La géométrie
Publié le 11/02/2019
Extrait du document
Ce schéma montre trois figures géométriques représentées dans un espace à une, deux et trois dimensions. L’apparition des géométries non euclidiennes a permis de construire des objets et des grandeurs à dimensions multiples.
Il introduisit les coordonnées curvilignes, montra notamment qu’il existe une mesure propre de la courbure d’une surface, indépendamment de l’environnement dans lequel on l’étudie.
La géométrie différentielle fut introduite en 1854 par les travaux du mathématicien allemand Bernhard Riemann (1826—1866), qui généralisa l’étude des surfaces réalisée par Gauss. La géométrie différentielle a pour objet l’étude locale des surfaces courbes et des variétés à n dimensions au voisinage d’un de leurs éléments. Il est difficile de distinguer cette géométrie de la géométrie infinitésimale. Au xxe siècle, la géométrie infinitésimale donna naissance à la géométrie projective différentielle, avec notamment les mathématiciens Elie Cartan (1869-1951), G. Fubini, Vicensini et C. Segre et à la géométrie différentielle globale, liée à la topologie.
Les géométries non euclidiennes
Au xixe siècle, les mathématiciens cherchèrent à déterminer les fondements réels de la géométrie. Le postulat d’Euclide - selon lequel par un point extérieur à une droite passe une seule parallèle à la droite -, qui constitue l’un des fondements de la géométrie euclidienne, n’avait pu être démontré malgré toutes les tentatives dans ce sens. Ainsi, Gauss supposa qu’il existait d’autres géométries, tout aussi cohérentes que la géométrie euclidienne. Les géométries dites non euclidiennes apparurent notamment avec le Russe Ivanovitch Lobatchevski (1793-1856), puis le Hongrois Jânos Bolyai (1802-1860) et l’Allemand Bernhard Riemann.
Lobatchevski développa une géométrie dite hyperbolique, dans laquelle, par un point extérieur à une droite passent plusieurs parallèles. Il introduisit aussi la trigonométrie correspondante, dont les règles stipulent que la somme des angles d’un triangle est inférieure à 180° (alors que cette
Une conique, ou section conique, est la surface engendrée par la section d’un cône par un plan. Selon l’orientation des plans de coupe, il en résulte divers types de courbes: cercle, parabole, hyperbole et ellipse. Les coniques permettent notamment de décrire le mouvement des planètes autour du soleil.
somme vaut 180° en géométrie euclidienne). Jânos Bolyai établit, indépendamment, une géométrie non euclidienne similaire à celle de Lobatchevski. En 1854, Riemann étudia une géométrie dans laquelle il n’existe aucune parallèle à une droite passant par un point fixe hors de la droite; il s’agit de la géométrie dite elliptique. En fait, on peut regrouper les géométries euclidienne et non euclidiennes en une seule théorie, par généralisation de la notion de distance comme le plus court chemin entre deux points.
À partir du xixe siècle, un grand nombre de mathématiciens tentèrent d’axiomatiser la géométrie, comme Jules Houël (1897), Charles Méray (1874) et surtout l’Allemand David Hilbert (1862-1943). Dans ses Fondements de la géométrie, il énonce que ce qui compte, ce n’est pas la nature des points, des droites et des plans, mais les propriétés qui les lient les uns aux autres.
La topologie
Le xxe siècle est caractérisé par l’abstraction et la généralisation de la géométrie, et plus généralement des mathématiques. La topologie, qui étudie ce que l’on appelle les formes molles, c’est-à-dire continûment déformables, fut introduite par le mathématicien et physicien français Henri Poincaré (1854-1912). La topologie est une branche des mathématiques issue de l’étude des figures spatiales conservant leurs propriétés par déformation géométrique continue.
On doit les prémisses de ce domaine à Bernhard Riemann, dans son étude des fonctions algébriques d’une variable. En 1919, le mathématicien allemand Félix Hausdorff (1868-1942) posa les fondements de la théorie des espaces topologiques et métriques en utilisant la notion de voisinage. Il introduisit des axiomes pour définir la topologie générale. En topologie, on dit que deux objets sont équivalents lorsqu’il existe entre leurs points une transformation bijective continue.
Ainsi, une sphère et un tore sont topologi-quement équivalents. La sphère est un objet géométrique qui a toujours fasciné les hommes par son extrême régularité. Elle est constituée d’une surface intérieure et d’une surface extérieure sans contact l’une avec l’autre. Les mathématiciens se sont toujours demandé si l’on pouvait échanger la position de ces deux surfaces.
«
La
géométrie
La géométrie démonstrative
Les enseignements de Pythagore furent repris par
Platon (v.
427-348 av.
J.-C.).
Aristote (384-322 av.
J.-C), élève de Platon, s'employa à développer la
logique, fille des mathématiques et de la philoscr
phie.
Ce mode nouveau de raisonnement sup
planta peu à peu la mystique des nombres.
Au Ill' siècle av.
J.-C., la géométrie pythagori
cienne fut développée plus avant par les mathé
maticiens de l'école d'Alexandrie, dont le plus
illustre représentant fut Euclide.
Auteur des Élé
ments de géométrie, Euclide regroupa et ordonna
l'ensemble des connaissances de la géométrie
classique de l'époque.
Le philosophe tourna lui
aussi le dos au côté mystique de l'enseignement
de Pythagore et s'en remit aux règles de la logique
! Le
mathématicien grec Euclide vécut
A à Alexandrie au ttf siècle av.
J.-C.
Ses treize volumes des Éléments de
géométrie sont une vaste synthèse des notions
de la géométrie classique grecque.
Euclide y
définit notamment les points, les droites, les
surfaces, les angles ...
Il y énonça également des
postulats -principes premiers que l'on suppose
vrais sans démonstration -et des axiomes
- principes posés à la base d'un système déductif.
pour expliquer la géométrie, statuant à partir
d'axiomes (vérités dispensées de démonstration,
comme, par exemple, le fait qu'il n'existe qu'une
et une seule droite passant par deux points) pour
en déduire, étape par étape, des théorèmes (pro
positions démontrées).
Les démonstrations
d'Euclide commençaient par l'énoncé du théo
rème à démontrer, et se terminaient par la phrase
triomphante quid erat demonstra ndum: «ce qu'il
fallait démontrer>• (CQFD).
Ainsi, les Grecs pratiquaient une géométrie dite
démonstrative, c'est-à-dire fondée sur une utilisa
tion du langage qui confronte les arguments pour
démontrer un théorème.
Ils posaient des pro
blèmes dont la résolution impliquait la construc
tion d'une figure avec une règle et un compas.
Les treize livres des Éléments constituèrent le cor
pus de référence de la géométrie jusqu'au XIX'
siècle.
En particulier, le postulat d'Euclide le plus
connu, qui stipule que par un point extérieur à
une droite on ne peut tracer qu'une seule paral
lèle à la droite, constitue l'un des fondements de
la géométrie dite euclidienne, qui est celle que l'on
étudie dans les collèges et les lycées.
Parmi
les plus illustres mathématiciens de la Grèce
antique, on peut encore citer Archimède
(v.
287-212 av.
J.-C.) qui étudia les caractéris
tiques des figures géométriques, comme la
surface et le volume de la sphère.
La trigon ométrie
La trigonométrie, introduite par l'astronome grec
Hipparque (v.
190-120 av.
J.-C) et le mathémati
cien et astronome grec Ptolémée (v.
100-170), fut
l'une des premières applications pratiques de la
géométrie.
L.:usage de triangles rectangles et de leurs pro
portionnalités numériques permit de calculer des
hauteurs sans les mesurer directement: c'est le
principe du théodolite, instrument avec lequel le
géomètre vise le sommet dont il veut mesurer la
haute ur, celui d'une tour par exemple, et note
l'angle de visée par rapport à l'horizontale.
La tour
forme un angle droit avec l'horizontale.
Ainsi, si le
géomètre connaît sa distance au pied de la tour, il
lui suffit d'utiliser les tables trigonométriques (du
sinus, du cosinus, de la tangente) pour détermi
ner la hauteur cherchée.
La géométrie analytique
Malgré l'important développement des outils
mathématiques en Grèce antique, la géométrie
restait insuffisante: de nombreux problèmes
n'étaient toujours par résolus par manque de
règles générales.
Ainsi, au début du XVII' siècle,
les mathématiciens français René Descartes
(159 6--1650) et Pierre de Fermat (1601-1665) ten
tèrent d'employer des équations pour modéliser
les problèmes de géométrie.
Descartes eut l'idée d'appliquer l'algèbre à la
géométrie -l'algèbre est la branche des mathé
matiques qui se sert de lettres pour représenter
les relations arithmétiques.
Dans son ouvrage La
géométr ie (1637), il repéra la position de tout
point dans un plan par deux nombres, appelés
coordonnées cartésiennes, notées généralement
x et y.
Il introduisit également l'équation carté
sienne d'une courbe quelconque, c'est-à-dire la
relation vérifiée par les coordonnées des points
constituant la courbe, relation du type f (x,y) = 0
qui dépend du repère considéré.
Il s'intéressa tout particulièrement aux
coniques, courbes du second degré.
Descartes,
montrant la puissance des outils algébriques, fut
le fondateur de la géométrie analytique plane.
Cette dernière résout, à partir des coordonnées
des points du plan muni d'un repère dit carté-
Coordon nées cartés iennes
y
H (a; b)
b _____________ , � 0 i
a x Rés
olution graphique
de l'équ ation ax2 + bx = 0
y
(C)
x
sien, le calcul des distances, des aires, les pro
duits scalaires et vectoriels des vecteurs.
Au XVIII' siècle, elle fut généralisée à l'espace par
le mathématicien suisse Leonhard Euler
(1707-1783).
Ce n'est que dans la seconde moitié du même
siècle que la géométrie analytique se développa
considérablement, devenant plus qu'une simple
application de l'algèbre à la géométrie.
Le mathématicien et astronome français
Joseph Louis de Lagrange (1736-1813) établit,
dans les années 1770, les équations de la droite et
du plan; il introduisit également l'usage systéma
tique des trois axes de coordonnées et simplifia
les calculs et les notations.
Puis le Français Gaspard Monge (1746--1818)
développa une théorie regroupant l'analyse, l'al
gèbre et la géométrie, créant ainsi la géométrie
descriptive, technique de représentation plane
des figures tridimensionnelles à la base du dessin
! Le
mathématicien et astronome français
A Joseph
Louis de Lagrange (1736-1813)
est considéré comme l'un des plus grands
mathématiciens du xvttf siècle.
Il introduisit de
nouveaux concepts pour le calcul des variations
et l'étude des équations différentielles.
Il appliqua
ces principes à la mécanique dans Mécanique
analytique (1788), qui représente une rupture
avec les méthodes géométriques des Anciens..
»
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