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L'origine des nombres (Travaux Pratiques Encadrés)

Publié le 19/04/2016

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Le principe de la base est apparu à peu près à la même époque. Il consiste à regrouper des paquets de même importance. Par exemple, dans la base décimale (base 10), on regroupe des paquets de dix, puis dix paquets de dix font un paquet de cent et ainsi de suite. Ainsi, on écrit XX pour vingt CCCXII pour trois cent douze. Dans la base binaire (base 2), utilisée en informatique, on regroupe des paquets de 2,4,8,16, etc... Le nombre 1101 correspond au nombre :

 

1x8+1x4+0x2+1x1=13 Grâce à ce concept, l'homme a très tôt pu compter et calculer avec des nombres beaucoup plus grands que ne lui permettaient ses dix doigts.

 

Les Sumériens ont par exemple développé une numération parlée sexagésimale (base 60) dès 5 000 avant J.-C. La base la plus fréquemment utilisée a été la base 10, sans doute à cause des dix doigts de la main. C'est encore la base décimale que nous utilisons aujourd'hui.

Un nombre est parfait s'il est égal au double de la somme de ses diviseurs. Ainsi, 6 est parfait. En effet, les diviseurs de 6 sont 1,2,3, et 6 ; et 2x6=1+2+3+6. Vous pouvez montrer que 28 est également un nombre parfait ! Si la somme des diviseurs d'un nombre n est supérieure à 2n, on dit qu'il est abondant. Si cette somme est égale à 2/1+ 1, il est quasi-parfait. On sait qu'il existe une infinité de nombres abondants (par exemple 12,18,20). Cependant, on ne sait pas s'il existe des nombres quasi-parfaits.

 

Dans le même esprit, deux nombres sont amiables si chacun est la moitié de la somme des diviseurs de l'autre. Les grecs ne connaissaient que les deux plus petits nombres amiables : 220 et 284. Fermat avait découvert le couple 17296 et 18416, et Descartes le couple 9 437 056 et 9 363 584. On a trouvé par ordinateur 42 couples de nombres amiables inférieurs à 10000000.

 

Les nombres premiers

Un nombre est premier lorsqu'il n'est pas le produit de deux nombres plus petits. C'est-à-dire que ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même. Les nombres premiers sont les nombres entiers les plus importants en arithmétique. Tout nombre se décompose en un produit de nombres premiers. On sait qu'il en existe une infinité mais leur apparition dans la suite des nombres entiers semble aléatoire et il n'existe 

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« lement ordonné , et muni de l'addition, de la multiplication , de la soustraction et de la division.

LES NOMBRES COMPLEXES Il existe cependant certaines équations du second degré sans solution dans R.

Par exemple, x' =- 1.

On introduit alors le nombre i, solution de cette équation.

Les nombr e s comple xes ou imaginaires , dont l'ensemble est noté C, s'écrivent (a+bt ) où a et b sont deux réels: a est la partie réelle et bi la partie imaginaire .

On peut également les écrire re;' où r est un réel strictement positif appelé module et e un réel compris entre o et 21t, appelé argument.

Ils peuvent être re résentés dans un lan.

b ------ ----- z z=a+ib=rei9 a= r cos(9) b = r sin (9) r= va2+b2 1 a L'ensemble ainsi défini est muni de l'addition , de la multiplication , d e la soustraction et de la division mais n 'est plus ordonné .

Un nombre x qui vérifie a,X"+ ..

.

a ,x+a 0=0 avec des coefficients a0 , ...

, a , rationnels (dans Q ), est appelé algébrique .

Ainsi , v 2 ou i sont algé ­ briques .

C contient tous les nombres algébriques .

Cependant, il existe des comple xes et des réels qui ne le sont pas.

Ils sont alors appelés transcen ­ dants .

Par exemple , n ete sont transcendants .

LES AUTRES ENSEMBLES Les mathématic iens ont construit bien PARITt / DIVISIBILITt La première propriété d'un nombre est sa parité.

Un nombre e st pair lorsqu 'il est le double d 'un autre, sinon , il est impair.

Cette propriété est en fait un cas particulier d'une théorie plus vaste qui est à l'origine de la théorie des nombres : la d ivisibilité .

Un nombre n est divisibl e par un autre nombre m lorsqu 'il est le produit de ce dernier avec un troisième nombre : n=mp .

Le nombre m est alors un d iviseur den et n est un multiple de m .

PALINDROME Un nombre palindrome peut s'écrire indifféremment dans un sens ou dans un autre .

Par e xemple 12521 est un nombre palindrome.

Cette propriété dépend évidemment de la base dans laquelle o n travaille.

Ainsi, 21 n 'est pas un palindrome en base dix, mais l'est en base 2 (Il s 'écrit alors 10101 ) ! NOMBRES PARFAITS, NOMBRES AMIABLES Un nombre est parfait s'il e st égal au double de la somme de se s diviseur s.

Ainsi, 6 est parfait.

En effet, les diviseurs de 6 sont 1, 2, 3, et 6 ; et 2x6 = 1+2+3+6 .

Vous pouvez montrer que 28 est également un nombre parfait ! Si la somme des diviseur s d'un nombre n est supérieure à 2n, on dit qu'il est abondant.

Si cette somme e st égale à 2n + 1 , il e st quasi-parfait.

On sait qu'il e xiste une infinité de nombres abondants (par exemple 12, 18, 20).

Cependant, on ne sait pas s'il e xiste des nombres quasi-parfaits .

Dans le même e sprit, deux nombre s sont amiables si chacun est la moiti é de la somme des diviseurs de l'autre .

Les grecs ne connaissaient que les deux plus petits nombres amiable s : 220 et 284.

Fermat avait découvert le couple 17296 et 18416 , et Descartes le couple 9 437 056 et 9 363 584.

On a trouvé par ordinateur 42 couples de nombres amiable s inférieurs à 10000000 .

d 'autres ensemble s de nombres que LEs NOMBRES PREMIERS ceux décr its ci-dessus.

Ce sont d'autres Un nombre est premier lorsqu 'il n'e st extensions comme les quaternions , les pas le produit de deux nombres plus o ct avion s, les entie rs de Gau ss, les p e tits.

C' es t- à -dir e qu e ses seuls divi- nombre s p-adiqu es.

Il existe aussi seurs sont 1 et lui-m ê me.

Les nombre s d ' autre s structures de nombre s comme premiers sont les nombres entiers les les corps finis où l'addition est plus importants en arithmétique .

Tout particulière.

C'est le cas par exemple s i nombre se décompose en un produit l'on considère uniqu ement les nombre s de nombres premiers.

On sait qu'il en 0 et 1.

On pose alors 1 + 1 =O.

C'est le e xiste une infinit é mais leur apparition corp s à deux éléments .

Si on applique dans la suite des nombres entier s inférieurs n est à peu près njlog(n) et le n-ième nombre premier e st approxi­ mativement nlog (n ).

Le plus grand connu à ce jour est (2"''"" -1 ).

Il possède 6 320 430 chiffre s e t a été découvert le 17 novembre 2003 par Michael Shafer .

Pour trouver simple­ ment les nombre s premiers inférieurs à un certain entier n, on utilise le crible d 'Eratosthène.

On écrit la liste des entiers de 2 à n.

On barre ensuite les multiple s des entiers rencontrés dans l'ordre croissant.

Il suffit d 'aller jusqu 'à -ln.

Deux nombres premiers sont d its jumeaux si leur différence est égale à 2 .

On ne sait pas s'il y a une infinité de nombres premier s jume a ux.

LA THtORIE DES NOMBRES L'étude des nombre s entiers et les équations diophantiennes (c'est-à-dire à plusieurs inconnues dont les coefficients sont entiers ) sont à l'origine de la théorie des nombres .

Un des problème s les plus célèbres de cette branche des mathématiques est le théorème de Fermat -Wiles démontré en 1994 par Andrew Wiles.

Il est à noter que si l'énoncé de ce problème est très simple, de nombreux mathématicien s ont cherché en vain à le démontrer depuis sa formulation en 1641 par Piel'l'e de FermDf .

Par ailleurs , la démonstration présentée par Wiles , qui n 'est comprise dans sa totalité que par une poignée de mathématiciens utilise un rappro­ chement des formes modulaire s et des courbes elliptiques .

De manière générale , il n'est pas rare que des problèmes très simplement énoncés soient résolus en utilisant de nombreux domaines des mathémat iques de l'algèbre à l'analyse , en passant par les fonctions comple xes à variable comple xe, les probabilités , la géométrie algébrique, etc.

.

.

• Énonc é du théo rè m e de Fe rmat ­ Wile s : il n'existe pas de solution autre que x= 0, y=O , z =O à l'équation X"+ Y'=Z" dès que n est supérieur à 2.

LES NOMBRES CÉLÈBRES d'un ce«le à lo longueur de son diamètre ne dépend pas du cercle choisi ! Ce rapport constant a été p =1td nommé n, première lettre du mot «périmètre » en Grec.

Il intervient dans le calcul de l'aire d 'un cercle , ainsi que dans celui de la surface et du volume de la sphère .

Mais son influence ne s'arrête pas à la géométrie .

Il intervient dans de très nombreuses formules de l'analyse et de la théorie des nombres.

Le mathématicien grec Archimède (287 -212 av.

J.-C) savait déjà donner un encadrement den grâce à une méthode que l'on appelle maintenant l 'algorithme d 'A«himède .

Il s'agit de formules de récur ­ rence permettant de calculer le périmètre de polygones réguliers inscrits et circonscrits à un même cercle .

On double le nombre de côtés des polygones à chaque itération.

Depu i s l'invention de l 'ordinateur , on a considérablement progressé dans la connaissance de rr.

En 2002 , on en connaissa it 1 241 milliards de décimales .

On ne pourra pourtant jamais connaître la valeur exacte de ce nombre .

En effet , Lambert a montré en 1760 que n e st irrationnel.

Il ne peut donc s'écrire comme le quotient de deux nombre s entier s .

De plus , n est transcendant.

Cette propriété d émontrée en 1882 par le mathématicien F.

Lindemann (1852- 1939 ) e ntr a îne l'impo ssibilit é de la quadrature du cercle .

Ce problème qui a occupé les mathématiciens depuis 1 800 av.

J.-C.

s'énonce ainsi :«Est - il possible de construire , à la règle et au compas un carré qui ait la même aire qu'un cercle donn é ? » la correspondance 1 =Vrai et O=Fau x, semble aléatoire et il n'existe aucune n = 3,141592653...

Quelques formules: les tables de la multiplication et de méthode pour en construire .

Pourtant n est certainement le nombre le plus • e"'+ 1 =0 (formule d'Euler ) l ' addition sont respectivement les ils obéissent à certaine s lois très célèbre et le plus étudi é que l 'homme a • 1 + 1 /2 '+ 1/3 '+ 1 /4 '+ ...

+ 1/n '+ . ..

= rr'/6 opérateurs logiques ET et XOR (ou précises .

Par exemple , pour un entier n découvert .

li provient de l'observation (~(2)) exclu sif).

Enfin , on peut utiliser des donné, la quantité de nombre premiers que le rapport de lo ci«onférence • n/ 4 = 1 -1/3 + 1/5-1/ 7 + 1/9 + ...

extensions de la notion de nombre : ~-----------...o.--------------1 (Formule de Leibniz ) l'ordinal et le cardinal.

Ces deux notions prennent en compte l '« infini ».

LA THÉORIE OES NOMBRES Pourquoi les hommes ont-ils inventé les nombres? Pour compter ! Pour compter tout et n 'importe quoi : des moutons , de l'argent, les grains de sable sur une plage , les gouttes d 'eau dans l'océan .

Pour effectuer de tels décomptes, il est vite apparu que l'on disposait d'opérations élémentaires (addition , multiplication, soustraction , division) .

La théorie des nombres est née de l'étude de ces opérations et de leurs relations avec les nombres entier s.

Crible d'ÉRATOSTHÈNE LE NOMBRE D'OR. »

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