comment calculer une racine carré de n'importe quel entier san utiliser de calculatrice

« comment calculer la racine carrée de n’importe quel entier sans utiliser de calculatrice Au Ier siècle après J.-C., le mathématicien grec Héron d’Alexandrie se retrouve, dans ses travaux sur les aires de triangles, à devoir calculer la racine carrée de 720.

Évidemment à cette époque il ne dispose pas de calculatrice et se doit donc de trouver une autre façon de la calculer.

Comme je m’intéresse à la fois aux mathématiques et à leur histoire, j’ai trouvé intéressant de comprendre comment, bien avant nos outils modernes, on pouvait déjà effectuer ce genre de calculs complexes, d’autant plus que cela fait appel à des notions de terminale en spécialité mathématique : les suites convergentes.

Pour cela nous étudierons la méthode d’héron grâce à un exemple concret avant de généraliser la formule.

Puis nous expliquerons pourquoi cette méthode marche t elle Commençons par définir Qu’est-ce qu’une racine carrée ? La racine carrée d’un nombre N est le nombre positif X tel que mis au carré il donne N.

Par exemple, la racine carrée de 25 est 5 car 52=25 Mais bien souvent, le nombre dont on souhaiterait extraire la racine carrée n’est pas un carré parfait (cad le carré d’un nombre entier) C’est justement là que la méthode d’Héron entre en jeu, en s’appuyant sur les propriétés des suites. Pour le mathématicien grec on peut calculer la racine carrée en prenant un rectangle dont l’air est toujours égal au carré souhaité et en le transformant petit à petit à un carré. Et une fois qu’on aura obtenu notre carré identique, la longueur d’un de ses cotés correspondra à la racine de l’air souhaité.

Pour appliquer cette méthode, on va chercher la racine carrée de 36.

Pour cela, on prendra un rectangle dont l’air est égal à 36 et on définira un de ces côtés ; on définit x=2 et on calcule donc y en fonction de x.

En effet on sait que dans un rectangle x fois y est égal à l’air donc y est égal à l’air sur x soit 36/2=18 ; maintenant qu’on a un rectangle dont on connait les valeurs x et y on peut passer à l’étape importante qui est la transformation de ce rectangle en un carré.

Pour cela on va déterminer une nouvelle valeur de x en faisant la moyenne des côtés.

On a x’ égal à (x +y)/2 soit (2 +18)/2=10.

Pour conserver les égalités des aires on est obligé de recalculer y toujours en fonctions de x soit 10 maintenant.

Y est donc égal à 36/10=3.6 On répète la transformation en carré en calculant la moyenne soit le nouveau x qui vaut 6.8 On calcule le y en fonction du nouveau x soit y=5.29 Maintenant on continue sa transformation en carré en calculant de nouveau la moyenne (6.8.... »