections cylindriques semblent adaptée s .

Le paragraphe suivant traite du cas s pécifique d 'une cartographie nationale.

La cartographie d'un territoire répond en premier lieu à un souci de de scription géométrique du territoire national.

On demande donc en principe à la représentation d 'être aussi fidèle que possible à la géométrie du territoire .

Une carte de bas e repose sur une o ssature de points géodé siques dont la position e st connue avec une grande précision dans le système de référence national.

Le réseau élaboré lors de la confect ion de la carte constitue en princip e la réalisation primaire du système national.

À l'époque où le réseau géodésique était mesuré par trian gulation (mesures d'angles au sommet de triangle s horizontaux à la surface de la Terre ), il était extrêmement commode d 'utiliser une projection conforme pour les calculs .

L'usage d 'une telle projection permettait de reporter en projection les angles mesurés et moyennant une correction liée à la courbure terrestre , de faire les calculs de résolution des triangles en géométrie plane .

C'est l'une des raisons principales qui a conduit la majeure partie des pays industrialisés à adopter une projection conforme.

Le choix des paramètre s de la projection et de la projection elle­ m ême repose quant à lui sur le souhait de limiter les déformation s du terrain induites par la projection .

LE CAS DE LA FRANCE La France a adopté une projection conique conforme ayant pour origine le méridien de Paris.

La projection françai se est en réalité un jeu de projections caractér isé par des zones de validité de chaque projection élémentaire .

La projection conique de Lambert a été retenue en raison de la faible déformation qu'elle engendre de part et d 'autre du méridien central.

Par ailleurs , cette projection couvre une assez grande surface sans occasionner de déformation rédhibitoire : 0 ,015 % au maximum en limite de zone .

LE CAS DE LA SUISSE La Suisse a adopté une projection de Mercator oblique adaptée à son territoire .

C'est une projection conforme .

LE CAS DU ROYAUME-UNI Le Royaume-Uni a adopté une projection de Mercator transverse .

C'est auss i une projection conforme.

Ce choix se justifie en raison d 'un axe principal d'allongement nord-sud du territoire britannique.

Si on souhaite limiter les déformations , il est judicieux d'adopter une représentation qui conserve cet axe exempt de toute déformation.

C'est le cas de la projection tran sverse de Mercator , tangente le long du méridien moyen (Greenwich dans le cas de la Grande Bretagne ).

LE PROBLlME DE LA NAVIGATION Le navigateur a pour souci principal de rallier deux points de la surface terrestre par le plus court chemin qui les sépare .

Le plus court chemin est appelé une géodésique .

C'est une ligne caractéristique de la surface sur laquelle elle est tracée (son équation est indépendante des coordonnées a vec lesquelle s on décrit cette surface ).

La détermination des géodésiques est un problème classique mais néanmoins délicat de la géométrie différentielle .

Dans le cas d 'une sphère , le plus court chemin pour rallier deux points est un arc de grand cercle.

Si A et B sont deux points d'une sphère , la géodé sique est l'unique grand cercle (cercle centré au centre de la sphère ) qui passe par les deux points.

Le plus court chemin est l'arc le plus court de ce grand cercle dont les extrémités sont les deux points considéré s .

On peut chercher une projection qui, au départ de Paris par exemple, donne accè s aux trajectoires optimales ainsi qu'aux distances au départ de Paris , à partir d'un tracé simple des géodésiques .

Ce problème trouve sa résolution dans l'usage d'une projection azimutale équidi stante dont le point de tangence est le point de départ du trajet.

En effet, la project ion azimutale transforme les grands cercles passant par le point de tangence en droites concourante s.

Le tracé d'une géodésique en projection est une droite passant par le centre de la carte (homologue du point de tangence ).

Puis , la projection azimutale équidistante donne accès aux distance s vraies le long des grands cercles .

D'où le choi x de cette projection pour optimiser des trajets .

Cette propriét é des projections azimutales équ idistantes a été exploitée dans le passé : dans tous les aéroports internationau x était tracée une carte du monde en projection azimutale équidistante , à l'époque où la navigation ne bénéficiait pas de techniques satellitaires ou de radar s.

L'important dans ce cas était de savoir quelles régions on devait survoler.

LOXODROMIE : OÙ COMMENT LES MARINS GARDENT LE CAP En navigation , la route est la direction , suivie par un mob ile, définie par un angle par rapport au nord géographique .

Cet angle est exprimé en degrés, de 0 à 360°, à partir du nord géographique dans le sens des aiguilles d'une montre .

Autrefois , cet angle était exprimé par rapport aux points cardinaux en quarts de la rose du compas (ou ros e des vents ).

Ainsi , une route est représente un angle de 90°.

La route est tracée sur la carte pour rallier un point à un autre .

Le navigateur se situe par rapport à la ""'=',__,...._!iiô:c- · ~ route en faisant le point et corrige son cap pour se tenir sur sa route .

Sur une carte de Mercllfor , la ligne droite est dite route .._..,. u,c...;;--'-.>.•loxodromique , elle coupe tous les méridiens selon un angle constant et le mobile n'a donc pas à modifier sa route pour aller d'un point à un autre (sinon pour éviter des obstacles ), mais ce n 'est pas le chemin le plus court .

La route loxodromique est une route à cap constant.

Sur le globe terrestre , les loxodromies corre spondent à des spirales s'enroulant autou r du pôle, lorsqu 'elles ne sont pas « dégénérée s n, c 'est-à-d ire lorsque l'angle initial donné n 'est pas nul.

Sur la sphère terrestre, le trajet le plus court d 'un point à un autre est la navigation par arc de grand cercle , dite route orthodromique .

Sur une carte de Mercator , cette route est une courbe , son tracé s'effectue par tronçons loxodromiques successifs pour se rapprocher le plus possible de cette courbe et demande donc un calcul pour déterminer les corrections successives de route (appelée correction de Givry ) à effectuer par rapport à la loxodromie.

Le gain en distance entre orthodromie et loxodromie n'est vraiment significatif que sur des longs parcours , ( traversée océanique ou trajet aérien intercontinental) et aux haute s latitudes .

Pour les navigations polaires , il e xiste des cartes orthodromiques .. »