Grand oral du bac : LES MATHEMATIQUES

Vers 1840-1850, l’algèbre connut un grand bouleversement : elle devint l’étude des relations qui existent entre tous les objets possibles. C’est ainsi que l’algèbre moderne prit son essor à partir de 1900. Parmi les mathématiciens qui fondèrent cette nouvelle algèbre, on peut citer le Français Évariste Galois (1811-1832), qui, s’inspirant des travaux de Lagrange, fut à l’origine de la théorie des groupes de substitution, le Britannique Arthur Cayley (1821-1895), qui définit la notion de groupe abstrait, le Norvégien Niels Henrik Abel (1802-1829), qui précisa la notion de groupe commutatif, et le Norvégien Sophus Lie (1842-1899), auteur de travaux sur les groupes continus de transformations (groupes de Lie). Ainsi, l’algèbre se mit à étudier des structures

mathématiques telles que les groupes, les anneaux et les corps.

D’autre part, la représentation géométrique plane des nombres complexes amena l’Irlandais William Rowan Hamilton (1805-1865) à introduire les quaternions en 1843, généralisant cette représentation à l’espace ; le mathématicien et physicien allemand Josiah Willard Gibbs (1839-1903) fut à l’origine de l’analyse vectorielle et l’Allemand Hermann Günther Grassmann (1809-1877) exposa la théorie du calcul vectoriel aux espaces à plusieurs dimensions. Allant plus loin, l’Allemand Félix Klein (1849-1925) écrivit son Programme d’Erlangen en 1872, dans lequel il classe les géométries en fonction de leurs groupes de transformations.

Les travaux du logicien britannique George Boole (1815-1864), introduisirent l’algèbre booléenne, utilisée dans la conception des ordinateurs.

Depuis le début du xxe siècle, les mathématiques se sont développées à un rythme effréné. L’Allemand David Hilbert (1862-1943), qui influença considérablement les mathématiques, étudia la théorie des groupes et la géométrie. Dans ses Fondements de la géométrie (1899), il substitua à la géométrie euclidienne

un système fondé sur vingt et un axiomes abstraits, concernant des points, des droites et des plans, ainsi que de six types de relations entre eux. Hilbert essaya d’axiomatiser les mathématiques. Cela s’avéra impossible, ce qui fut démontré par le logicien américain Kurt Gôdel (1906-1978) en 1931.

Le xxe siècle est caractérisé par une abstraction et une généralisation des mathématiques. De plus, l’ordinateur, qui stocke et gère des milliers d’instructions, aide les mathématiciens à résoudre certains problèmes délicats. Ainsi, en 1976 a été démontré le théorème des quatre couleurs selon lequel, pour colorier les régions limitrophes d’une carte quelconque, quatre couleurs suffisent. Aujourd’hui, les sciences et les technologies, la finance même, sont des dommaines hautement tributaires des mathématiques.

Les mathématiques grecques

Les Grecs adoptèrent les connaissances mathématiques des Mésopotamiens et des Égyptiens. Les mathématiques grecques étaient centrées sur la géométrie, dont le fondateur serait le philosophe Thalès (v. 625-547 av. J.-C.). Pythagore (v. 570-480 av. J.-C.) et ses disciples accordaient un rôle primordial aux nombres entiers, considérés comme l’essence du monde. À leur grande surprise, ils montrèrent que, dans un carré, le rapport de la diagonale au côté n’est pas un entier mais un nombre irrationnel : Vï

Aux Ve et ive siècles av. J.-C., les mathématiques connurent un essor prodigieux en Grèce. Les Éléments de géométrie, ouvrage fondamental d’Euclide (ni' siècle av. J.-C.), contiennent une grande part des connaissances mathématiques élémentaires, découvertes à cette époque, concernant la géométrie des polygones et des solides, le cercle, la théorie des nombres, la théorie des incommensurables, ainsi que celle des aires et des volumes. Dans cet ouvrage, Euclide introduisit un système hypothético-déductif, posant les bases de la géométrie dite «euclidienne»: à partir de vérités premières (axiomes), il effectuait un raisonnement logique et parvenait, de proche en proche, à l’établissement de théorèmes.

Ainsi, les Grecs pratiquaient une géométrie dite démonstrative, fondée sur une utilisation du langage et confrontaient les arguments pour