cours fonction égalité inégalité math

« MPSIA Fonctions, égalités et inégalités Guillaume Hervé Chapitre d’introduction dans lequel nous allons revoir des notions utilisées au lycée, ainsi que quelques nouvelles, sans toujours les démontrer.

L’idée est de se familiariser avec ces objets mathématiques qui nous serviront tout au long de l’année.

Les démonstrations suivront, lorsque l’on aura un peu plus de maitrise et d’outils. Nous admettrons l’existence et les propriétés habituelles du corps des réels (R, +, ×) ainsi que de la relation d’ordre 6.

Notons que cette relation d’ordre est compatible avec les lois + et × : ∀(x, y, z) ∈ R3 , x 6 y =⇒ x + z 6 y + z et (x 6 y et 0 6 z) =⇒ x × z 6 y × z. Fonctions de R dans R I Nous reviendrons au cours de l’année sur les propriétés que nous allons énoncer dans cette section. Nous ne visons pas ici un cours convenablement construit mais l’utilisation de résultats fondamentaux que nous utiliserons toute l’année et que nous démontrerons plus tard. I.1 Dérivation Fonctions composées Théorème 1.1 (Théorème de dérivation des fonctions composées (T.F.C.)) Soit f une fonction dérivable sur un domaine I de R, g une fonction dérivable sur un domaine J de R et telles que ∀t ∈ R, f (t) ∈ J. Alors la composée g◦f est dérivable sur I et ∀t ∈ I, (g ◦ f )0 (t) = f 0 (t) × g 0 (f (t)) = f 0 (t) × (g 0 ◦ f )(t). √ Exemples 1.2 : 1.

La fonction u : t 7→ t est dérivable sur ]0, +∞[, la fonction ln est dérivable sur ]0, +∞[ et pour tout t > 0, u(t) > 0. √ 1 1 Par (TFC) h : t 7→ ln( t) est dérivable sur ]0, +∞[ et pour tout t > 0, h0 (t) = 2√ × √1t = 2t . t √ On retrouve la relation fonctionnelle de ln : ln( t) = 1 2 ln(t). 2.

La fonction u : t 7→ t2 + 1 est dérivable sur R, la fonction ln est dérivable sur ]0, +∞[ et pour tout t ∈ R, u(t) > 0. Par (TFC) h : t 7→ ln(t2 +1) est dérivable sur R et pour tout t ∈ R, h0 (t) = 2t× t21+1 = 2t t2 +1 = u0 (t) u(t) . 3.

La fonction u : t 7→ t2 + 1 est dérivable sur R, la fonction exp est dérivable sur R et pour tout t ∈ R, u(t) ∈ R. 2 2 Par (TFC) h : t 7→ exp(t2 +1) = et +1 est dérivable sur R et ∀t ∈ R, h0 (t) = 2t×et +1 = u0 (t)eu(t) . Exercice 1.3 : Déterminer, par le TFC, un intervalle de dérivabilité de f = ln ◦ exp ainsi que la dérivée f 0 .

Une remarque ? Notation : On note f ∈ C 0 (I, R) le fait que la fonction f est continue sur I et f ∈ D1 (I, R) le fait que la fonction f est dérivable sur I Définition 1.4 On note f ∈ C 1 (I, R) le fait que la fonction f est dérivable sur I et que la fonction f 0 est continue sur I.

On dit alors que f est de classe C 1 sur I. Théorème 1.5 (Théorème des fonctions composées (T.F.C.), version C 1 ) Soit f ∈ C 1 (I, R) , g ∈ C 1 (J, R) et telles que ∀t ∈ R, f (t) ∈ J. Alors la composée g ◦ f ∈ C 1 (I, R) et ∀t ∈ I, (g ◦ f )0 (t) = f 0 (t) × g 0 (f (t)) = f 0 (t) × (g 0 ◦ f )(t). 1. »