Exercices MPSI

Le Cassini des futurs MPSI August 15, 2013 1 Quelques d´finitions et notations e 1.1 Relatives aux ensembles o On ´tend les notations A ? B et A ? B comme suit: Pour tous ensembles A1 , A2 , . . . , An , e n on note n Ai la r´union des Ai et e i=1 Ai l'intersection des Ai . i=1 o On appelle produit cart´sien de deux ensembles A et B l'ensemble A × B des couples e (a, b) o` a ? A et b ? B . On peut ´galement ´tendre le produit cart´sien ` plus de deux u e e e a n ensembles. Pour tous ensembles A1 , A2 , . . . , An , on note Ai l'ensemble des n-uplets i=1 (a1 , a2 , . . . , an ) o`, pour tout i, ai ? Ai . u o Pour tous entiers m, n, on note [[m, n]] = {k ? Z, m <= k <= n} l'intervalle des entiers compris entre m et n. Dans les d´finitions qui suivent, E et F d´signent des ensembles. e e o On note P (E ) ou 2E l'ensemble des parties de E . o Soit A une partie de E . On note 1A : E -> {0, 1} et on appelle fonction caract´ristique de e 1 si x ? A A l'application d´finie par 1A (x) = e . 0 sinon o On note F(E, F ) ou F E l'ensemble des fonctions de E dans F. o Une fonction f : E -> F est injective si et seulement si deux points quelconques de E distincts ont des images distinctes, c'est ` dire ?(x, y ) ? E 2 , x = y => f (x) = f (y ). a o Une fonction f : E -> F est surjective si et seulement si tout point de F a un ant´c´dent ee par f , c'est ` dire ?y ? F, ?x ? E, y = f (x). a o Une fonction f : E -> F est bijective si et seulement si elle est injective et surjective, c'est a ` dire si tout ´l´ment de F admet un et un seul ant´c´dent par f . Si E = F , on dit que f ee ee est une permutation de E . o Un ensemble E est dit fini s'il existe un entier naturel n et une bijection f : [[1, n]] -> E . Cet entier (dont on montre facilement l'unicit´) est appel´ le cardinal de E et not´ card(E ) e e e ´ ou E . Evidemment, on d´finit un ensemble infini comme un ensemble qui n'est pas fini. e 1 1.2 Relatives ` l'analyse a o Soit E un ensemble et f : E -> E . On dit que x ? E est un point fixe de f si f (x) = x. o On d´finit la partie enti`re d'un r´el x comme le seul entier E (x) (ou x ) v´rifiant: x - 1 < e e e e E (x) <= x (on admet l'existence et l'unicit´). e o Soit (un ) une suite et l ? R ? {-?, +?}. On note un --> l <==> n->+? d´f e (un ) admet une limite en + ? lim (un ) = l On peut bien s^r adapter cette d´finition aux fonctions de R dans R. u e o Soit I un intervalle de R et f : I -> R. f est dite convexe si ?x, y ? I ? R, ?t ? [0, 1], f (tx + (1 - t)y ) <= tf (x) + (1 - t)f (y ) (bien comprendre sur un dessin que la d´finition signifie que la courbe de f est en dessous e de toutes ses cordes) e o Soit I un intervalle et f : I -> R une fonction. Soit n ? N* . f est dite n fois d´rivable si f est d´rivable et si f est n - 1 fois d´rivable (avec la convention que toutes les fonctions e e sont 0 fois d´rivables). On d´finit alors, r´cursivement, f (n) la d´riv´e n-i`me de f par e e e ee e (f )(n-1) , avec la convention f (0) = f . 2 ´ Enonc´s e 2 2.1 Alg`bre g´n´rale e ee 2.1.1 Arithm´tique e 1. Le nombre (72004 )2014 - (32004 )2014 est-il un entier naturel ? 2014 - 2004 2. Soit p un nombre premier sup´rieur ou ´gal ` 5. Montrer que 240 divise p4 - 1. e e a 3. (*) Soit S ? N* . Comment ´crire S comme somme d'entiers positifs tel que le produit de e ces entiers soit maximal? 4. Montrer qu'il existe au plus un nombre premier dont le logarithme est rationnel. 5. (*) Soit f la fonction qui ` un entier n associe la somme de ses chiffres (ex: f (87) = 15)). a Trouver f (f (f (44444444 ))). 6. (*) Montrer que, quel que soit n appartenant ` N premier avec 10, il existe un multiple de a n ne contenant que des 1. 7. Soit (pn )n?N* la suite croissante des nombres premiers. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, pn + pn+1 n'est pas le produit de 2 nombres premiers. 8. D´montrer qu'il existe un cube parfait entre n et 3n pour tout entier n >= 10. e 9. (*) Soit p > 1 un entier naturel. D´montrer le th´or`me de Wilson: e ee p est premier <==> (p - 1)! + 1 ? 0 (mod p) . 10. (*) D´terminer l'ensemble des entiers naturels n non nuls tels que n2 ne divise pas n!. e 11. Soient m et k deux entiers naturels impairs, montrer que m divise 1k + 2k + · · · + (m - 1)k . 12. Trouver le plus petit entier naturel x tel que 2x - 1, 3x - 2, · · · , 9x - 8. 13. Soient deux entiers positifs n, k tels que k <= n et n >= 1. n Montrer que × P GCD(n, k ) ? 0 (mod n). k 14. Montrer que x2 + y 2 + z 2 = 2xyz n'a aucune solution enti`re except´ x = y = z = 0. e e 15. Soit n ? N* , montrer que 1 1 ? (n!) >= 1 + + ··· + o` ? (n) = u n! 2 n d est la somme des dn diviseurs de n. 16. Soit p ? Q. Supposons qu'il existe a ? N tel que pa ? Z. Montrer alors que p ? Z. 17. Montrer que si 7 ne divise pas l'entier n, alors 7 divise n6 - 1. 18. (*) D´terminer les entiers n >= 1 tels que 7 divise nn - 3. e 19. Donner une condition n´cessaire et suffisante sur n ? N* pour que la congruence e xk ? 0 (mod n) admette des solutions pour n x et k > 0. 3 ? ? 20. Pour n entier naturel diff´rent de 0 , on d´finit an et bn entiers par: (1 + 2)n = an + bn 2. e e Montrer que an et bn sont premiers entre eux. 21. Soit p un entier naturel premier et k ? [[1, p - 1]]. Montrer que p divise p k 22. Trouver une condition n´cessaire et suffisante sur n ? N* pour que la congruence xy ? 0 e (mod n) admette des solutions non multiples de n. 1351 23. (*) On ´crit le rationnel e k=1 a. 24. Montrer que a (-1)k+1 sous forme irr´ductible . Montrer que 2027 divise e k b ln(2) est irrationnel. ln(3) n 25. (*) Montrer que k=1 1 n'est pas un entier si n > 1. k 26. (*) Soit a >= 5 un entier impair. R´soudre dans Q l'´quation x e e x = a . 2 27. Soit s(n) la somme des chiffres d'un entier positif n. Montrer que pour tout entier strictes(n) <= 5. ment positif n, on a s(2n)