Grand oral du bac : Mathématiques LES STATISTIQUES

ont eu une note inférieure ou égale à 20 (deuxième ligne du tableau). On peut présenter les données sous forme d’histogramme (voir figure 3). Il s’agit d’une figure constituée de rectangles dont la largeur est l’amplitude de la classe correspondante et dont la hauteur est proportionnelle à l’effectif de la classe.

On peut également tracer un histogramme des fréquences cumulées. Pour chaque classe, la hauteur du rectangle est alors proportionnelle à l’effectif cumulé correspondant.

Mesure de la tendance centrale

Le statisticien travaille souvent avec un très grand nombre de données. L’une de ses tâches est alors de les réduire, c’est-à-dire de les remplacer par des paramètres, ou caractéristiques, qui sont de deux types: ceux qui donnent une idée globale de la tendance centrale des valeurs ; ceux qui indiquent la dispersion (étalement) des valeurs observées.

Pour évaluer la tendance centrale, on peut calculer un nombre qui résume en quelque sorte l’ensemble des données: la moyenne arithmétique. Considérons la série de données xl, x2,..., xi,..., xm, d’effectifs respectifs ni, n2,..., ni..., nm. La moyenne arithmétique x de ces valeurs (prononcer « x barre ») est alors :

m

_ i = 1

X =

m

^i

i = I

Ainsi, dans l’exemple du groupe des 24 élèves, la note moyenne obtenue par le groupe est:

- _ (2x44) + (l x45) + (3 x 58) + (2 x 62) + (l x67) + ...+ (2x 100)

24

x=75,083

Dans le cas général, la moyenne arithmétique est aussi égale à:

m

x = î fjxt

i = 1

La médiane et le mode sont deux autres mesures de la valeur centrale. La médiane est la valeur telle qu’il existe un nombre égal d’observations, ou de valeurs, inférieures et supérieures à cette valeur. Ainsi, si l’on classe les m résultats observés dans l’ordre croissant, si m est impair, la médiane est la valeur de la variable correspondant au rang (m+l)/2. Par exemple, considérons les 5 résultats suivants: 2,4, 8, 41,45; la médiane est la troisième valeur, à savoir 8, alors que la

moyenne vaut 20. Quand le nombre de résultats est pair, la médiane n’est pas vraiment définie : elle est indéterminée entre les deux valeurs centrales. Ainsi, considérons les données: 2, 4, 7, 8, 41,45 ; la médiane est située entre 7 et 8. Le mode, également appelé dominante, est la valeur de la variable dont la fréquence est maximale. Un ensemble de données peut avoir plusieurs modes. Dans l’exemple précédent des notes obtenues par les 24 élèves, les modes sont 81 et 95.

Lorsque le nombre de données est trop important, on divise les données en groupes adaptés, généralement d’étendue égale, appelés classes. Les classes ne doivent pas être trop nombreuses et bien rendre compte de la répartition des données. Par exemple, si l’on considère les notes obtenues à l’examen de mathématiques par 20 groupes de 24 élèves chacun (soit 480 élèves), on peut introduire les classes suivantes:

Plus l’écart-type est petit, c’est-à-dire proche de 0, plus les valeurs sont regroupées entre elles et donc bien représentées par la moyenne arithmétique. Dans l’exemple considéré, comme l’écart-type est grand, on dit que les valeurs sont dispersées. Les calculs de la variance et de l’écart-type sont nécessaires au statisticien pour interpréter les résultats de son enquête.