DM de maths sur les équations différentielles

« Corrigé du DM n◦8 : Équations différentielles E XERCICE 83 P.109 Le but de cet exercice est de démontrer l’existence d’une unique fonction f dérivable sur R vérifiant la condition :  (∀x ∈ R) f (−x) f 0 (x) = 1 (C) f (0) = −4 puis de déterminer cette fonction. 1) On suppose qu’il existe une fonction f satisfaisant la condition (C) et on considère alors la fonction g définie sur R par g (x) = f (−x) f (x). (a) Démontrez que la fonction f ne s’annule pas sur R. (b) Calculez la fonction dérivée de la fonction g. (c) Déduisez-en que la fonction g est constante et déterminez sa valeur. 1 y. (d) On considère l’équation différentielle (E) : y 0 = 16 Montrez que la fonction f est solution de cette équation et qu’elle vérifie f (0) = −4. 2) Démontrez qu’il existe une unique solution de l’équation différentielle (E) prenant la valeur −4 en 0. 3) Déduisez des questions précédentes qu’il existe une seule fonction dérivable sur R satisfaisant la condition (C) et précisez quelle est cette fonction. 1) (a) Soit x ∈ R.

Appliquant la première partie de la condition (C) en −x, on obtient f (x) f 0 (−x) = 1, ce qui entraîne en particulier f (x) 6= 0. (b) Pour tout x ∈ R, g 0 (x) = −f 0 (−x) f (x) + f (−x) f 0 (x). (c) À l’aide de la première partie de la condition (C) appliquée en x et en −x, on obtient : g 0 (x) = −f 0 (−x) f (x) + f (−x) f 0 (x) = −1 + 1 = 0 donc g est constante sur R.

Avec la deuxième partie de la condition (C), on obtient alors : 2 g (0) = f (0) = 16 Ainsi, pour tout x ∈ R, g (x) = f (−x) f (x) = 16. 1 16 (d) Pour tout x ∈ R, on a d’une part f 0 (x) = , d’autre part f (−x) = , donc f (−x) f (x) f 0 (x) = 1 = f (−x) 1 16 f (x) = 1 f (x) 16 Enfin, on sait déjà à l’aide de la condition (C) que f (0) = −4. 2) Les solutions de l’équation (E) sont les fonctions de la forme x 7→ Cex/16 , où C est une constante réelle. Une telle fonction prend la valeur −4 en 0 si et seulement si Ce0/16 = −4, soit C = −4. Ainsi, l’unique solution de l’équation (E) prenant la valeur −4 en 0 est la fonction x 7→ −4ex/16 . 3) On a montré dans les questions précédentes que s’il devait exister une fonction f vérifiant la condition (C), cela ne pouvait être que la fonction f : x 7→ −4ex/16 : nous avons montré l’unicité de la solution, et trouvé une forme nécessaire de cette solution. Réciproquement, on constate que cette fonction vérifie bien f (0) = −4, et     −4 0 −x/16 x/16 (∀x ∈ R) f (−x) f (x).... »