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Cours loi binomiale

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T°Spé Cours élèves Loi Binomiale Modéliser une succession d’épreuves indépendantes par un schéma de Bernouilli ou une loi binomiale Variable aléatoire X suivant B(n,p), calcul de P(X=k) ou P(X≤ ?) Problème de seuil et d’optimisation I Succession d’épreuves indépendantes Définition : Dans une succession d’épreuves, lorsque l’issue d’une épreuve ne dépend pas des épreuves précédentes, on dit que ces épreuves sont indépendantes. On considère n épreuves successives indépendantes d’univers ?1 , ?2 , … . , ?? . L’univers E de cette succession de n épreuves successives indépendantes est le produit cartésien : ? = ?1 × ?2 × … .× ?? Les issues sont des n-uplets (?1 , ?2 , … . , ?? ) où ?? ∈ ?? pour tout entier naturel i, avec 1 ≤ ? ≤ ?. Propriété (admise) : Dans une succession de n épreuves indépendantes, la probabilité d’une issue (?1 , ?2 , … . , ?? ) est égale au produit des probabilités des issues de ses composantes ?1 , ?2 , … . , ?? . Exemple : Correction : Rappel du principe multiplicatif : Dans un arbre pondéré représentant la répétition dexpériences identiques et indépendantes, la probabilité d’un évènement correspondant à un chemin est égale au produit des probabilités inscrites sur chaque branche de ce chemin. II Epreuve et schéma de Bernoulli II.1/ Epreuve de Bernoulli : On lance un dé bien équilibré. On appelle « succès » l’évènement S : « Sortie du 6 ». ?? est l’évènement contraire de S et correspond donc à « échec » : « Le 6 ne sort pas ». Définition : Soit p ? [0 ; 1] un réel. On appelle épreuve de Bernoulli toute expérience aléatoire n’admettant que deux issues, appelées succès S et échec ?? de probabilités respectives p et q 1 p. II.2/ Loi de Bernoulli de paramètre p Quelle est la probabilité de succès ? Quelle est la probabilité de l’échec ? On considère la variable aléatoire X qui prend la valeur 1 si le 6 sort et la valeur 0 sinon. Déterminer la loi de probabilité de cette variable aléatoire. On dit que cette variable aléatoire suit une loi de Bernoulli de paramètre 1 6 . 1 Définition : On réalise une épreuve de Bernoulli dont le succès S a pour probabilité p. Une variable aléatoire X est une variable aléatoire de Bernoulli lorsqu’elle est à valeur dans {0 ;1} où 1 est la valeur attribuée au succès. On dit que X suit la loi de Bernoulli de paramètre p. La loi de Bernoulli de paramètre p est donc définie par le tableau ci-dessous : ?? Issue S ?? 1 0 ? 1 − ? P (X ?? ) II.3. Schéma de Bernoulli On répète ...

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