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Débuter en algorithmique THÈME 1 (page 10) Activité 1 1 Ce programme de dessin a pour objectif la construction du centre de gravité du triangle ABC. 2 On peut commencer par la construction des milieux et poursuivre par celle des médianes. 3 Placer les points A? et B?, milieux respectifs des segments [BC] et [AC] ; tracer la droite 1 perpendiculaire à (BC) passant par A? ; tracer la droite 2 perpendiculaire à (AC) passant par B? ; placer le point intersection des droites 1 et 2 ; construire le cercle de centre passant par A. Activité 2 1 On peut inverser les deux premières étapes mais cela conduit à des calculs un peu moins simples (somme de fractions). 2 Une possibilité : on multiplie les deux membres par 3 ; on soustrait x aux deux membres ; on soustrait 3 aux deux membres ; on divise par 8 les deux membres. et il est impossible d?obtenir ? 9 car un carré est toujours positif. c) f : x (2x + 3)2. 2 a) 8 1 65 ; 6 ?2 ; 1 0 ? : 2 et ? 2 n?a pas d?image (division par zéro impossible). 2 b) f(x) = x + 1 . x?2 3 Objectif : déterminer les coordonnées du point D tel que ACDB soit un parallélogramme (éventuellement aplati). 4 Lire b et c. Calculer le carré de b. Calculer le carré de c. Ajouter les carrés obtenus. Prendre la racine carrée de la somme obtenue. 5 1. a) Sortie 1 b) ? 0 7 2 a) 5 a pour image 169 ; ?1 1; 1 16 ; 2 100 41 209. 3 2 0; 9; 100 ; Clovis Darius 2 Exercices Entrée 24 24 ?5 3 3 1 2 45 4 45 4 b) On peut conjecturer que les deux algorithmes conduisent aux mêmes résultats. (x + 3)2 ? 1 = x2 + 6x + 8 = x(x + 6) + 8. 2. a) x2 + 6x + 8 = 0 admet deux solutions : ?2 et ?4 ; x2 + 6x + 8 = ?1 admet une seule solution : ?3 ; x2 + 6x + 8 = 8 admet deux solutions : 0 et ?6. b) Ils ne peuvent pas obtenir le nombre ?2 en sortie car l?équation x2 + 6x + 8 = ?2 n?admet pas de solution ( = ?4). ? Débuter en algorithmique 1 THÈME 2 (page 12) Activité 9 Passer aux inverses Multiplier les deux membres par 3 2 Enzo obtient le nombre cBA alors que Valentin obtient 3 x+5= 5 cAA. 3 a) Trois variables ont été utilisées : A, B et C. b) Les variables A et B ont été initialement obtenues par saisie, puis affectées par une instruction du programme. La variable C a été affectée par une instruction. Exercices 1. 3 =5 x+5 x+5 1 = 3 5 1 Enzo obtient 21 et Valentin obtient 11. 6 1. Entrée Lire x Lire y Traitement a reçoit x + y b reçoit x ? y c reçoit a × b Sortie Af?cher c. 2. On utilise cinq variables x, y, a, b et c. Pour les variables x et y, le contenu a été saisi. Pour les variables a, b et c, le contenu a été obtenu par une instruction du programme. Seul le contenu de la variable c est af?ché. 3. On pouvait « faire l?économie » des variables a et b en affectant directement la variable c du nombre (x + y) × (x ? y). Ajouter (?5) aux deux membres 3 ?5 5 2. a) Les variables à utiliser sont a, b, c et x. b) Avec a 0 et c 0 : a x+b 1 =c = x+b a c a x+b= c a x = ? b. c c) Lire a Lire b Lire c a x reçoit ? b c Af?cher x x= 10 1. Les variables utilisées sont P, n, PHT et PTTC. 2. 7 1. Ce programme peut être traité en utilisant trois variables : x, y et S. La variable x est affectée du premier nombre saisi puis du carré de ce nombre. La variable y est affectée du second nombre saisi puis du carré de ce nombre. La variable S est affectée de la somme x2 + y2, puis son contenu est af?ché. 1 13 2. a) (0 ; 1), (1 ; 0), (0,6 ; 0,8), (?1 ; 0), ? ; ,? 2 2 b) Ces points sont sur le cercle trigonométrique (centre O et rayon 1). ? 8 On note x la longueur et y la largeur. Lire x Lire y p reçoit 2 × (x + y) S reçoit x × y Af?cher p Af?cher S 2 ? 11 1. L?objectif est de déterminer les coordonnées du point d?intersection de deux droites (sécantes par hypothèse). 2. On suppose a c a?n que les droites considérées soient bien sécantes. Si a = c, la division proposée est impossible car a ? c = 0. Alors l?algorithme af?che : ***Algorithme interrompu ligne ? : erreur de calcul*** 3. Les variables utilisées sont au nombre de six : a, b, c, d, x et y. 12 Exercices 13 THÈME 3 14 (page 14) Activité 1 1 a) On utilise l?expression x + 1 lorsque x appartient à l?intervalle [1 ; 5[. 1 5 Et on utilise l?expression ? x + lorsque x appartient à 2 2 l?intervalle [?3 ; 1[. b) Le calcul n?est pas possible si x < ?3 ou si x > 5. 1 5 2 Si x [?3 ; 1[, alors f(x) = ? x + ; 2 2 si x [1 ; 5[, alors f(x) = x + 1. 15 Activité 2 1 On souhaite obtenir « le triangle est rectangle » ou « le triangle n?est pas rectangle ». 2 Lire a Lire b Lire c Si c2 = a2 + b2 alors Af?cher « le triangle est rectangle » Sinon Af?cher « le triangle n?est pas rectangle » ? Débuter en algorithmique 3 ou 18 16 ou ou 19 a) Le joueur doit saisir 0 pour Pile et 1 pour Face. b) Avec une Casio, on peut, par exemple, ajouter après l?af?chage « Perdu? », l?instruction : 17 L?objectif est de simuler le jeu suivant : le joueur doit deviner le nombre entier, entre 0 et 9, obtenu « au hasard » par le logiciel. 4 Avec une TI, on peut, par exemple, ajouter après l?af?chage « Perdu? », l?instruction : THÈME 4 (page 16) Activité 1 23 1 En parcourant le pourtour du carré dans le sens inverse des aiguilles d?une montre, on place, après le passage de chaque sommet du carré, un point situé à 1 cm de ce sommet. On obtient ainsi les quatre sommets d?un nouveau carré. 2 Ici, on a répété 9 fois la séquence. 24 Activité 2 a) i est un compteur qui augmente d?une unité à chaque passage (i + 1 i). Le test (i ? 6) est utilisé sept fois : les six premières fois la réponse est oui et à la suivante, la réponse est non. C?est donc la dernière. b) S 0 2 6 12 20 30 42 i 1 2 3 4 5 6 300 ? Année 1 Année 2 Année 3 606 ? 918,12 ? 1 236,48 ? b) Pour obtenir les intérêts, on multiplie le capital par 0,02. Le nouveau capital est donc égal à C + C × 0,02 + 300 soit C × 1,02 + 300. c) C = 300 Exercices Pour i = 1 to 10 C reçoit C × 1,02 + 300 Af?cher C FinPour 20 a) Choisir un nombre entier naturel non nul N. Ajouter le triple de tous les nombres de 1 à N. Af?cher la somme obtenue. b) On calcule ainsi la somme des multiples (non nuls) de 3 inférieurs ou égaux à N. c) Pour N = 8, on obtient 108. 22 Variables i, P Algorithme Pour i de 1 à 10 P reçoit 3 × i Af?cher i « × 3 = » P FinPour 25 a) Année 0 7 On obtient donc 42 à l?af?chage. 21 Casio : Variables N, i, S Algorithme Af?cher « Choisissez un entier N » Saisir N Pour i de 0 à 9 S reçoit N + i Af?cher N « + » i « = » S FinPour TI : 26 a) Onze points de la droite d?équation y = ax + b. b) Seul le point d?abscisse 10 est dessiné. 27 Variables a, b, N, p, i, x, y Algorithme Saisir a Saisir b Saisir N (b ? a) p reçoit n Pour i de 0 à N x reçoit a + i * p y reçoit x² ? x + 5 Dessiner le point de coordonnées (x, y) FinPour 28 a) Cet algorithme af?che en sortie la fréquence d?obtention de tirages (simulés) pour lesquels on a obtenu 5 fois Pile et 5 fois Face. b) Cette fois, l?algorithme af?che en sortie la fréquence d?obtention de tirages (simulés) pour lesquels on a obtenu au plus 3 fois Face. ? Débuter en algorithmique 5 THÈME 5 (page 18) 32 b) Activité 1 L?utilisation d?un tableur est particulièrement adaptée à la situation. Année 0 Année 1 300 ? 606 ? Année 5 Année 6 Année 2 Année 3 Année 4 918,12 ? 1 236,48 ? 1 561,21 ? Année 7 Année 8 Année 9 1 892,44 ? 2 230,29 ? 2 574,89 ? 2 926,39 ? 3 284,92 ? Année 10 Année 11 Année 12 Année 13 Année 14 3 650,61 ? 4 023,63 ? 4 404,10 ? 4 792,18 ? 5 188,03 ? Elle doit donc épargner de cette manière pendant 14 ans. 2 a) Le passage du capital d?une année à celui de l?année suivante s?obtient toujours selon la même formule : l?utilisation d?une boucle est adaptée. b) On ne peut pas prévoir le nombre d?utilisations d?une telle boucle. c) Le nombre d?utilisations de cette boucle nous donne le nombre cherché d?années à épargner. Exercices 29 a) On passe d?un nombre au suivant en ajoutant 7. b) Remarque : la condition : « SI (N==2*?oor(N/2)) ALORS » peut être remplacée par « SI (N%2==0) ALORS ». Les deux conditions sont remplies dès que N est pair (?oor renvoie la partie entière, et x%y donne le reste de la division euclidienne de x par y). 33 a) Pour autoriser au plus 6 coups, il suf?t de remplacer c<=5 par c<=6 dans la ligne TANT_QUE? b) On remplace les deuxième et troisième lignes de l?algorithme par : N PREND_LA_VALEUR ?oor(10*random())+1 TANT_QUE (a!=N et c<=3) FAIRE 34 a) On ne peut pas être plus précis car on n?a aucune idée du nombre de coups nécessaires à l?obtention d?un 6. Il peut être très grand? b) 30 31 a) Pour a = 28 et b = 5, on obtient q = 5 et r = 3 soit à l?af?chage 28 = 5 × 5 + 3. b) Si a ? b, on obtient à l?af?chage a = b × 0 + a. c) Cet algorithme traduit la division euclidienne de l?entier naturel a par l?entier naturel non nul b. 6 35 1. a) Pour atteindre [AB], il faut effectuer 10 déplacements vers la droite et le nombre de déplacements vers le haut est compris entre 0 et 10, donc la longueur ? d?un chemin se terminant sur [AB] est telle que 10 ? ? ? 20. Même raisonnement pour un chemin se terminant sur [BC]. b) La longueur ? est égale à la somme des coordonnées du point d?arrivée. 2. a) Si a < 0,5, alors x prend la valeur x + ? : un tirage inférieur à 0,5 entraîne un déplacement vers la droite et un tirage supérieur à 0,5 entraîne un déplacement vers le haut. b) 3. a) et b) 4. On dé?nit une variable supplémentaire : Aire, qu?on initialise à 0. On considère l?empilement des bandes de hauteur ? et de longueur (10 ? x). La variable Aire augmente de (10 ? x) unités d?aire lorsque y augmente d?une unité de longueur. ? Débuter en algorithmique 7 CHAPITRE 1 Second degré ACTIVITÉS (page 23) Activité 1 Activité 2 1 a) x2 + 2x = (x + 1)2 ? 1, soit = 1. 2 Lorsque a est non nul, la courbe est une parabole. b) x + 2x ? 8 = (x + 1) ? 9. c) et d) x2 + 2x ? 8 = [(x + 1) ? 3][(x + 1) + 3] = (x ? 2)(x + 4). ? = {2 ; ? 4}. 3 a) Si a est positif, la parabole est « tournée vers le haut ». Si a est négatif, elle est « tournée vers le bas ». b) est l?abscisse du sommet de la parabole. c) est l?ordonnée du sommet de la parabole. d) ? Si est négatif (strictement), l?équation admet deux solutions. ? Si est nul, une solution : x = . ? Si est strictement positif : pas de solution. 2 2 2 a) x2 ? 4x ? 5 = (x ? 2)2 ? 9. b) 2(x2 ? 4x ? 5) = 2(x ? 2 ? 3)(x ? 2 + 3) = 2(x ? 5)(x + 1). ? = {?1 ; 5}. 3 a) x2 + 4x + 5 = (x + 2)2 ? 4 + 5 = (x + 2)2 + 1. b) (x + 2)2 + 1 = 0 équivaut à (x + 2)2 = ?1, ce qui est impossible, quel que soit le nombre x. PROBLÈME OUVERT (3 + x)2 + (4 + x)2 = (6 + x)2 x2 + 2x ? 11 = 0. Deux solutions (une seule positive : x = 213 ? 1). EXERCICES 1 a) f(x) = (x + 3)2 ? 9. b) f(x) = ?3(x ? 1)2 + 1. 1 2 5 ? . c) f(x) = x + 2 4 3 2 9 d) f(x) = 2 x ? ? . 2 2 ? ? ? 8 ? Réponse : oui, il est possible d?obtenir un triangle rectangle en ajoutant à chaque longueur (213 ? 1) unités de longueur. Application (page 28) 3 2 17 ? 2? ? 4 . 17 3 2. f(x) ? ?? ? = ?x + ? . 4 2 17 17 Donc pour tout x, f(x) ? ?? ? ? 0 et f(x) ? ? . 4 4 2 1. f(x) = x + 2 3 1. a) f(x) = (x ? 2)2 ? 2. b) f(x) = (x ? 2 + 12)(x ? 2 ? 12). 2. yA = f(0) = 2. f(x) = 0 pour xB = 2 ? 12 et xC = 2 + 12. f(x) = 4 pour (x ? 2)2 = 6 soit xI = 2 ? 16 et xJ = 2 + 16. Soit : A(0 ; 2), B(2 ? 12 ; 0), C(2 + 12 ; 0), I(2 ? 16 ; 4) et J(2 + 16 ; 4). ? 4 a) x(7x + 8) = 0 ; ? = ? ? 8 ;0 . 7 b) x = 6 ; ? = {? 16 ; 16}. c) (x + 3)2 ? 52 = 0 (x + 8)(x ? 2) = 0 ; ? = {? 8 ; 2}. 2 d) (x ? 5) = 0 ; ? = {5}. 2 5 b) c) ? 5 ?2417 ; 5 +2417 ?. ? 4 ? 422 ? 4 + 422 ; = 88 ; ? = ? ?. 3 3 a) = 17 ; ? = 7 a) Le coef?cient de x2 est négatif (?10x2), le produit 3 1 est donc positif ou nul entre les racines ? et : 5 2 3 1 ?= ? ; . 5 2 b) Le coef?cient de x2 est positif (2x2), le produit est donc 3 3 strictement négatif entre les racines ? 2 et : ? = ? 2 ; . 2 2 c) L?inéquation est équivalente à x(3x + 5) > 0. Le coef?cient de x2 est positif (3x2), le produit est donc strictement positif 5 à l?extérieur du segment déterminé par les racines ? et 3 5 0:?= ? ;? ]0 ; + [. 3 ? ? ? ? 8 a) 16 ? (2x ? 1)2 = (5 ? 2x)(2x + 3). Le coef?cient de x2 est négatif (? 4x2) donc l?expression 16 ? (2x ? 1)2 est négative ou nulle pour : 3 5 ? ;? ;+ . x 2 2 b) L?inéquation est équivalente à (2x ? 4)(x + 5) < 0. Le coef?cient de x2 est positif (2x2) donc l?expression (2x ? 4)(x + 5) est strictement négative pour x ]? 5 ; 2[. c) L?inéquation est équivalente à (3x ? 8)(? x ? 6) < 0. Le coef?cient de x2 est négatif (? 3x2), le produit (3x ? 8)(? x ? 6) 8 est donc négatif ou nul pour x ]? ; ? 6] ;+ . 3 9 1. On peut conjecturer graphiquement que ?g est audessus de ?f pour x ]0 ; 2[. 2. g(x) > f(x) 6x ? 2x2 > x2 3x(2 ? x) > 0. Le coef?cient de x2 est négatif (? 3) : le produit 3x(2 ? x) est strictement positif entre les racines 0 et 2. ? ? ? ?2 x +x?2 + 0 1 ? + 0 + b) ? x + 2x ? 3 n?a pas de racine ( < 0) et garde donc un signe constant, celui de a, c?est-à-dire négatif. c) 100t2 ? 60t + 9 = (10t ? 3)2 est toujours positif. Il s?annule 3 en . 10 d) ? 2x2 + 5x ? 3 a deux racines distinctes car = 1 : 3 x1 = 1 et x2 = . 2 2 ? 3 2 1 ? 0 + + 0 ? 11 a) x2 + x ? 20 a deux racines 4 et ? 5. Il est négatif (du 6 Le triangle BMN est rectangle en M et isocèle donc MN = x et l?aire du rectangle est x(6 ? x). 1 x(6 ? x) = × 18 x2 ? 6x + 6 = 0. 3 = 12. Les solutions sont 3 ? 13 et 3 + 13. ? x 2 ? 2x2 + 5x ? 3 ? ? ? Le coef?cient de x2 est positif donc x2 + x ? 2 est positif à l?extérieur des racines et négatif entre les racines. x < 0 ; ? = Ø. 13 d) = 0 ; ? = . 3 ? 10 a) x2 + x ? 2 a pour racines 1 et ? 2. ? ? ? signe contraire de a) entre ses racines. ? = [? 5 ; 4]. b) x2 ? x + 1 n?a pas de racine car = ? 3, il garde un signe constant, positif (a = 1), donc ? = Ø. c) = 1 ; le trinôme admet deux racines : ? 4 et ? 3. x ? ?4 x2 + 7x + 12 + ?3 0 ? + 0 + ? = ]? ; ? 4] [? 3 ; + [. d) < 0 ; 7x2 + ? 5x + 1 garde un signe constant, positif (a = 7), donc ? = ?.?? 12 x2 < x + 2 x2 ? x ? 2 < 0. Le trinôme x ? x ? 2 a deux racines : ? 1 et 2. Le coef?cient de x2 est positif (x2), donc le trinôme est négatif entre les racines : ? = ]? 1 ; 2[. 2 13 1. a < 0, > 0. 2. ? = [? 1 ; 2]. 3. Les racines du trinôme étant ? 1 et 2, celui-ci se factorise : f(x) = a(x + 1)(x ? 2). 3 D?autre part : f(0) = 3 ; donc : a = ? . 2 14 1. x2 ? 40x + 384 a deux racines : 16 et 24. a > 0, donc il est négatif entre ses racines : ? = [16 ; 24]. 2. x(40 ? x) ? 384 x2 ? 40x + 384 ? 0. Les dimensions x et y de la pelouse doivent être comprises entre 16 et 24 m, avec x + y = 40. 15 a) x + 1 = 1 x2 + x ? 1 = 0 et x 0 ? 1 ? 15 ? 1 + 15 x = x1 = ou x = x2 = . 2 2 x2 + x ? 1 > 0. x x b) x + 1 > 1 x x ? 0 x1 x +x?1 + x ? x2 + x ? 1 x ? 2 0 ? ? 0 + ? 0 + x2 0 + ? + + 0 + Chapitre 1 ? Second degré 9 ?f est au-dessus de ?g équivaut à : ? + ? ? 1 2 15 ; 0? ? ? 1 2 15 ; + ?. x 16 a) 3x ? 4 = 1 3x2 ? 4x ? 1 = 0 et x 0 2 ? 17 2 + 17 ou x = x2 = . x = x1 = 3 3 2 3x ? 4x ? 1 > 0. x x b) 3x ? 4 > 1 x x ? 0 x1 3x2 ? 4x ? 1 + x ? 3x2 ? 4x ? 1 x ? 0 0 0 ? ? x2 ? 3x + 2 + + 0 ? x2 + 4x ? 1 ? x2 + 4x ? 1 x2 ? 3x + 2 ? ? 2 ?317 ; 0? ? 2 +3 17 ; + ?. 17 a) 1 = x + 1 x?1 x ? 2 = x2 ? 1 et (x x?2 2) x2 ? x + 1 = 0 et (x 1 et x 2). Or < 0 donc il n?y a aucun point commun entre ?f et ?g. x+1 x+1 x ? 2 ? x2 + 1 1 1 b) > ? >0 >0 (x ? 1)(x ? 2) x?1 x?2 x?1 x?2 ? x2 + x ? 1 > 0. (x ? 1)(x ? 2) (x ? 1)(x ? 2) est positif à l?extérieur de l?intervalle [1 ; 2]. x ? 1 ? x2 + x ? 1 ? (x ? 1)(x ? 2) + ? x2 + x ? 1 (x ? 1)(x ? 2) ? ? 0 ? ? 0 ?f est au-dessus de ?g équivaut à x ? ?3 x +x?2 + x ?9 + 2 x +x?2 x2 ? 9 2 + ?2 + 0 0 ? ? 0 ? 0 ? = ]? 3 ; ? 2] 10 ? + 3 + ? 0 [1 ; 3[. ? + 0 ? + 0 ? 0 + 0 + ? + + + 0 ? ]2 + 13 ; + [. ]1 ; 2[ + + + 0 ?2 ? ? + 0 ?1 0 ? 0 ? + 0 + ? 0 + + 0 ? + + [? 1 ; 0[. 21 x ? 1 > 2x ? 5 ]1 ; 2[. 1 + ? = [? 3 ; ? 2[ Il est strictement positif à l?extérieur de l?intervalle [? 2 ; 1]. x2 ? 9 admet deux racines, ? 3 et 3, et est strictement positif à l?extérieur de l?intervalle [? 3 ; 3]. x + ?3 x + 4x + 3 ? 18 Le trinôme x2 + x ? 2 = 0 admet deux racines, 1 et ? 2. 2 ? 2 + + x 2 x (x + 2) + 2 + 13 2 x + 3(x + 2) + 2x(x + 2) ?0 x(x + 2) 2 2x + 8x + 6 ?0 x(x + 2) 2 x + 4x + 3 ? 0. x(x + 2) Le trinôme x2 + 4x + 3 admet deux racines, ? 1 et ? 3. Il est positif à l?extérieur de l?intervalle [? 3 ; ? 1]. x(x + 2) est positif à l?extérieur de l?intervalle [? 2 ; 0]. x + 4x + 3 x(x + 2) 2 1 1 3 + ? ?2 x+2 x 20 1 et x 0 ; 2 ? 13] ? = ]? ?f est au-dessus de ?g équivaut à : x 2 ? 13 ? + 0 + + x + ? ? x + 1 ? x2 + 3x ? 2 ?0 x2 ? 3x + 2 ? x2 + 4x ? 1 ? 0. x2 ? 3x + 2 Le trinôme ? x2 + 4x ? 1 admet deux racines, 2 ? 13 et 2 + 13. Il est strictement positif à l?intérieur de l?intervalle : ]2 ? 13 ; 2 + 13[. Le trinôme x2 ? 3x + 2 admet deux racines, 1 et 2. Il est positif à l?extérieur de l?intervalle [1 ; 2]. + x2 ? x+1 ?1 x2 ? 3x + 2 19 (x ? 1)2 ? (2x ? 5)(x + 1) >0 x+1 x?1 x2 ? 1 ? x2 + x + 6 > 0. x2 ? 1 Le trinôme ? x2 + x + 6 admet deux racines, ? 2 et 3. Il est positif à l?extérieur de l?intervalle [? 2 ; 3]. x2 ? 1 est positif à l?extérieur de l?intervalle [? 1 ; 1]. + x ? ?2 + 0 ?x + x + 6 ? + x ?1 + + ?x + x + 6 x2 ? 1 ? 2 2 2 0 ?1 + + 0 1 + 0 + ? = ]? 2 ; ? 1[ ? 3 + 0 ? ]1 ; 3[. 0 + + + ? + 0 ? Activités de recherche (page 34) EXERCICES 26 Position relative de deux courbes ? Les outils : ? Signe d?un trinôme du second degré. ? Tableau de signes. ? L?objectif : ? Savoir résoudre une inéquation en se ramenant à l?étude du signe d?un produit. 1. ? est au-dessus de d pour x < avec ? 0,3 et pour x ]0 ; 2[. ? est en dessous sinon. 2 2 3x2 ? 5x ? 2 2. 3x ? 5 ? 3x ? 5 ? ? 0 ? 0. x x x 1 3. a) Le trinôme 3x2 ? 5x ? 2 a deux racines : ? et 2. 3 Le coef?cient de x2 est positif donc le trinôme est négatif entre les racines et positif sinon. b) ?1 x ? 0 2 + 3 3x2 ? 5x ? 2 + x ? 3x ? 5x ? 2 x ? 2 0 ? ? 0 c) d est au-dessus de ? pour x + ? 0 0 + ? + + 0 + ?? 1 ; 0? ?2 ; + ?. 3 27 Une aire minimale ? L?outil : ? Forme canonique d?un trinôme du second degré. ? L?objectif : ? Savoir utiliser la forme canonique pour déterminer une valeur minimale. 1. ? = 32 ? x(8 ? x) ? x(4 ? x) = 32 ? 12x + 2x2. 2. a) f(x) = 2(x ? 3)2 + 14. b) f(x) ? 14 = 2(x ? 3)2, donc pour tout x de [0 ; 4], f(x) ? 14. c) f(x) = 14 2(x ? 3)2 = 0 x = 3. d) L?aire est minimale pour x = 3. 28 Droite tangente à une parabole ? Les outils : ? Équation réduite d?une droite. ? Équation d?une parabole. ? Résolution d?un système non linéaire. ? L?objectif : ? Savoir trouver une tangente de direction donnée. 1. A d : 4 = 2m + p soit p = 4 ? 2m et y = mx + 4 ? 2m. 2. a) Le nombre de solutions de l?équation x2 ? mx + 2m ? 4 = 0 détermine le nombre de points communs à d et ?. « d et ? n?ont qu?un point commun » « x2 ? mx + 2m ? 4 = 0 a une solution unique » = 0. b) = m2 ? 4(2m ? 4) = m2 ? 8m + 16. =0 m2 ? 8m + 16 = 0 m = 4. La droite d a alors pour équation y = 4x? 4. 29 Narration de recherche Notons x = AM et y le côté (?xe) du carré (y2 = ?). 5 2 2 y ? y2 ? 2x(y ? x) ? y2 8 3 3 2 2 0 ? 2x ? 2xy + y (1) 8 soit 1 2x2 ? 2xy + y2 ? 0 (2) 3 3 2 ? (1) x2 ? xy + y ? 0. 16 y 3y Le trinôme en x a deux racines : et . 4 4 y 3y Donc : (1) x 0; ;y . 4 4 1 ? (2) x2 ? xy + y2 ? 0. 6 3 ? 13 3 + 13 y et y Le trinôme en x a deux racines : 6 6 (environ 0,21y et 0,78y). 3 ? 13 3 + 13 Donc : (2) x y; y. 6 6 ? En conclusion : M doit être sur le segment [AB] tel que : 3 ? 13 1 3 3 + 13 y; y y; y. x 6 4 4 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 30 Narration de recherche On peut, après observation de la vue d?écran, conjecturer que ? 1 ? f(x) ? 4 pour x [? 5 ; 5]. Démontrons que c?est vrai pour tout nombre x. ? 5x + 1 2x2 ? 4x + 2 ? ? 1 ? f(x) ?1 ? 2 0? . 2x + x + 1 2x2 + x + 1 Remarquons que 2x2 + x ? 1 garde un signe constant (car < 0) strictement positif (car a > 0). Donc : ? 1 ? f(x) x2 ? 2x + 1 ? 0 (x ? 1)2 ? 0. Cette dernière égalité étant véri?ée pour tout nombre x, on a bien ? 1 ? f(x) pour tout x. ? 5x + 1 8x2 + 9x + 3 ? f(x) ? 4 ?4 0? . 2 2x + x + 1 2x2 + x + 1 Le trinôme 8x2 + 9x + 3 garde un signe constant car < 0 et comme le coef?cient du terme en x2 est positif (8x2), le trinôme est toujours positif. Donc l?inégalité f(x) ? 4 est, elle aussi, véri?ée pour tout x. ? En conclusion, la représentation de f est donc toujours dans la bande de plan (de largeur 5) délimitée par les droites d?équations y = ? 1 et y = 4. 31 TP ? Résolution d?une équation du second degré ? ?= ? ? 1 ; 12 . 3 32 TP ? Un algorithme pour résoudre une équation du second degré ? 2 ? 12 ? 2 + 12 ; 2. a) ? = . 2 2 b) ? = {5}. c) ? = Ø. d) ? = Ø. ? ? Chapitre 1 ? Second degré 11 3. b) CASIO TI Entraînement (page 38) EXERCICES b) ? = {? 1 ; 3}. 3. Les coordonnées du sommet (1 ; 4), les intersections avec l?axe des abscisses (? 1 ; 0) et (3 ; 0), en?n le signe de a (a < 0). DE TÊTE 33 Oui, car (? 2)2 ? 5(? 2) ? 14 = 0. 34 Non, car ? 2(? 1)2 + 4(? 1) ? 1 = ? 7 < 0. 35 ? = ]1 ; 3[. 36 = 16. 37 RACINES D?UN TRINÔME. ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ = ? 8 < 0. 38 2(?1)2 + (?1) = m soit m = 1. 39 x2 ? 4x = (x ? 2)2 + (? 4) donc les nombres sont 2 et ? 4. 3 2 18 3 2 62 40 2x2 ? 3x + 5 = 2?x ? ? ? + 5 = 2?x ? ? ? . D?où ? = ? ? 3 31 ;? . 4 8 4 16 4 16 41 x2 ? 8x + 4. 42 (2x ? 3)(2 ? x) = ? 2x2 + 7x ? 6 : a = ? 2, b = 7 et c = ? 6. POLYNÔME DU SECOND DEGRÉ. FORME CANONIQUE 43 a) 2(x ? 2)2 ? 7. ? ? 1 2 13 b) ? 3 x ? + . 3 3 5 2 53 c) x + ? . 2 4 3 2 9 d) ? x ? + . 2 4 ? ? ? ? 44 Corrigé dans le manuel. 45 1. a) f(x) = x2 ? 9 ? 2x2 + 2x + 12 = ? x2 + 2x + 3. b) ? (x ? 1)2 + 4. 2. a) f(x) = [2 ? (x ? 1)][2 + (x ? 1)] = (3 ? x)(x + 1). 12 46 a) (x + 3)[(x ? 3) + 4] = 0 ; ? = {? 3 ; ?1}. b) (x ? 1) [5(x + 1) ? 3(x + 2)] = 0. 1 (x ? 1)(2x ? 1) = 0 ; ? = ;1 . 2 c) ? = Ø. 2 4 . d) (3 ? 3x + 1)(3 + 3x ? 1) = 0 ; ? = ? ; 3 3 e) ? = {13}. ? ? ? ? 47 a) ? = {? 2 ; 3}. b) {?1 ; 2}. 7 ? 461 7 + 461 ; 48 a) ? = ? ?. 6 13 b) ? = ? . 3 ? ? 6 49 Corrigé dans le manuel. 50 a) ? = ?12 ; 212 ?. b) ? = Ø. 51 a) ? = ? 6 ; ? 3?. 5 12 b) ? = ; 12 . 2 ? ? 52 a) ? = {?1 ; 1}. b) ? = ? ? 8 + 217 ; 8 +3217 ?. 3 2 1 53 a) A(x) = 12?x + ??x ? ? = (3x + 2)(4x ? 1). 3 4 2 = (2 ? x)(3x + 2). b) B(x) = ? 3(x ? 2) x + 3 ? ? c) C(x) = (2x ? 5)2. x+5 + x = 4,5 x2 + 2,5x ? 16,5 et x 2(x + 3) Les solutions sont 3 et ? 5,5 ; donc x = 3 . 2. 54 1. (2 ? 13) = 7 ? 413. 2 = 7 + 413 ? 813 = (2 ? 13)2 ; ? = {13 ; 2}. 2. 55 1. 2 est solution 12 ? 3m = 0 2 ;2 . 2. 3x2 ? 8x + 4 = 0 ; ? = 3 ? ? 3. FONCTIONS TRINÔMES m = 4. ? 67 ? Figure 1 : > 0, a > 0 et c < 0. 56 =0 36 ? 4a = 0 a = 9. 1 9x2 + 6x + 1 = (3x + 1)2 qui admet pour unique racine ? . 3 2 57 = m ? 16 ; < 0 m ]? 4 ; 4[. ? Figure 2 : ? Figure 3 : ? Figure 4 : > 0, a < 0 et c > 0. = 0, a > 0 et c > 0. < 0, a > 0 et c > 0. x3 + 6x2 + 12x + 8 = x3 + 2 402 x2 + 2x ? 399 = 0. Une seule solution positive : x = 19. L?arête du cube mesure donc 19 cm. 68 1. La courbe de f est la courbe bleue. 2. a) f(0) = f(4) = 0. b) f(2) = ? 4a = ? 4 donc a = 1. 3. a) = 0 ; 1 est racine double. b) g(0) = a = ? 2. 59 Soit x le nombre (de joueurs) cherché. 69 1. ? a pour sommet S(2 ; ? 7). 58 (x + 2)3 = x3 + 2 402 ? 2 000 000 + 20 000? = 2 000 000, x x 100 (x ? 5)? + 1? = 100 x (x ? 5) ?? a pour sommet S? 0 2. (x ? 5)(100 + x) = 100x x2 ? 5x ? 500 = 0 x = ? 20 ou x = 25. Une seule solution positive : x = 25. Il y avait donc 25 personnes. 60 x x2 + 2x ? 3 = 0 ; ? = {? 3 ; 1}. D?où : A(? 3 ; 4) et B(1 ; 8). 4x2 + 292x ? 985,8 = 0 ; 5 = 101 036,8 317,862. Une seule solution positive : x1 3,23. Donc, à 1 mm près, la largeur du cadre doit être de 3,2 cm. 64 En mètres, notons x la longueur AB et y la largeur AD (x et y sont strictement positifs). 43 200 xy = 43 200 y= x 24 × 43 200 = 20x ? 480 (E) 24y = 20(x ? 24) x (E) x2 ? 24x ? 51 840 = 0 x = ? 216 ou x = 240. Donc, la longueur mesure 240 m et la largeur 180 m. ? 65 ? ? (1 ? 2x)2 = 1 2 1 ? 2x > 0 3 1 1 ? 2x = 2 x= 4x =6 66 1. x + 2 ? 12 4 ?2 12 2x = 1 ? 2 x2 + 2x ? 24 = 0 et x 4 5 ? ? + 34 5 70 1. < 0 4 + 4c < 0 c < ?1. Les deux propositions A et B sont équivalentes. 2. Le maximum de g est supérieur ou égal à g(0), c?est-àB. dire à c ; donc A En revanche, la maximum de g peut être positif avec c ? 0. Contre-exemple : g(x) = ? x2 + 4x ? 3, max = 1 et c = ? 3. 71 1. S?? 2 ; ? 16 ?. 3 3 2 2. I(? 2 ; 0), J ; 0 et K(0 ; ? 4). 3 ? ? 72 x3 + (10 ? x)3 = x3 + 1 000 ? 300x + 30x2 ? x3. V(x) = 30x2 ? 300x + 1 000, V(x) est minimal pour 300 = 5 et le volume est alors égal à 250 cm3. x= 2 × 30 73 a) x ? ?2 A(x) + x ? 0 ? c) ? 4. 4+x Les solutions sont 4 et ? 6. Comme x > 0, x = 4 ohms (4 ). x C(x) ? 0 0 + 0 + 0 + + + 1 3 ?1 ? ? ?1 3 ?6 + 5 0 b) B(x) 0,146. + ?7 f(x) > 0. 61 Corrigé dans le manuel. 93 × 53 63 4x2 + 2(93 + 53)x = ? f(x) = 1 + 4a2 ; pour tout nombre a, 62 2x2 + x ? 11 = x2 ? x ? 8 x ? 4 ; ? 34 ?. 5 5 + ? Chapitre 1 ? Second degré 13 d) x c) ?2 7 ? D(x) ? 0 0 + + 0 ? 1 2 ?2 A(x) ? 0 + ? 1 B(x) + 0 5 8 ? C(x) ? 0 + f(x) 6 ? 2417 ? 0 0 + 81 a) ? = Ø. c) ? = [0 ; 3]. 0 + ? Donc, comme le coef?cient de x2 est positif : ? = ]? ; ? 2[ ]?1 ; + [. b) < 0 et a > 0 ; donc ? = ?.?? c) Le trinôme x2 ? 7x + 12 a deux racines : 3 et 4. Donc, comme le coef?cient de x2 est positif, ? = [3 ; 4]. d) < 0 et a < 0 ; donc ? = ?.?? ? ? ? 5 5 ;?= ? . 3 3 1 1 b) ? 3(t + 2) t ? ? 0 ; ? = ]? ; ? 2] ;+ . 2 2 1 7 c) = 642 ; x1 = ? , x2 = et a < 0. 8 8 1 7 Donc ? = ? ; ? ;+ . 8 8 3 3 3 d) (2t + 3)2 > 0 t ? ;?= ? ;? ? ;+ 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? 79 Corrigé dans le manuel. 80 a) x ? ?3 3+x x?3 + ? ?3 0 b) x 7 ? 4x x?3 14 ? 3 ? + 7 4 + 0 + + ? + 0 ? 0 + + + ? + 0 ? [1 ; + [. 0 5 2 10 225 4 S(x) 225 5 pour x = . 4 2 Pour x = 2,5 cm, l?aire est maximale et est égale à 56,25 cm2. 3. S(x) ? aire (AMPN) ? x2 + 5x + 50 ? x2 2x2 ? 5x ? 50 ? 0. 5 ? 5417 5 + 5417 x1 = ? 3,9 et x2 = 6,4. 4 4 5 + 5417 , S(x) ? aire (AMPN). Donc pour x ? 4 b) Maximum : ? ? ? + 1 b) ? = ]? 1 ; 3[. d) ? = ?.}2{ ? ?? x 77 a) Le trinôme x2 + 3x + 2 a deux racines : ? 2 et ?1. x=? 0 ? 0 ? (x ?1)(x + 3) ? 0. x 2 x + 10 Aire du trapèze : × (10 ? x). 2 1 S(x) = (10x ? x2 + 100 ? x2) = ? x2 + 5x + 50. 2 2. a) Le trinôme ? x2 + 5x + 50 a deux racines, ? 5 et 10, et 5 atteint son maximum pour x = . 2 b) = ? 3 ; pour tout x, g(x) > 0. c) = ? 2 ; pour tout x, h(x) < 0. 78 a) (3x + 5)2 ? 0 ? x(10 ? x) . 82 1. Aire du triangle : ? 6 + 2417 + ? 0 ? = [? 3 ; 0[ 76 a) = 68 ; x1 = 6 ? 2417 et x2 = 6 + 2417. ? ? ? x ? 2x + 3 x + + + ?3 x 75 Corrigé dans le manuel. x ? + 13 4 5 3 ? x2 ? 2x ?0 x 2 c) C(x) = [2(x + 2) ? 3(3 ? 2x)][2(x + 2) + 3(3 ? 2x)] = (8x ? 5)(? 4x + 13) x 0 ? x ? 2x + 3 + 0 ? 3 ?x?2?0 x x ? 9 ? 0 2 b) B(x) = (x ? 5 + 4)(x ? 5 ? 4) = (x ? 1)(x ? 9) x d) + 0 ? x 5?x ? 74 a) A(x) = (x + 2)[(x ? 2) ? 3(x ? 1)] = (x + 2)(? 2x + 1) x x 83 1. a) x2 + 12x ? 108 = 0 ; = 144 + 432 = 576 = 242. ?12 ? 24 ?12 + 24 = ?18 et x2 = = 6. 2 2 Avec l?algorithme 6 36 144 12 6 = x2. b) 8 64 144 12 4 = 256 + 320 = 242. ?16 ? 24 ?16 + 24 x1 = = ? 20 et x2 = = 4. 2 2 2. a) x2 + bx ? c = 0 a pour discriminant = b2 + 4c > 0. b2 b +c? . b) x1 prend la valeur 4 2 HM HB = , soit HM = HB = 5 ? x. 84 1. AC AB 5×5 25 S(x) = ? x(5 ? x) = x2 ? 5x + . 2 2 5 b 2. a) ? = 2a 2 x1 = ?. 8 x S(x) 25 2 5 2 0 b) L?aire est minimale pour x = POUR ALLER PLUS LOIN ? ? 5 5 25 = . et S 2 2 4 25 ? 0. 8 25 5(12 ? 1) 5(12 + 1) = ;x = et x2 = . ? = [x1 ; x2]. 2 1 212 212 3. S(x) ? 75 8 25 2 25 4 88 1. a) (? 7 × 16) + (9 × 4) + 76 = ?112 + 36 + 76 = 0. x2 ? 5x + b) x1 + x2 = d?équation x = 1. Pour m > ?1, il semble y avoir deux points d?intersection. 2. a) x2 ? 2x ? m = 0 ; = 4 + 4m. ?0 m ? ?1. b) Si m ? ?1 : 2 ? 94 + 4m xA = = 1 ? 81 + m et xB = 1 + 81 + m. 2 x +x c) xC = A B = 1. Le point C appartient bien à la droite 2 d?équation x = 1. 86 1. On peut conjecturer que le trinôme a deux racines distinctes lorsque le produit a × yS est strictement négatif. b b2 b2 b2 2. yS = f ? +c=? +c =a× 2 ? 2a 4a 2a 4a ? b2 + 4ac a × yS = =? ce qui permet de démontrer la 4 4 conjecture car > 0 équivaut à a × yS < 0. ? 90 Corrigé dans le manuel. Prendre toutes les initiatives 91 Notons n ? 1, n et n + 1 les trois entiers consécutifs cherchés. (n ? 1) + n + (n + 1) = n(n ? 1)(n + 1) 3n = n(n2 ? 1) n(n2 ? 4) = 0 n {0 ; ? 2 ; 2}. Les triplets cherchés sont (?1 ; 0 ; 1), (? 3 ; ? 2 ; ?1) et (1 ; 2 ; 3). 92 A(2 ; 1) milieu de [MN] avec M?m ; 1 ? et N?n ; 1 ? Restitution organisée de connaissances ?b ? 1 ? b + 1 b =? ; 87 1. x1 + x2 = 2a a (? b ? 1 )(? b + 1 ) b2 ? c x1 × x2 = = = . 4a2 4a2 a 1 2 1 1 2. a) 4 × +4× ? 3 = 1 + 2 ? 3 = 0; est bien 2 2 2 solution. 1 3 b x1 + x2 = ? = ?1 soit + x2 = ?1, et x2 = ? . 2 2 a ? ? EXERCICES 2 2 donc l?autre solution est . 3 3 1 1 b) ?1 est une solution ; le produit est égal à ? donc est 7 7 l?autre solution. c) 2 est une solution ; la somme est égale à ?1, donc ? 3 est l?autre solution. 15 15 d) 1 est une solution ; le produit est égal à ? , donc ? 8 8 est l?autre solution. Le produit est égal à 85 1. c) Le point C semble appartenir à la droite ROC 9 9 19 donc x2 = ? 4 = ? . 7 7 7 89 a) 1 est une solution évidente (3 ? 5 + 2 = 0). AVEC LES TICE ? ? ? 1 3 3 c × ? =? = . 2 2 4 a b) 1 est une solution évidente (1 + 5 ? 6 = 0). Le produit est égal à ? 6 donc l?autre solution est ? 6. Véri?cation : x1x2 = 5 1 1 + m+n m n =1 = 2 et 2 2 1 1 m + n = 4 et + = 2 m n m+n m + n = 4 et =2 mn m + n = 4 et mn = 2 m et n sont solutions de x2 ? 4x + 2 = 0. = 8 ; soit m = 2 ? 12 et n = 2 + 12. m n Approfondissement (page 43) 9 93 « f(x) < 0 pour tout x » équivaut à < 0, soit à m > . 2. a) 94 95 <0 m ]? 5 ; 3[. 4 = (m + 1)2 ? 16. 1. = 0 (m + 1)2 = 16 m = ? 5 ou m = 3. ? m = ? 5 : x2 + 4x + 4 = 0 (x + 2)2 = 0 ; ? = {? 2}. 2 ? m = 3 : x ? 4x + 4 = 0 (x ? 2)2 = 0 ; ? = {2}. = 16 ? 8m(m ? 1) = ? 8(m2 ? m ? 2). 1. = 0 m = ?1 ou m = 2. ? m = ?1 : ? x2 + 4x ? 4 = 0 (x ? 2)2 = 0 ; ? = {2}. 2 (x + 1)2 = 0 ; ? = {?1}. ? m = 2 : 2x + 4x + 2 = 0 Chapitre 1 ? Second degré 15 96 (x + 2)3 = x3 + 488 x3 + 6x2 + 12x + 8 = x3 + 488 6x2 + 12x ? 480 = 0 x2 + 2x ? 80 = 0. 2 = 4 + 320 = 18 ; ? = {?10 ; 8}. L?arête du cube mesure 8 cm. 97 1. a) Quatre solutions. b) f(x) = 0 x2 + x ? 2 = 0 ou x2 ? 2x ? 1 = 0 (x = 1 ou x = ? 2) ou (x = 1 ? 12 ou x = 1 + 12). ? = {? 2 ; 1 ? 12 ; 1 ; 1 + 12}. 2. a) On peut conjecturer que l?inéquation f(x) < 0 a pour solutions les nombres de ]? 2 ; 1 ? 12[ ]1 ; 1 + 12[. b) f(x) = (x2 + x ? 2)(x2 ? 2x ? 1). x ? 1 ? 12 ?2 x +x?2 + 0 ? x ? 2x ? 1 + 2 2 f(x) 1 + 12 1 ? 0 + + + + 0 ? ? 0 + + 0 ? 0 + 0 ? 0 + ? = ]? 2 ; 1 ? 12[ ]1 ; 1 + 12[. 98 1. La simpli?cation par x + 1 n?est possible que si x + 1 0. x2 ? 1 = x + 1 (x + 1)(x ? 1) ? (x + 1) = 0 (x + 1)(x ? 2) = 0. ? = {?1 ; 2}. 2. Sur [0, 1], x ? x2. (x + 1)2 ? (x + 1) ? 0 (x + 1)x ? 0. (x + 1)2 ? x + 1 ? = ]? ; ?1] [0 ; + [. 3. Le signe de x + 2 doit être pris en compte pour une multiplication des deux membres. x2 ? 1 x2 ? 1 ?x ?x?0 x+2 x+2 x2 ? 1 ? x(x + 2) ?0 x+2 ? 1 ? 2x ? 0. x+2 1 ? = ]? ; ? 2] ? ;+ . 2 d 99 t = . v 108 d . 1. a) taller = = 90 + v 90 + v 108 d b) tretour = = . 90 ? v 90 ? v 108 108 5 + = 2. 90 + v 90 ? v 2 5 108(90 ? v) + 108(90 + v) = (902 ? v2) 2 2 2 2 108 × 180 × = 90 ? v 5 v2 = 902 ? 7 776 = 182. La vitesse du vent est de 18 km · h?1. ? ? 100 A. 1. a) Pour m = 2, g(x) = 2x2 + 4x + 4. 2(x + 1)2 = 0. 2x2 + 4x + 4 = 0 g(?1) = 0, donc l?implication est fausse. b) = 16 ? 4m. m<0 > 0 ; donc l?implication est vraie. c) > 0 m < 4 ; donc l?implication est fausse. 16 2. Non, car l?une est vraie et l?autre fausse. B. Faux. Contre-exemple : l?équation x2 + 3x + 2 = 0 a deux solutions distinctes, ?1 et ? 2. ? a et c sont pourtant de même signe. ? La réciproque est vraie car si a et c sont de signes contraires, ac est strictement négatif et est strictement positif. 101 1. Ces lignes permettent de s?assurer de la saisie d?un nombre a non nul. 2. 3. 103 y 5 4 3 B 2 1 D C ?3 ?2 ?1 2 1 3 4 x ?1 A ?2 ?3 3 x 0 et 2x2 + x ? 3 = 0. x 3 = 25 = 52 ; donc (E) a pour solutions 1 et ? . 2 3 Les coordonnées de A sont ? ; ? 2 , celles de B sont (1 ; 3) 2 1 1 et celles du milieu de [AB] sont ? ; . 4 2 1 La droite d coupe les axes en C ? ; 0 et D(0 ; 1). 2 Le milieu de [CD] est bien celui de [AB]. (E) 2x + 1 = ? ? ? ? ? ? 104 1. Appliquons le théorème de Thalès : MN BM 4?x x = , donc MN = 2 × =2? ; AS AB 4 2 MQ AM = , donc MQ = x (AMQ est aussi équilatéral?). BC AB x2 Aire(MNPQ) = MN × MQ = ? = 2x. 2 4 x2 2. ? + 2x = ? 3x2 + 12x ? 8 = 0. 3 2 6 + 213 6 ? 213 3,155 et x2 = 0,845. = 48 ; x1 = 3 3 Donc deux solutions (0 ? x ? 4) au problème posé. 105 1. d coupe (OC) au point F de coordonnées (0 ; m) ; 102 Notons x la longueur et y la largeur du jardin. xy = 805 xy = 805 = 165 x + y = 58 Donc : x(58 ? x) = 805 soit ? x2 + 58x ? 805 = 0. = 144 = 122 ; donc, avec x > y, x = 35 et y = 23. ? 2 × 1,5 × (x + y) ? 4 × 1,5 2 ? donc si 2 ? m < 4, alors F appartient à [OC]. d coupe (BC) au point E de coordonnées (8 ? 2m ; 4) ; donc si 2 ? m < 4, alors 0 < 8 ? 2m ? 4 et E [BC]. 2. a) CF = 4 ? m, CE = 8 ? 2m ; donc aire(ECF) = (4 ? m)2. (4 ? m)2 ? 2 m2 ? 8m + 14 ? 0. b) 8(4 ? m)2 ? 16 2 = 8 ; le trinôme m ? 8m + 14 est négatif pour : m [4 ? 12 ; 4 + 12]. De plus, par hypothèse m [2 ; 4[, donc les nombres cherchés sont ceux de l?intervalle [4 ? 12 ; 4[. 106 Dire que le poids de l?astronaute est inférieur à 25 N équivaut à : 6 400 2 x ? 0 et 60 × 9,8 × ? 25. 6 400 + x ? ? Chapitre 1 ? Second degré 17 Cette dernière inéquation équivaut à : 588 × 6 4002 ? 25 (6 400 + x)2, soit encore à : x2 + 12 800x ? 922 419 200 ? 0. Donc, x étant positif, le poids de l?astronaute sera inférieur à 25 N à partir de 24 639 km d?altitude (à 1 km près). Remarque : l?altitude de l?orbite géostationnaire est 36 000 km. 107 1. a) ON = 2 soit ON = 2m . OM m?3 m?3 1 2m m2 ×m× = . b) Aire(OMN) = 2 m?3 m?3 m2 m2 2. ? 16 et m > 3 ? 16 ? 0 et m > 3 m?3 m?3 m2 ? 16m + 48 ? 0 et m > 3. 2 = 64 = 8 ; le trinôme admet 4 et 12 comme racines et est négatif pour m [4 ; 12]. 108 1. f(0) = 4 et g(0) = ? 3, donc la courbe rouge est la représentation de la fonction f. 2. f(x) = g(x) 2x2 + 8x + 4 = x2 ? 3 x2 + 8x + 7 = 0 x = ?1 ou x = ? 7. Les points d?intersection ont pour coordonnées (?1 ; ? 2) et (? 7 ; 46). 3. f(x) ? g(x) x2 + 8x + 7 ? 0 x [? 7 ; ?1]. 109 1. C(n) ? 4 700 0,02n2 + 8n ? 4 200 ? 0 n [? 700 ; 300] et n ? 0. Le coût total est supérieur à 4 700 ? pour n ? 300. 2. a) B(n) = 17,5n ? C(n) = ? 0,02n2 + 9,5n ? 500. b) B(n) ? 0 ? 0,02n2 + 9,5n ? 500 ? 0 (et n ? 0). = 50,25 ; le trinôme est positif pour n appartenant à [x1 ; x2] avec x1 60,28 et x2 414,71. n étant entier, l?entreprise réalise un béné?ce positif ou nul pour n [61 ; 414]. 3. B(n) = np ? C(n) = ? 0,02n2 + (p ? 8)n + 500. b Le trinôme admet un maximum pour n = ? , c?est-à-dire 2a p?8 . pour n = 0,04 p?8 Ce maximum est obtenu pour = 300 soit p = 20. 0,04 x(12 ? 2x) = x(6 ? x) = 6x ? x2. 110 1. ?(x) = 2 2. a) f(x) = ? (x ? 3)2 + 9 et S(3 ; 9). b) La représentation de ? est l?arc de la parabole ? restreint à x [0 ; 5]. y 9 8 7 6 3. a) Graphiquement, on peut conjecturer que 6 ? ?(x) ? 8 pour x [ ; 2] [4 ; ] avec 1,3 et 4,7. b) Par le calcul : ? ?(x) ? 8 ? x2 + 6x ? 8 ? 0. = 4 et le trinôme est négatif à l?extérieur de l?intervalle [2 ; 4], donc sur ]0 ; 2] [4 ; 5]. ? ?(x) ? 6 ? x2 + 6x ? 6 ? 0. = 12 ; x1 = 3 ? 13 et x2 = 3 ? 13. Le trinôme ? x2 + 6x ? 6 est positif (du signe contraire de a) pour x [3 ? 13 ; 3 + 13]. ? En conclusion : 6 ? ?(x) ? 8 pour x appartenant à : ?]0 ; 2] [4 ; 5]? [3 ? 13 ; 3 + 13] soit [3 ? 13 ; 2] [4 ; 3 + 13]. Prendre toutes les initiatives 111 Notons x la longueur AC. « ABC rectangle en C » équivaut à x2 + (20 ? x)2 = 132 soit à 2x2 ? 40x + 231 = 0. Or = ? 248, donc le problème n?a pas de solution. 112 Notons H le milieu de [AB], O le centre du cercle et x la distance OH (0 ? x < 4). 1. Si H [OM], AM2 = 16AH2 = MH2 + AH2. A Il en résulte 15AH2 = MH2, soit : 15(16 ? x2) = (4 ? x)2 16x2 ? 8x ? 14 × 16 = 0 2x2 ? x ? 28 = 0. 7 Les solutions ? et 4 ne conviennent pas (la seule solution 2 positive, 4, correspond à A, B et M confondus). 2. Si H [OM], on obtient : 15(16 ? x2) = (4 + x)2 16x2 + 8x ? 14 × 16 = 0 2x2 + x ? 28 = 0. A 18 H 1 2 3 4 5 6 x M B 5 4 3 2 1 0 H O B O M Cette équation admet deux solutions, ? 4 et 7 . 2 ? Le problème admet donc une seule solution avec x = ? 7 : 2 le point H est sur le diamètre issu de M tel que : MH = 7,5 cm. Travail en autonomie (page 46) EXERCICES A a) x2 + y2 = 21 800 3x + 3y + (x ? y) = 660 x2 + y2 = 21 800 2x + y = 330 (avec x > y) y = 330 ? 2x b) Le système est équivalent à 2 x + (330 ? 2x)2 = 21 800 (E). L?équation du second degré (E) s?écrit encore : 5x2 ? 1 320x + 87 100 = 0 ou x2 ? 264x + 17 420 = 0. = 16 ; x1 = 130 et x2 = 134. Deux possibilités : x = 134 et y = 62 ou x = 130 et y = 70. ? ? ? B a) ? = 20x ? x2. b) 20x ? x2 = 50 x2 ? 20x + 50 = 0. = 200 ; x1 = 10 ? 512 et x2 = 10 + 512. 10 + 512 ne convient pas car 0 < x < 10. Donc la mesure cherchée est x = 10 ? 512 2,92 cm. C On projette D orthogonalement sur [AB] en H. 1 1 DH = AD = h demi-triangle équilatéral ou sin 30° = . 2 2 AB × DH = 52 soit AB × AD = 104 ; 2(AB + AD) = 42 soit AB + AD = 21. D?où : AB(21 ? AB) = 104, soit AB2 ? 21AB + 104 = 0. = 52 ; l?équation admet deux solutions 8 et 13. En conclusion : AB = 13 cm et AD = 8 cm ou AB = 8 cm et AD = 13 cm. ? D x2 + (10 ? x)2 ? = 100 ; x1 = ? 5 × 102 8 5 15 et x2 = . 2 2 125 x2 + (10 ? x)2 ? 2 75 2x2 ? 20x + ? 0. 2 r1 R 3 x = = , d?où r1 = . x h 12 4 r2 R 3 12 ? x = = , d?où r2 = . h ? x h 12 4 27 27 b) r 2 + r 2 ? r2 + r2 ? 1 2 1 2 4 4 27 x2 (12 ? x)2 + ? 4 16 16 2x2 ? 24x + 144 ? 108 x2 ? 12x + 18 ? 0. = 72 ; x1 = 6 ? 312 et x2 = 6 + 312. x doit donc appartenir à l?intervalle ]x1 ; x2[ avec : x1 1,757 cm et x2 10,242 cm. E a) F a) Le trinôme x2 ? x + 2 a un discriminant négatif ( = ? 7) donc ne s?annule jamais (et reste strictement positif). b) Comparons f(x) et 1. 2x ? 1 ? x2 + x ? 2 ? x2 + 3x ? 3 = 2 . x ?x+2 x2 ? x + 2 Le dénominateur étant toujours positif, f(x) ? 1 est du signe du trinôme ? x2 + 3x ? 3. = ? 3 donc le trinôme garde un signe constant, celui du coef?cient a, ici ?1. Donc, pour tout x, f(x) ? 1 ? 0 soit f(x) ? 1. On démontre de même que pour tout x, f(x) ? ?1 : x2 + x + 1 , les deux trinômes gardent un signe f(x) + 1 = 2 x ?x+2 constant, ils sont strictement positifs. f(x) ? 1 = Chapitre 1 ? Second degré 19 CHAPITRE 2 ACTIVITÉS Variations des fonctions associées (page 49) Activité 1 d) On obtient deux paraboles qui sont superposables (pour k = 0). f) et g) Le nombre b reste constant, égal à k si k est positif et à ? k sinon. 2. b) Elles ne sont pas, en général, superposables. c) Pour k 0 : h(x) = 0 f(x) = 0. d) k = ?1. PROBLÈME OUVERT f(x) = ? 1 1 = g(x). Alors h(x) = 2 . x x EXERCICES f et g sont strictement croissantes sur I = ]0 ; + [, et h est strictement décroissante sur I. Application (page 54) x +1?0 x ? ?3 x I = [? 3 ; + [. 3 x b) u : x ? 1 + ??est une fonction af?ne strictement crois3 sante sur I. Les fonctions u et 1u ont le même sens de variation : f est donc strictement croissante sur I. 1 a) 2 a) ? x + 3 ? 0 x ? 3 x I = ]? ; 3]. b) u : x ? ? ??x + 3 est une fonction af?ne strictement décroissante sur I. Les fonctions u et 1u ont le même sens de variation : f est donc strictement décroissante sur I. 3 a) Pour tout x, 2x2 + 1 ? 0, donc f est dé?nie sur ? ??et donc en particulier sur I = [0 ; + [. b) u : x ?2 ??x2 + 1 est une fonction strictement croissante sur I. Les fonctions u et 1u ont le même sens de variation : f est donc strictement croissante sur I. 4 a) Pour tout x, x ? 0, donc f est dé?nie sur ? ??et donc en particulier sur I = ]? ; 0]. 20 b) Pour tout x ]? ; 0], x = ? x. u : x ? ? ??x est strictement décroissante sur I. Les fonctions u et 1u ont même sens de variation : f est donc strictement décroissante sur I. 1 ? ?1 x ? ?1 x x I = ]? ; ?1]. 1 1 b) Sur I, les fonctions x ? ??et x ? 1 + ??sont strictement x x décroissantes : f est donc strictement décroissante sur I. 5 a) 1 + 1 ?0 x x+3 est une fonction af?ne strictement 2 croissante sur I = [? 3 ; + [, f est donc strictement croissante sur I. x ?3 ?1 5 + 6 u : x ??? f(x) 0 1 4 Si x [?1 ; 5], alors 8x + 3 2 13 a) f est dé?nie pour tout réel x non nul donc sur D. [1 ; 4]. 7 a) Pour tout x de I = ]3 ; + [, l?expression 3 ? x est non nulle. Donc f est bien dé?nie sur I. b) u : x ? ? ??x + 3 est une fonction af?ne strictement décrois1 sante sur I. Les fonctions u et varient en sens contraires ; u f est donc strictement croissante sur I. 8 a) Tout nombre de I = ]? ; 0[ est non nul, f est bien dé?nie sur I. b) u : x ? ??x2 est une fonction strictement décroissante sur I. 1 Les fonctions u et varient en sens contraires : u f est donc strictement croissante sur I. 9 a) Tout nombre de I = ]? ; 0[ est non nul, f est donc bien dé?nie sur I. b) u : x ? ??x est une fonction strictement décroissante sur I. 1 u et varient en sens contraires : u f est donc strictement croissante sur I. 10 a) Pour tout x de I = ]?1 ; + [, l?expression x + 1 est non nulle, donc f est bien dé?nie sur I. x+1 b) u : x ??? est une fonction af?ne strictement croissante 2 1 sur I. Les fonctions u et varient en sens contraires : u f est donc strictement décroissante sur I. 11 a) Pour tout x de I = ? 5 ; + ? , l?expression 2x ? 5 est 2 strictement positive, f est bien dé?nie sur I. b) La fonction (af?ne) x ?2 ??x ? 5 est strictement croissante sur I. Il en est donc de même pour u : x ?28 ??x ? 5. 1 u et varient en sens contraires : u f est donc strictement décroissante sur I. 12 Pour tout x > 3, l?expression x ? 3 est strictement positive, f est bien dé?nie. La fonction (af?ne) x ? ??x ? 3 est strictement croissante sur I. Il en est de même pour la fonction u : x ?7 ??x ? 3. 1 u et varient en sens contraires : u f est donc strictement décroissante sur ]3 ; + [. x f(x) 3 1 1 1 1 , x ? × ??et x ??? ? 5 varient x 3 x 3x dans le même sens : elles sont strictement décroissantes sur chacun des intervalles qui composent D. b) Les fonctions x ??? 4 1 19 4 + x ? 0 + f(x) 14 a) f est dé?nie pour tout réel x non nul donc sur D. b) Sur ]? ; 0[, la fonction x ? ??x est strictement décrois1 sante donc la fonction u : x ??? est strictement croissante. x Il en est de même pour la fonction 2u : f est strictement croissante sur ]? ; 0[. Un raisonnement analogue nous amène à : f est strictement croissante sur ]0 ; + [. x ? 0 + f(x) 15 a) f est dé?nie pour tout réel x 1 donc sur D. b) u : x ? ??x ? 1 est une fonction af?ne strictement crois1 sante sur ]1 ; + [. Les fonctions u et varient en sens u 1 1 contraires, mais et + 4 varient dans le même sens : u u f est donc strictement décroissante sur ]1 ; + [. Un raisonnement analogue nous amène à : f est strictement décroissante sur ]? ; 1[. x ? 1 + f(x) 16 a) f est dé?nie pour tout réel x positif et différent de 1 donc sur D. b) Sur [0 ; 1[, x ?1 ??x et u : x ?1 ??x ? 1 sont strictement 1 croissantes. u et varient en sens contraires : u f est donc strictement décroissante sur [0 ; 1[. Un raisonnement analogue nous amène à : f est strictement décroissante sur ]1 ; + [. x 0 1 + f(x) Chapitre 2 ? Variations des fonctions associées 21 Activités de recherche (page 58) EXERCICES 21 Modéliser une situation Conclusion : f est strictement croissante sur [0 ; 5]. 5 4. a) d(x) = f(x) ? 3 = ? . x+1 b) d(x) est du signe contraire de x + 1 sur [0 ; 5] donc négatif : la courbe est donc toujours au-dessous de la droite sur [0 ; 5]. ? Les outils : ? Tableau de variation d?une fonction. ? Variations de la fonction carré. ? Variations de 1u. ? Les objectifs : ? Modéliser une situation. ? Étudier les variations d?une distance. 1. x ? 0 + f(x) 23 Narration de recherche E C 1 On peut conjecturer un minimum de 1 pour x = 0, c?est-àdire lorsque M est en O, et qu?il n?y a pas de maximum : BM peut être aussi grand que l?on veut en « éloignant » M de O (x positif, comme x négatif). 2. Théorème de Pythagore dans le triangle rectangle OBM : BM2 = OB2 + OM2 = 1 + x2 ; donc BM = 8x2 + 1. 3. Pour tout nombre réel x, x2 + 1 est positif. a) La fonction carré est strictement décroissante sur ]? ; 0] et strictement croissante sur [0 ; + [. Il en est de même pour u. x ? 0 u(x) + 22 Utiliser une transformation d?écriture ? Les outils : ? Décomposition d?une fonction. ? Tableau de variation. 1 ? Variations de , de u, de u + k. u ? Les objectifs : ? Étudier les variations d?une fonction homographique. ? Étudier la position relative d?une courbe et d?une droite. 5 1. a) 3x ? 2 = 3(x + 1) ? 5. b) f(x) = 3 ? . x+1 1 1 5 ?× 5? ?? ??3?? . 2. x ? ??x + 1 ??? x+1 x+1 x+1 3. Sur l?intervalle I : x x???x+1 1 x+1 1 x ?× 5? ?? x+1 5 f:x??3?? x+1 x??? 0 1 B O 1 D x Les équations des droites contenant les segments et demidroites de la ?gure sont : (AB) : y = ? 2x ? 4 ; (BC) : y = 2x + 4 ; (CD) : y = ? 2x + 4 ; (DE) : y = 2x ? 4. (AB) et (DE) se coupent en C?(0 ; ? 4), symétrique de C par rapport à l?axe des abscisses. Notons g la fonction représentée par la réunion des demidroites [C?A) et [C?E). La courbe étudiée est donc la représentation graphique de f, avec f = g ? 2x ? 4, si x ? 0 ou g(x) = 2x ? 4, si x > 0 c?est-à-dire g(x) = 2x ? 4 et f(x) = 2x ? 4. ? 1 b) u et 1u varient dans le même sens : f est donc décroissante sur ]? ; 0] et strictement croissante sur [0 ; + [. c) Les conjectures du 1. sont ainsi véri?ées. 22 y A 5 24 Narration de recherche Notons I le milieu de [AB]. Dans le repère (A, I), les points A, B, C ont pour abscisses, respectivement 0, 2, 3. Notons x l?abscisse du point M. x, si x ? 0 MA = , soit AM = x. ? x, si x < 0 x ? 2, si x ? 2 De même, MB = , soit MB = x ? 2 et 2 ? x, si x < 2 x ? 3, si x ? 3 MC = , soit MC = x ? 3. 3 ? x, si x < 3 On a donc quatre cas à étudier suivant la position de M sur la droite par rapport aux points A, B, et C. ? ? ? x 0 2 3 MA ?x x x MB 2?x 2?x x?2 MC 3?x 3?x 3?x MA + MB ? MC ? 1 ? x ? 1 ? x 3x ? 5 MA + MB ? MC = 4 x = ? 5 Ø x=3 x x?2 x?3 x+1 x=3 Le problème a donc deux solutions : le point M doit être en C ou en D. D A B C 25 TP ? Somme de fonctions monotones 2. a) f est croissante et g décroissante sur ]0 ; + [, donc toutes les deux sont monotones sur cet intervalle. b) La fonction h semble décroissante sur ]0 ; 1[ puis croissante sur [1 ; + [, donc non monotone sur ]0 ; + [. c) x ? ?1 0 f(x) g(x) (f + g)(x) d) x 1 2 0 + c) Plusieurs contre-exemples (2. b), c) et d)) nous permettent d?af?rmer que l?énoncé est faux. 4. a) f est la somme de deux fonctions croissantes sur [0 ; + [, x ?2 ??x + 1 et x ?1 ??x ; elle est donc croissante sur [0 ; + [. b) g est la somme de deux fonctions décroissantes sur 1 et x ? ? ??x ; [1 ; + [, x ??? x?1 elle est donc décroissante sur [1 ; + [. 26 TP ? Produit de fonctions monotones 2. a) Les trois fonctions sont monotones sur ]0 ; + [ : f et f × g sont croissantes, et g est décroissante. b) x ? 0 f(x) f(x) g(x) g(x) (f × g)(x) (f + g)(x) x c) ? 0 f(x) x 0 + f(x) g(x) g(x) (f × g)(x) (f + g)(x) e) La somme de deux fonctions monotones sur un intervalle n?est pas nécessairement monotone sur cet intervalle. En revanche, si elles sont toutes les deux décroissantes, alors il est possible que la somme le soit aussi. 3. a) f et g étant croissantes, si a < b, alors f(a) ? f(b) et g(a) ? g(b), soit f(a) + g(a) ? f(b) + g(b) et la fonction f + g est aussi croissante. b) f et g étant décroissantes, si a < b, alors f(a) ? f(b) et g(a) ? g(b), soit f(a) + g(a) ? f(b) + g(b) et la fonction f + g est aussi décroissante. On peut donc énoncer le théorème suivant : sur un intervalle I, la somme de deux fonctions croissantes est croissante et la somme de deux fonctions décroissantes est décroissante. x ? 0 f(x) g(x) (f × g)(x) d) Non, puisque l?on a rencontré des cas dans lesquels les résultats sont contraires. 3. a) f et g étant croissantes, si a < b, alors f(a) ? f(b) et g(a) ? g(b). b) Un contre-exemple suf?t : ? 3 < 2 et ? 2 < 1 or (? 3) × (? 2) > 2 × 1. c) Non, mais si on ajoute l?hypothèse « elles ne prennent que des valeurs positives », on peut en déduire que la fonction produit est elle aussi croissante (voir l?exercice 74, page 67). d) Voir une solution du problème ouvert. Entraînement (page 62) EXERCICES DE TÊTE 27 f est strictement croissante sur I. 28 f est strictement croissante sur I. 29 f est strictement décroissante sur ]? ; 0] et strictement croissante sur [0 ; + [. 30 f est strictement croissante sur I. 31 x ?28 ??x + 3 est strictement croissante sur ?? 3 ; + 2 donc : si 0 < x < y, alors 82x + 3 < 82y + 3 soit A < B. ?, 1 est strictement décroissante sur ]?1 ; + [, 7x + 1 1 1 donc : si 0 < x < y, alors > soit A > B. 7x + 1 7y + 1 32 x ??? Chapitre 2 ? Variations des fonctions associées 23 5 1 ;+ , est strictement décroissante sur 2 2x ? 5 donc : 1 1 > soit A > B. si 3 < x < y, alors 2x ? 5 2y ? 5 34 Sur [? 2 ; 0], la fonction valeur absolue est strictement décroissante, donc : si ? 2 ? x ? 0, alors ? 2 ? x ? 0 soit x [0 ; 2]. ? 33 x ??? 35 x x Donc : si x ?2 2 0 ? 45 y k f 1 3 3 g 0 x 1 h 0 [2 ; 3], alors 0 ? x ? 3. 46 y 36 Corrigé dans le manuel. f D?UNE COURBE À L?AUTRE : RECONNAÎTRE h 1 g 0 1 47 1. x x 37 f en vert, ? f en mauve, 2f en bleu et 1 en rouge. f 1 38 f en rouge, ? f en mauve, 2f en bleu et en vert. f 39 Corrigé dans le manuel. ?4 3 f(x) et h(x) = 1 1 1 , f(x) = et g(x) = 2 . 1x x x 1x x x ?? représente la fonction h (h(0) = 1 et h(1) = 0). 4 2 0 ? f(x) ?2 13 12 0 2. a) b) 4 f ?4 24 1 2 3 4 x 1 2 2 h ?2 ?3 k 1 ?3 k ?4 ?3 ?2 ?1 0 ?1 2 ?2 f 1 y 3 ?2 ?1 0 ?1 g 3 2 43 Corrigé dans le manuel. 4 1 y 5 D?UNE COURBE À L?AUTRE : CONSTRUIRE 44 3 ?1 ?3 5 f(x) 42 ? représente la fonction k (k(0) = ?1 et k(1) = 0). 4 1 5 f(x) + 2 41 Pour x >1, 1x < x < x2 donc 1 > 1 > 12 2 2 0 40 La courbe mauve ne correspond à aucune des fonctions car aucune ne prend la valeur 0 pour x = 2. 0 1 g h 2 3 x 48 1. x ?5 g(x) ?1 h(x) 0 ?3 0 ?2 ?1 ?1 0 0 ?2 2 ?1 0 ?6 3 1 ?2 2. a) b) 4 y DÉCOMPOSITION ET SENS DE VARIATION 3 2 f 50 f : x ? ??x2 ? ??x2 + 3. La fonction f est, comme la fonction carré, strictement décroissante sur I et strictement croissante sur J. 1 g ?6 ?5 ?4 ?3 ?2 ?1 0 ?1 h ?2 ?3 1 2 3 x 51 Corrigé dans le manuel. 1 x2 + 3 1 u et varient en sens contraires, donc (voir exercices préu cédents) f est strictement croissante sur I et strictement décroissante sur J. 52 f : x ? ??x2 ? ??x2 + 3 ??? ?4 ?5 ?6 3. a) f(x) ? 0 b) x ?5 k(x) 0 [? 5 ; ?1] x ?3 ?1 1 0 1 0 2 1 0 c) 3 3 13 1 7x ? 4 La fonction u : x ?7 ??x ? 4 est strictement croissante sur I 1 (voir exercice précédent). u et varient en sens contraires u donc f est strictement décroissante sur I. 54 f : x ? ??x ? 4 ?7 ??x ? 4 ??? y f 2 k 53 f : x ? ??x ? 4 ?6 ??x ? 4 La fonction u : x ? ??x ? 4 est strictement croissante sur I. Les fonctions u et 1u varient dans le même sens : f est strictement croissante sur I. [1 ; 3] 1 ?5 ?4 ?3 ?2 ?1 0 55 f : x ? ??x ?2 ??x ?2 ??x ? 1 1 3 x 2 ?1 49 1. x f(x) avec 2. a) ?3 2 ?1 0 0 ?3 1,5 et 1 2 ?1 3 0 ?1 y 57 f : x ? ??x2 ?2 ? ? 21 ?? 2 3 2 1 ?3 ?2 ?1 0 56 f : x ? ? 5 ??x ? ? 57 ??x La fonction u : x ? ? 5 ??x est strictement décroissante sur I. Les fonctions u et 1u varient dans le même sens : f est strictement décroissante sur I. ?1,2. g La fonction valeur absolue est strictement décroissante sur ]? ; 0] et strictement croissante sur [0 ; + [. Les fonctions u, 2u et 2u + 1 varient dans le même sens ; f est strictement décroissante sur ]? ; 0] et strictement croissante sur [0 ; + [. 1 2 3 x ?1 b) La droite d?équation y = 1 coupe la représentation de g en 5 points : l?équation g(x) = 1 admet donc 5 solutions. c) Si m < 0 : pas de solution ; si m = 0 : 3 solutions ; si 0 < m < ? : 5 solutions ; si m = : 4 solutions ; si ? < m ? 2 : 3 solutions ; si 2 < m < 3 : 2 solutions ; si m = 3 : 1 solution ; si m > 3 : pas de solution. x x La fonction carré est strictement décroissante sur I et strictement croissante sur J. 1 1 u et varient en sens contraires, donc v : x ? 2 ??est stricteu x ment croissante sur I et strictement décroissante sur J. v et ? 2v varient en sens contraires, donc f est strictement décroissante sur ]? ; 0] et strictement croissante sur [0 ; + [. 1 58 1. f(x) = 2 + . x 1 2. Comme la fonction inverse x ? , ??f est strictement x décroissante sur ]? ; 0] et strictement décroissante sur [0 ; + [. 59 2. On reconnaît la représentation de la fonction valeur absolue. On peut conjecturer que pour tout nombre réel x, 3x2 = x. 3. 3x2 est le nombre positif donc le carré est x2. 3x2 = x si x ? 0 et 3x2 = ? x si x ? 0, donc 3x2 = x. Chapitre 2 ? Variations des fonctions associées 25 60 Les quatre programmes mènent au même résultat : ils correspondent à la fonction x ?2 ??x ? 1. 61 1. x2 ? 2x ? 3 = (x + 1)(x ? 3). Le trinôme est du signe du coef?cient de x2 (donc positif) sauf entre ses racines ?1 et 3. x x ? 2x ? 3 ? + 2 ?1 0 3 0 ? + + 2. D = ]? ; ?1] [3 ; + [. 3. u : x ? ??x2 ? 2x ? 3 est strictement décroissante sur ]? ; ?1] et strictement décroissante sur [3 ; + [. Les fonctions u et 1u varient dans le même sens : f est strictement décroissante sur ]? ; ?1] et strictement décroissante sur [3 ; + [. 4. x ? ?1 3 + 2 x ? 2x ? 3 + 0 ? 0 + f(x) 62 1. Le discriminant du trinôme x2 ? 2x + 2 est négatif ( = ? 4). Le trinôme est constamment du signe du coef?cient de x2, donc positif (a = 1). Il en résulte que f est dé?nie pour tout nombre réel x. b = 1. 2. u : x ? ??x2 ? 2x + 2 admet un minimum pour x = ? 2a u est strictement décroissante sur ]? ; 1] et strictement croissante sur [1 ; + [. Les fonctions u et 1u varient dans le même sens : f est strictement décroissante sur ]? ; 1] et strictement croissante sur [1 ; + [. x ? f(x) 3. Si x 0 12 1 1 5 + 417 [0 ; 5], alors 1 ? 9x2 ? 2x + 2 ? 417. 63 a) La négation : 1a ? 1b. b) La fonction carré est strictement croissante sur [0 ; + [, donc si 1a ? 1b alors a ? b, ce qui contredit l?hypothèse a < b. Conclusion : la négation est fausse, ainsi, si 0 ? a < b, alors 1a < 1b, la fonction racine carrée est strictement croissante sur [0 ; + [. 64 f(x) = 2x ? 1. 8 1a + 1b a+b . et yI = 66 yJ = 2 2 La fonction carré est strictement croissante sur [0 ; + [, donc comparer les deux nombres positifs yJ et yI revient à comparer leurs carrés. a + b a + 23ab + b a + b ? 24ab ? = 2 4 4 2 ?1a ? 1b ? = > 0, donc yJ > yI. 4 yJ2 ? yI2 = 67 Corrigé dans le manuel. 68 1. Dans le triangle MPA rectangle en A : PA . x+1 Dans le triangle BPA rectangle en A : 1 tan jBPA = . PA kAMP et jBPA ont même complémentaire, kAPM, PA 1 donc tan kAMP = tan jBPA soit = et PA = 7x + 1. x + 1 PA 2. Sur [0 ; 3], la fonction f est strictement croissante, donc si 0 ? x ? 3, alors f(0) ? f(x) ? f(3), soit 1 ? PA ? 2. tan kAMP = 69 1. Sommet x A 0 B 1 C 2 12 d 1 1 D 3 A 4 1 0 2. Sur [AB], d(x) = 8x + 1, sur [BC], d(x) = 9(2 ? x)2 + 1 = 9x2 ? 4x + 5, sur [CD], d(x) = 3 ? x, sur [DA], d(x) = x ? 3. 3. Pour x [0 ; 1], la fonction u : x ? ??x2 + 1 varie dans le même sens que la fonction carré, elle est strictement croissante. u et 1u varient dans le même sens, donc d est strictement croissante. ? Pour x [1 ; 2], x2 ? 4x + 5 est strictement positif ( < 0 et a > 0). Le minimum est atteint pour x = 2, donc sur [1 ; 2], la fonction v : x ? ??x2 ? 4x + 5 est strictement décroissante. v et 1v varient dans le même sens, donc d est strictement décroissante. ? Pour x [2 ; 3], d a le même sens de variation que la fonction af?ne x ? ? 3 ??x : elle est strictement décroissante. ? Pour x [3 ; 4], d a le même sens de variation que la fonction af?ne x ? ??x ? 3 : elle est strictement croissante. 2 AVEC LES TICE 65 Corrigé dans le manuel. 26 70 1. b) Il semble que pour tout x > ? 2, f(x) < 2. c) On peut conjecturer la stricte croissance de f sur ]? 2 ; + [. 2. a) Pour tout nombre x de ]? 2 ; + [, 2(x + 2) ? 5 5 f(x) = soit f(x) = 2 ? . x+2 x+2 b) Pour tout nombre x de ]? 2 ; + [, 5 > 0 et f(x) < 2. x + 2 > 0 donc x+2 c) Sur l?intervalle ]? 2 ; + [ : x ? ??x + 2 est strictement croissante, donc 1 x??? est strictement décroissante, soit x+2 1 x ?× 5? ?? est strictement croissante, et x+2 5 x??2?? est strictement croissante. x+2 ROC 1 est donc strictement décroissante. f(x) + k 2. Sur I, f est strictement croissante et f(1) = 0, donc pour tout nombre x de I, f(x) ? 0. g est donc strictement décroissante sur I : pour tout x ? 1, g(x) ? g(1) = 1. la fonction x ??? Prendre toutes les initiatives 1 72 f est la somme des deux fonctions x ?1 ??x et x ?, ? ?? Restitution organisée de connaissances 71 1. Sur I, u : x ? ??f(x) + k et f varient dans le même sens, donc u est strictement croissante. 1 Sur I, u et varient en sens contraires : u EXERCICES x strictement croissantes sur [0 ; + [ : elle est donc ellemême strictement croissante (voir TP ex. 25, p. 60). 3x x 3x 73 PM = yM = A et PN = yN = A = A . 2 2 12 3xA 32 PM 32 = × . = PN 2 2 1xA 5 Approfondissement (page 67) 74 1. f et g étant croissantes et positives sur I, si a < b, alors 0 ? f(a) ? f(b) et 0 ? g(a) ? g(b). Multiplier par un nombre positif conserve l?ordre, donc : si a < b, alors 0 ? f(a) × g(a) ? f(b) × g(a) ? f(b) × g(b), soit f(a) × g(a) ? f(b) × g(b). La fonction f × g est donc aussi croissante sur l?intervalle I. 2. Le produit de deux fonctions positives et décroissantes sur un intervalle I est aussi une fonction décroissante sur I. f et g étant décroissantes et positives sur I, si a < b, alors 0 ? f(b) ? f(a) et 0 ? g(b) ? g(a), Multiplier par un nombre positif conserve l?ordre, donc : si a < b, alors 0 ? f(b) ? g(b) ? f(a) × g(b) ? f(a) × g(a), soit f(b) × g(b) ? f(a) × g(a). La fonction f × g est aussi décroissante sur l?intervalle I. 1 > 0 et f(x) > x : la courbe ? est toujours x située en dessous de la droite d d?équation y = x. 1 1 = . 3. AB = yB ? yA = x ? x ? x x Lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes, la distance AB est de plus en plus « petite », la courbe ? est de plus en plus « proche » de la droite d. 2. x > 0 donc ? ? Remarque : on peut introduire le vocabulaire : « d est asymptote à la courbe ? ». 77 1. La parabole représentant f est en vert. 2. 3. 75 1. AB = 1x ? x. 2. x g(x) 3. 0 1 0 0 ? ? ? 2 × 1 × 1x + (1x) = ? 1 ? 1x? , 2 2 1 1 ? g(x) = 4 2 2 2 2 1 1 ? g(x) ? 0, soit g(x) ? . 4 4 1 1 1 1 1 1 D?autre part : g = ? = ? = . 4 4 4 2 4 4 1 1 4. g atteint son maximum pour x = : le segment [AB] a 4 4 1 pour longueur maximale lorsque x parcourt [0 ; 1]. 4 donc pour tout x de [0 ; 1], ? ? 4 76 1. La seule opération qui pose problème est le calcul de l?inverse de x qui n?a de sens que pour x non nul. 78 1. a) AM = 0x2 + (y ? 1)2. b) AM = 0x2 + (x ? 5)2 = 02x2 ? 10x + 25. 2. a) Le trinôme 2x2 ? 10x + 25 est strictement positif quel que soit le nombre x ( < 0 et a = 2). f(x) existe quel que soit le nombre x. Chapitre 2 ? Variations des fonctions associées 27 b) x 5 2 ? 83 1. f(x) = 2(x ? 1)(x + 2). + x 25 2 u(x) c) u et 1u ont même sens de variation. d) La valeur minimale prise par AM est 79 2. a) f(x) ? 0 5 4 25 = 12 2 3,53. ? 1 2 3 4 5 x 80 5 4 3 1 2 3 x véri?ent : y?0 y?0 ou y = ?x + 3 y=x?3 ce qui peut se résumer par y = x ? 3 : h(x) = x ? 3. ? ? 4 3 2 1 ?4 ?3 ?2 ?1 0 ?1 ?2 f(x) 3. + 0 ?1 2 ? 1 0 + + y 5 4 ? g 3 2 1 ?3 ?2 ?1 0 ?1 ?2 ?3 ?4 ?5 1 2 3x ?f y 86 7x + 7 = x + 1 1 2 3 4 x x + 7 = (x + 1)2 et x ? ?1 x2 + x ? 6 = 0 et x ? ?1 (x = 2 ou x = ? 3) et x ? ?1. D?où ? = {2}. 87 t + 81 ? 2t = 2 ?g x ? 1 = (x ? 3)2 et x ? 3 x2 ? 7x + 10 = 0 et x ? 3 (x = 2 ou x = 5) et x ? 3. D?où ? = {5}. 81 ? 2t = 2 ? t 1 ? 2t = (2 ? t)2 et t ? 2 t2 ? 2t + 3 = 0 et t ? 2 < 0 donc ? = Ø. 88 71 ? u = u ? 1 ?f D?où ? = {1}. 28 2 85 7x ? 1 = x ? 3 ?f 81 Les coordonnées des points des deux demi-droites 82 ? D?autre part, l?égalité 1a = b implique celle des carrés a = b2. b) a = b2 implique a positif comme b2. L?égalité des nombres positifs a = b2 implique celle de leurs racines carrées 1a = 1b2, et comme b est positif, 1a = b. c) « 1a = b » équivaut à « b ? 0 et a = b2 ». 2. 1a ? 1b implique a et b positifs, et la fonction carré étant strictement croissante sur [0 ; + [, a ? b. Réciproquement, si 0 ? a ? b, la fonction racine carrée étant strictement croissante sur [0 ; + [, alors 1a ? 1b. « 1a ? 1b » équivaut à « 0 ? a ? b ». 3. « 1a ? b » équivaut à « b ? 0 et 0 ? a ? b2 ». 2 ?g 1 ?3 x 9 2 + 84 1. a) 1a est positif, donc 1a = b implique b ? 0. y ?3 ?2 ?1 0 ?1 ?2 2. 1 2 ? f(x) x?2 ? 2 + 4 si x ? 2 donc f(x) = 2x ? 4 si x ? 2 b) Si x ]? ; 2], g(x) = ? f(x), donc le point de coordonnées (x ; g(x)) est le symétrique du point de coordonnées (x ; f(x)) qui appartient à la droite représentant f. Si x [2 ; + [, g(x) = f(x), donc le point de coordonnées (x ; g(x)) appartient à la droite représentant f. c) y 6 5 4 3 2 d ? 1 g ?1 0 ?1 ?2 ?3 ?4 ? ? 1 ? u = (u ? 1)2 et u ? 1 u2 ? u = 0 et u ? 1 (u = 0 ou u = 1) et u ? 1. 89 1x ? 82x ? 1 D?où ? = 1 ? x ? 1. 2 0 ? 2x ? 1 ? x ? 1 ; 1 ?. 2 x 90 82x + 1 ? 1 + ? D?où ? = ? ? 1 ;0 2 x 2 et x ? ? 3 3 3 1 x ? ? et x2 ? 12x ? 0 2 1 x ? ? et (x ? 0 ou x ? 12). 2 [12 ; + [. 91 4 + 86 ? x ? x ? 0 ? 2x + 1 ? 1 + ? 86 ? x ? x ? 4 0 ? 6 ? x ? (x ? 4)2 et x ? 4 4 ? x ? 6 et x2 ? 7x + 10 ? 0 4 ? x ? 6 et (x ? 2 ou x ? 5). D?où ? = [5 ; 6]. 92 1. [AC] : 0 ? x ? 4 et f(x) = x(4 ? x). [AD] : 4 ? x ? 6 et f(x) = x(x ? 4). 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2,5 y 2 1 ?1 0 ?1 y 1 2 3 4 5 6 7 x 3. Graphiquement, l?aire du rectangle semble supérieure à 3 lorsque x [1 ; 3] et lorsque x ? avec 4,6. 2 1,5 1 0,5 ?g ?f ?0,5 0 94 1. Si N Si N 2. 0,5 1 1,5 2 2,5 x 2. En commun, le point de coordonnées (1 ; 1) et peut-être d?autres ! 3. 82x ? 1 = x 2x ? 1 = x2 et x ? 0 x2 ? 2x + 1 = 0 et x ? 0 x = 1 et x ? 0. Une seule solution 1 et donc un seul point commun, de coordonnées (1 ; 1). 93 1. a) x étant supérieur à ?1, comparer les deux x nombres positifs 71 + x et 1 + revient à comparer leurs 2 x2 carrés 1 + x et 1 + x + . 4 x2 x Pour tout x (x ? ?1), est positif, donc 71 + x ? 1 + . 2 4 x x2 x b) 71 + x = 1 + 1 + x = 1 + x + et 1 + ? 0. 2 4 2 Donc une seule solution : x = 0. 2. a) y 95 2. Le périmètre semble atteindre un maximum de 5 pour x compris entre 0,45 et 0,55. 3. a) Notons H le point de coordonnées (x ; 0), projeté orthogonal de M sur (OA). MH2 = 1 ? x2, donc yM = MH = 71 ? x2. AM2 = 1? x2 + (1 ? x)2 = 2 ? 2x, AM = 92(1 ? x). P(x) = AB + 2AM + MN = 2 + 2x + 292(1 ? x). P(x) = 5 2 + 2x + 292(1 ? x) = 5. 3 92(1 ? x) = ? x (E). 2 3 b) Si x [0 ; 1], alors 2(1 ? x) ? 0 et ? x ? 0. 2 L?égalité de nombres positifs équivaut à celle de leurs carrés (voir aussi l?exercice 84, page 68). Donc résoudre (E) revient à résoudre dans [0 ;1] l?équation : 2 3 2(1 ? x) = (E?). ?x 2 9 1 (E?) 2 ? 2x = x2 ? 3x + x2 ? x + = 0 4 4 1 2 x? = 0. 2 1 L?équation a une unique solution (qui appartient bien à 2 [0 ;1]). En conclusion, le périmètre atteint ce qui semble être son maximum 5 pour x = 0,5. ? ? ? ? 2 1,5 Prendre toutes les initiatives 1 ?g 96 L?égalité x + y = 1 implique 0,5 ?f ?1,5 ?1 ?0,5 0 ?0,5 0,5 1 1,5 2 x b) ?f et d sont tangentes au point de coordonnées (0 ; 1). ?1 ? x ? 1 et ?1 ? y ? 1. Le repère étant orthonormé, l?ensemble des points M cherché est donc à l?intérieur d?un carré C de centre O et de côté 2 (les côtés étant parallèles aux axes). Plaçons-nous dans le quart de plan dé?ni par x ? 0 et y ? 0. L?équation x + y = 1 s?écrit alors x + y = 1 et les points M Chapitre 2 ? Variations des fonctions associées 29 cherchés sont les points intérieurs à C qui appartiennent à la droite d?équation x + y = 1. C?est le segment [AB], où A et B ont pour coordonnées respectivement (0 ; 1) et (1 ; 0). En étudiant de la même façon dans chacun des trois autres quarts de plan, on obtient trois segments. L?ensemble cherché est le pourtour d?un carré de centre O, dont les sommets appartiennent aux axes et dont les diagonales sont de mesure 2. Deux solutions, x = 1 et x = ?1, donc deux points : B (sans intérêt?) et D (?1 ; 0). ? 2e cas : le sommet principal est B. AB = BC x ? 1 = 15 x ? 1 = 15 ou x ? 1 = ? 15. Deux solutions, x = 1 + 15 ou x = 1 ? 15, donc deux points : E(1 + 15 ; 0) et F(1 ? 15 ; 0). ? 3e cas : le sommet principal est C. AC = BC 8x2 + 4 = x ? 1 x2 + 4 = (x ? 1)2 2x + 3 = 0. 3 3 Une solution x = ? , donc un point : G ? ; 0 . 2 2 ? 1B ?1 98 En terme de distance, le problème peut s?énoncer ainsi : pour x ? 0, le point M(x ; 1x) peut-il être à une distance 17 du point A ? inférieure ou égale à 2 AM2 = (x ? 2)2 + x = x2 ? 3x + 4. 17 7 AM ? x2 ? 3x + 4 ? 2 4 9 x2 ? 3x + ? 0 4 3 2 x? ? 0. 2 3 Cette inéquation admet une unique solution x = donc un 2 seul point commun. On ne peut pas dire que le cercle coupe la courbe, mais les 3 3 deux sont tangents au point de coordonnées ; . 2 2 A 1 0 ?1 ? 97 AB = 15, AC = 8x2 + 4 et BC = x ? 1. Étudions les trois cas possibles : ? 1er cas : le sommet principal est A. AB = AC x2 + 4 = 5 x2 = 1. 1. x f(x) ? + 1 + + positif. c) Si x 30 1. 0 13 [0 ; 2], alors g(x) 1 12 ?12 ; 13 ?. 2 13 + + x f(x) 2. x g(x) b) u et 1u ont même sens de variation. g(x) B 2 ? + 4? ? 2. a) Pour tout nombre x, f(x) est supérieur ou égal à 2 donc x ? Travail en autonomie (page 70) EXERCICES A ? h(x) k(x) ? + ? + ? + ?1 0 4 ?1 8 ?4 2 2 4 3 0 0 4 0 0 0 2 8 ?4 2 3 4 0 0 C b) f1(x) = f(? x) et f2(x) = ? f(x). ? g(x) = ? f(x) y 1 x ? ?2 0 f1(x) ?1 0 2 x 1 2 2 + 0 0 f2(x) ?2 2. a) g(x) = f(x) ?1 y ? h(x) = f(x) y 2 ?3 1 1 ?1 0 0 2 x 1 1 x ? k(x) = f(x) + 1 y 2 b) g(x) 1 ?1 0 D 1. a) ?1 1 1 ?3 0 ?2 2 0 + + 0 1. Le point M a pour coordonnées (x ; x + 2) ; donc : OM = 0x2 + (x + 2)2 = 02x2 + 4x + 4. 2. a) Le discriminant du trinôme x2 + 2x + 2 est négatif ( = ? 4) donc le trinôme garde un signe constant, celui du coef?cient du terme en x2. Il est donc constamment positif. b) x ? ?1 + + + f(x) 1 ? 0 ? ? E 2 x 1 y ?2 x x 3. a) OM = 12 × f(x) et comme pour tout x, f(x) ? 1, il en résulte pour tout M, OM ? 12. b) La perpendiculaire à la droite d passant par O coupe d en H. [OH] est la diagonale d?un carré de côté 1 : donc OH = 12. Chapitre 2 ? Variations des fonctions associées 31 CHAPITRE 3 ACTIVITÉ Dérivation (page 73) 3 a) L?équation réduite de la droite d : y = 3x ? 2. Activité c) La droite d semble tangente en A à la parabole ?. 2 b) Le coef?cient directeur semble « s?approcher » de m = 3. 4 b) Le coef?cient directeur de la tangente est 3. Cela con?rme la conjecture faite précédemment. PROBLÈME OUVERT Par lecture graphique : en A de coordonnées (3 ; 0). Par le calcul, après assimilation du chapitre. 1 La fonction f dé?nie sur ]0 ; + [ par f(t) = 1 + est t 1 dérivable en t = 1, et f?(t) = ? 2 . t EXERCICES 1 Application (page 77) La tangente en A(? 3 ; ?1) passe par C(? 2 ; 1), 1+1 = 2; donc le coef?cient directeur m = ?2 + 3 donc f?(? 3) = 2. La tangente B(1 ; 2) passe par D(3 ; 1), 1?2 1 donc m = =? ; 3?1 2 1 donc f?(1) = ? . 2 2 Le coef?cient directeur de (AB) est m = ?1 ? 3 = ? 2 ; 4?2 donc f?(2) = ? 2. 32 L?équation réduite de la tangente en P est : y = f?(1)(x ? 1) + f(1), soit y = ? x + 3. Cette tangente coupe l?axe des abscisses au point d?abscisse 3. 3 y B 5 3 A 1 O 2 D 1 C 1 1 1 4 7 10 x 4 1 ; x2 1. a) f?(x) = ? donc : 1 f?(1) = ?1 et f? ? = ? 4. 2 b) Voir ?gure ci-contre. 2. Tangente en A : y = ?1(x ?1) + 1 soit y = ? x + 2. Tangente en B : 1 ?2 y = ?4 x + 2 soit y = ? 4x ? 4. A 1 0 1 ?2 ?3 1 ?4 ?6 1 1 1 ; donc : f?(1) = et f?(4) = . 21x 2 4 11 Tangentes à une courbe passant par un point ? Les outils : ? Équation d?une tangente. ? Résolution d?une équation du second degré. ? L?objectif : ? Savoir déterminer les tangentes à une courbe issues d?un point. y 3 4 5 x 6 1. f?(x) = 3x2 ; donc : f?(1) = 3 et f?(?1) = 3. 2. Voir ?gure ci-contre. 3. a) Les deux tangentes semblent parallèles. b) f?(1) = f?(?1) = 3. Les deux tangentes ont le même coef?cient directeur, donc elles sont bien parallèles. y 4 ? 3 3 2 G A 1 1 3 ?3 ?2 ?1 0 ?11 B 1 ?2 2 3 x ?3 Activités de recherche (page 80) EXERCICES 1. a) 2 1 x 1 (x ? 1) + 1 soit y = + . 2 2 2 1 x Tangente en B : y = (x ? 4) + 2 soit y = + 1. 4 4 ?5 1. a) f?(x) = 1 1 2. Tangente en A : y = ?4 5 A 0 2 x ?1 B 1/2 1 1 1/4 1 ?1 ?1 ? B 2 2 ? ? ? b) y y C ? ? 1 ; m 0. m La tangente en M à ? a pour équation : 1 1 1 2 y = ? 2 (x ? m) + soit y = ? 2 x + . m m m m b) Dire que la tangente en M passe par A équivaut à dire 1 2 que ?1 = ? 2 + soit m2 + 2m ? 1 = 0. m m c) = 4 + 4 = 8 ; m1 = ?1 ? 12 et m2 = ?1 + 12. On trouve donc deux tangentes, respectivement en : B(?1 ? 12 ; 1 ? 12) et C(12 ? 1 ; 12 + 1). 2. a) M m ; 12 Tangentes communes à deux points ? ?1?12 B O?1+12 ?1 1 x A b) Il semble y avoir deux tangentes. ? Les outils : ? Courbes de fonctions de référence. ? Équation d?une tangente. ? Condition nécessaire et suf?sante pour que deux droites soient confondues. ? Résolution d?un système 2 × 2 non linéaire. ? Les objectifs : ? Savoir déterminer les tangentes communes à deux courbes. ? Savoir résoudre un système 2 × 2 non linéaire. Chapitre 3 ? Dérivation 33 1. a) x > ? 2 et x 1. c) x3 ? 3x + 2 > 0 d) Si x > ? 2, ? est au-dessus de T. Si x < ? 2, ? est en dessous de T. y A 4 ? 14 Narration de recherche Pour le pro?l gauche de la forme f(x) = ax2 + bx + c : f(? 6) = 0 ; f(? 4) = 7 ; f?(? 4) = 3. 36a ? 6b + c = 0 (1) Donc (S) 16a ? 4b + c = 7 (2) ? 8a + b = 3 (3) 36a ? 6b + c = 0 (4) (5) qui équivaut à 20a ? 2b = ? 7 ? 8a + b = 3 (6) 1 Avec (5) et (6) : 4a = ?1 ; d?où : a = ? , b = 1 et c = 15. 4 1 Donc : f(x) = ? x2 + x + 15. 4 La hauteur totale de la voûte est 15 m, correspondant à f(0). ? ? 1 ?2 ? 1 2 0 B ? x 1 ?2 b) Il semble n?y avoir qu?une seule tangente commune. 1 2. a) A(a ; a2) et B b ; , b 0. b Tangente Ta : y = 2a(x ? a) + a2 soit y = 2ax ? a2. 1 2 Tangente Tb : y = ? 2 x + . b b 1 2a = ? 2 (1) b b) Ta = Tb équivaut à 2 ? a2 = (2) b 2 c) De (2), on tire b = ? 2 et en reportant dans (1) : a a4 soit a(8 + a3) = 0, a 0, ce qui donne a3 = ? 8, 2a = ? 4 1 donc a = ? 2. Il en résulte que b = ? . 2 Il existe donc une unique tangente, (AB) avec A(? 2 ; 4) et 1 B ? ; ?2 . 2 15 Narration de recherche 1 La tangente en un point quelconque M m ; m2 + 2 a pour 4 équation : 1 m mx m2 y = (x ? m) + m2 + 2 soit y = +2? . 4 2 2 4 La tangente passe par P(2 ; 0) si et seulement si : m2 0=m+2? soit m2 ? 4m ? 8 = 0. 4 = 16 + 32 = 48 = (413)2 ; 4 + 413 m1 = = 2 + 213 et m2 = 2 ? 213. 2 Donc A(2 ? 213 ; 6 ? 213) et B(2 + 213 ; 6 + 213). EAP(213 ; ? 6 + 213) et EBP(? 213 ; ? 6 ? 213). AP 4,3? BP 10,1? L?unité graphique représentant 25 m, il aperçoit la voiture à environ 100 m de lui et la perd de vue à 250 m. 13 Position d?une courbe et d?une tangente en l?un 16 TP ? Tangentes à une parabole et à une hyperbole ? ? ? ? ? de ses points ? Les outils : ? Équation d?une tangente. ? Tableau de signe. ? Les objectifs : ? Savoir résoudre une inéquation du second degré. ? Savoir déterminer la position relative d?une courbe et d?une de ses tangentes. 1. a) f?(x) = 3x2. Donc la tangente en A(1 ; 1) a pour équation : y = 3(x ? 1) + 1, soit y = 3x ? 2. Donc : g : x ?3 ??x ? 2. b) f(x) ? g(x) > 0 équivaut à x3 ? 3x + 2 > 0. 2. a) (x ? 1)(x2 + x ? 2) = x3 + x2 ? 2x ? x2 ? x + 2 = x3 ? 3x + 2. 2 b) Signe de x + x ? 2 : = 9 ; x1 = 1 et x2 = ? 2, donc x2 + x ? 2 < 0 si x ]? 2 ; 1[. x x?1 x2 + x ? 2 f(x) ? g(x) 34 ? ?2 ? + ? 0 0 ? ? + 1 0 0 0 + + + + ? ? 3. a) A(1 ; 1). T1 : y = ? 1(x ? 1) + 1 soit y = ? x + 2. T2 : y = 2(x ? 1) + 1 soit y = 2x ? 1. ? Coordonnées de B : ? x + 2 = x2 soit x2 + x ? 2 = 0, donc x = 1 et x = ? 2 ; d?où B(? 2 ; 4). ? Coordonnées de C : 1 1 2x ? 1 = soit 2x2 ? x ? 1 = 0, donc x1 = 1 et x2 = ? ; x 2 1 d?où C ? ; ? 2 . 2 ? Équation de (BC) : 4+2 6 le coef?cient directeur est : = = ?4; 1 3 ?2 + ? 2 2 donc (BC) a pour équation y = ? 4x ? 4. 1 1 b) Si f : x ? ??x2, f?(? 2) = ? 4, et si g : x ? , ??g? ? = ? 4. x 2 Ainsi (BC) est tangente aux deux courbes. ? ? ? ? 17 TP ? Véri?er des résultats avec la calculatrice 1. f?(x) = 4x ? 3 2. f(2) = 1 et f?(2) = 5. Équation réduite de la tangente : y = 5x ? 9. Entraînement (page 84) EXERCICES DE TÊTE 31 f?(? 2) = 0 ; f?(1) = ? 3 ; f?(3) = ? 2 ; f?(5) = 4. 18 1. f(2) = 4 ; f?(2) = 4. 2. La réponse est oui. y = f?(2) (x ? 2) + f(2) = 4(x ? 2) + 4, soit y = 4x ? 4. 19 a) Vraie : f?(x) = 3x2 donc f?(0) = 0. b) Vraie : f?(1) = 3, f(1) = 1 donc y = 3x ? 2. 20 f?(x) = 6x ? 5 ; donc f?(0) = ? 5. 21 TANGENTE ET NOMBRE DÉRIVÉ f(1 + h) ? f(1) f?(x) = lim = 2. h 0 h 3 Tangente en A : y = 6. Tangente en B : y = ? 3(x ? 1) + 2 soit y = ? 3x + 5. 2 2 Tangente en C : y = ? (x ? 3) ? 2 soit y = ? x. 3 3 Tangente en D : y = 4(x ? 5) + 1 soit y = 4x ? 19. 32 Corrigé dans le manuel. 33 y D NOMBRE DÉRIVÉ ?1 f(?1 + h) ? f(?1) 1 ? h + 1 ?h ?1 = = = . 22 h h(1 ? h) 1 ? h h ?1 lim = ?1, donc f?(?1) = ?1. h 01 ? h ?3 0 A 25 f?(2) = 1. 26 f(a + h) = (a + h)3 ? 3(a + h) = a3 + 3a2h + 3ah2 + h3 ? 3a ? 3h ; f(a) = a ? 3a. f(a + h) ? f(a) = 3a2 ? 3 + 3ah + h2 ; h f(a + h) ? f(a) lim = 3a2 ? 3, donc f?(a) = 3a2 ? 3. h 0 h 3 1 (1 + h)2 ? 1 = , 1+h 1+h 2. f(1) = 0, f(1 + h) ? f(1) 2 + h donc = ; h 1+h 2+h lim = 2, donc f?(1) = 2. h 0 1 + h 29 Corrigé dans le manuel. 1 30 a) f?(1) = . 3 b) f?(1) = 0. c) f?(1) = 0. d) f?(1) = ?1. 4 x 1 1 ; h(? 2) = ? . 2 2 ? Tangente au point d?abscisse 2 : 1 1 1 y = ? (x ? 2) + soit y = ? x + 1. 4 2 4 ? Tangente au point d?abscisse ? 2 : 1 1 1 y = ? (x + 2) ? soit y = ? x ? 1. 4 2 4 2. a) y 2 A ?2 a 2h + h2 . 1+h 1 1 34 1. h?(x) = ? 2 ; h?(2) = h?(? 2) = ? . 1 3 27 f?(a) = ? 2. soit f(1 + h) = x 6 h(2) = 24 f?(2) = 12. 28 1. f(1 + h) = 1 + h ? 1 3 C B 23 f(2 + h) = (2 + h)2 ? 5(2 + h) + 3 = h2 ? h ? 3 ; f(2) = 4 ? 10 + 3 = ? 3. f(2 + h) ? f(2) = h ? 1 et lim (h ? 1) = ?1 ; donc f?(2) = ?1. h 0 h 1 ?1 B O 1 2 3 x ?1 ?2 b) Les tangentes sont parallèles et symétriques par rapport à O. 35 f?(? 2) = ? 7 et f(2) = 0 ; donc y = ? 7(x ? 2) soit y = ? 7x + 14. 1 3 5 36 f?(x) = (2x ? 7) donc f?(5) = , et f(5) = ? ; 2 2 3 5 3 donc y = (x ? 5) ? soit y = x ? 10. 2 2 2 2 Chapitre 3 ? Dérivation 35 2. a) f(x) ? (? 8x + 18) = ? 2x2 + 4x + 8x ? 18, soit ? 2x2 + 12x ? 18 = ? 2(x2 ? 6x + 9) = ? 2(x ? 3)2. Il en résulte que f(x) ? (? 8x + 18) ? 0. b) La courbe ? est en dessous de T. 37 f?(x) = 1 donc f?(9) = 1 , et f(9) = 3 ; 21x 6 1 1 3 donc : y = (x ? 9) + 3 soit y = x + . 6 6 2 38 f?(x) = 3x2 donc f?(2) = 12, et f(2) = 8 ; 49 Corrigé dans le manuel. donc : y = 12(x ? 2) + 8 soit y = 12x ? 16. 39 f(x) = 4x2 + 4x + 1 ; f?(x) = 8x + 4 ; f?(0) = 4 et f(0) = 1 ; donc y = 4x + 1. 40 Corrigé dans le manuel. 41 Une tangente en x0 a pour coef?cient directeur f?(x0). Cette tangente est parallèle à d(y = x) si et seulement si 3 f?(x0) = 1, soit 2x0 ? 2 = 1, c?est-à-dire x0 = . 2 3 17 ; Il existe un seul point : le point de coordonnées . 2 4 ? ? 42 1. ?1 représente g et ?2 représente f. 2. a) Les points communs ont pour abscisses les solutions de l?équation : x2 + 2x = ? x2 + 6x ? 2 soit 2x2 ? 4x + 2 = 0 ou encore 2(x ? 1)2 = 0. Il y a un seul point commun : A(1 ; 3). b) f?(1) = 4 ; g?(1) = 4 ; f(1) = g(1) = 3. Ces courbes ont donc une tangente commune d?équation y = 4(x ? 1) + 3 soit y = 4x ? 1. 43 a) Si f?(x) = 2x, alors f(x) = x2 + 10. b) Si f(x) = x2 + 20, on a aussi f?(x) = 2x. 44 50 1. A ? donc f(3) = 2. 2 2 La droite d a pour coef?cient directeur , donc f?(3) = . 3 3 2. f(3) = 2 équivaut à 9a + c = 2 ; 2 2 f?(3) = équivaut à 6a = . 3 3 1 1 Donc a = et c = 1, et f(x) = x2 + 1. 9 9 51 1. O ? donc f(0) = 0 ; A ? donc f(2) = 3. 1 1 La droite d a pour coef?cient directeur , donc f?(0) = . 2 2 2. a) f(0) = 0 équivaut à c = 0 ; f(2) = 3 équivaut à 4a + 2b + c = 3 ; 1 1 f?(0) = équivaut à b = . 2 2 1 Donc 4a + 1 = 3, a = . 2 1 1 b) f(x) = x2 + x. 2 2 52 M?t0 ; 1 ?. t0 La tangente en M a pour équation : 1 1 1 2 y = ? 2 (t ? t0) + , soit y = ? 2 t + . t0 t0 t0 t0 La tangente passe par A(4 ; 0) si et seulement si : 4 2 ? 4 + 2t0 0 = ? 2 + c?est-à-dire 0 = soit t0 = 2. 2 t0 t0 t0 1 Donc M 2 ; . 2 1 53 1. A(a ; 4a2) est le point de ? et B a ; le point de ?. a TA a pour équation : y = 8a(x ? a) + 4a2 soit y = 8ax ? 4a2. TB a pour équation : 1 1 1 2 y = ? 2 (x ? a) + soit y = ? 2 x + . a a a a 1 Ces tangentes sont parallèles si et seulement si 8a = ? 2 a 1 1 c?est-à-dire a3 = ? soit a = ? . 8 2 2. TA a donc pour équation y = ? 4x ? 1 et TB a pour équation y = ? 4x ? 4. ? ? ? 45 Corrigé dans le manuel. 1 . 46 1. f?(x) = 21x 1 1 1 f?(a) = = 1a = 4 a = 16. 8 21a 8 1 2. Le point A d?abscisse 16 a pour ordonnée 4 et f?(16) = . 8 1 Donc la tangente en A a pour équation y = (x ? 16) + 4 8 1 soit y = x + 2. 8 47 1. A(2 ; 4) ; H(0 ; 4) ; H?(0 ; ? 4). 2. La droite (AH?) a pour coef?cient directeur 4. Or f?(x) = 2x et f?(2) = 4. Donc la tangente en A est la droite (AH?). 48 1. f(3) = ? 6 et f?(3) = ? 8 ; y = ? 8(x ? 3) ? 6 soit y = ? 8x + 18. 36 ? AVEC LES TICE 54 2. Démontrer 1. a) M(m ; m2) ; donc y = 2m(x ? m) + m2 soit y = 2mx ? m2. b) Pour A, m = ?1, donc une équation de la tangente en A est y = ? 2x ? 1. m ? 1 m2 + 1 c) J a pour coordonnées ; . 2 2 ? ? L?abscisse de I est solution de 2mx ? m2 = ? 2x ? 1 soit 2x(m + 1) = (m + 1)(m ? 1) ; m?1 et y = ? m + 1 ? 1 = ? m. or m ?1 donc x = 2 m?1 I a pour coordonnées ; ?m . 2 m ? 1 (m ? 1)2 2. a) Donc N a pour coordonnées ; . 2 4 2 b) yN = xN donc N ?. c) La tangente en N a pour coef?cient directeur : m?1 f? = m ? 1. 2 De plus, la droite (AM) a pour coef?cient directeur : yM ? yA m2 ? 1 = = m ? 1. xM ? xA m + 1 Donc la tangente en N est parallèle à (AM). ? ? ROC ? ? ? ? Restitution organisée de connaissances 55 1. La tangente TA en A a pour équation : y = f?(a)(x ? a) + f(a). TA équivaut à 0 = f?(a)(? a) + f(a) soit : f(a) = af?(a). 2. f?(x) = 4x ? 3. La tangente en A d?abscisse a passe par O si et seulement si 2a2 ? 3a + 1 = a(4a ? 3) (E). 2 ( ) 2a ? 3a + 1 ? 4a2 + 3a = 0 1 ? 2a2 + 1 = 0 a2 = 2 12 12 a= ou a = ? . 2 2 12 Si a = , f?(a) = 212 ? 3 ; 2 12 si a = ? , f?(a) = ? 212 ? 3. 2 Les tangentes ont donc pour équations : y = (212 ? 3)x et y = ? (212 + 3)x. Dire que O EXERCICES Prendre toutes les initiatives 1 56 Soit M?m ; ? un point de ?, m 0. m La tangente TM en M a pour équation : 1 1 1 2 y = ? 2 (x ? m) + , soit y = ? 2 x + . m m m m ? Il existe un point M de ? tel que TM passe par A(1 ; ?1) signi?e qu?il existe un nombre m non nul tel que : 1 2 ?1 = ? 2 + soit m2 + 2m ? 1 = 0. m m ? 2 + 212 = 8 ; m1 = = 12 ? 1 et m2 = ? 12 ? 1. 2 Donc par A, il passe deux tangentes à ?, d?équations y = ? (3 + 212)x + 212 + 2 et y = ? (3 ? 212)x + 2 ? 212. ? En raisonnant de même pour B(1 ; 2), on obtient l?équation 2m2 ? 2m + 1 = 0. = ? 4. Donc par B, il ne passe aucune tangente à ?. ? Pour C(2 ; 0), on obtient 2m ? 2 = 0 ; donc m = 1. Donc par C, il passe une et une seule tangente à ?, d?équation y = ? x + 2. 57 1. L?aire du rectangle est xy = 16, donc M appartient à l?hyperbole d?équation y = 16 . x x y 2. a) P a pour coordonnées X = et Y = ; 2 2 xy donc XY = = 4. 2 4 Et P appartient à ?1 d?équation y = , x > 0. x 16 8 x b) La tangente en P a pour équation Y = ? 2 X ? + x x 2 16 16 soit Y = ? 2 X + . x x Or cette tangente coupe l?axe des ordonnées au point 16 d?ordonnée , donc en K, et l?axe des abscisses au point x d?abscisse x, soit en K. D?où le résultat. ? ? Approfondissement (page 88) 1 58 f?(x) = x ? 2 et M a pour coordonnées ?a ; a2 ? 2a + 3?. 2 Donc la tangente en M a pour équation : 1 1 y = (a ? 2)(x ? a) + a2 ? 2a + 3 soit y = (a ? 2)x ? a2 + 3. 2 2 1 A(0 ; ? 3) TM ? 3 = ? a2 + 3 a2 = 18 2 a = 312 ou a = ? 312. 59 1. Les points de coordonnées (?1 ; 0) et (3 ; 0) sont des points de la représentation graphique de f, donc f(?1) = 0. De plus, f(1) = 1. Donc f(x) est de la forme a(x + 1)(x ? 3) avec 1 = a(2)(? 2) 1 soit a = ? . 4 1 1 3 Ainsi f(x) = ? x2 + x + . 4 2 4 2. a) y 3 E 11/4 2 1 ?2 A ?1 0 M B 1 2 C I 4 x 3 Les points du sol et de la colline qui ne sont pas visibles ? depuis E sont ceux de l?arc de courbe MC et du segment [CI] (pointillés noirs). 1 1 b) f?(x) = ? x + . 2 2 Chapitre 3 ? Dérivation 37 La tangente en un point quelconque d?abscisse a a pour équation : 1 1 3 y = (1 ? a)x + a2 + . 2 4 4 E est un point de la tangente équivaut à : 11 1 3 1 = ?1 + a + a2 + soit a2 + a ? 3 = 0. 4 4 4 4 = 4 ; d?où a1 = 2(?1 + 2) = 2 et a2 = ?6. Or a > ?2, donc on prend a = 2 et la tangente en M passant 1 7 par E a pour équation y = ? x + . 2 4 7 3 Elle coupe le sol en I ; 0 et M a pour coordonnées 2 ; . 2 4 ? ? ? ? 60 1. Il semble passer deux tangentes par A. 2. La tangente T en M(m ; m2) a pour équation : y = 2mx ? m2. 1 3. A ; ? 2 est un point de T équivaut à ? 2 = m ? m2 soit 2 m2 ? m ? 2 = 0. 4. m2 ? m ? 2 = 0 a pour solutions m = ?1 et m = 2. Donc les tangentes ont pour équations respectives : y = ? 2x ? 1 et y = 4x ? 4. Ces droites sont tangentes à ? respectivement en M1(?1 ; 1) et M2(2 ; 4). ? ? 61 1. L?arc ? a une équation de la forme y = ax2. AI Le point I a pour coordonnées (3 ; 1). 1 Donc 1 = 9a soit a = . 9 ? 1 Ainsi l?arc AI a pour équation y = x2. 9 ? La courbe passe par B(6 ; 2), la tangente en B est horizontale et la courbe passe par I(3 ; 1). Donc : f(6) = 2 ; f?(6) = 0 ; f(3) = 1. 1 36a + 6b + c = 2 a=? 9 4 9a + 3b + c = 1 équivaut à b= 3 12a + b = 0 c = ? 2. ? ? ? 1 4 Donc l?arc IB a pour équation : y = ? x2 + x ? 2. 9 3 2. La fonction f est donc dé?nie sur [0 ; 6] par : 1 si x [0 ; 3] f(x) = x2 9 1 4 f(x) = ? x2 + x ? 2 si x [3 ; 6]. 9 3 ? 62 1. A(a ; a2) ; donc Ta : y = 2ax ? a2. B(b ; b2 + 2ab + 3) ; donc Tb : y = 2(b + 1)x ? b2 + 3. 2. Ta = Tb si et seulement si a = b + 1 et a2 = b2 ? 3 (1). 3. (1) a = b + 1 et (b + 1)2 = b2 ? 3 b = ? 2 et a = ?1. Ainsi d a pour équation y = ? 2x ? 1. 63 1. (x + 1)(x2 ? x ? 2) = x3 ? x2 ? 2x + x2 ? x ? 2 = x3 ? 3x ? 2. 38 2. a) 1 2 1 (x ? 3) = 2 x x3 ? 3x = 2 x3 ? 3x ? 2 = 0 (x + 1)(x2 ? x ? 2) = 0. x2 ? x ? 2 a pour solutions x1 = ?1 et x2 = 2 ; x + 1 = 0 pour x = ?1. 1 Donc A(?1 ; ?1) et B 2 ; . 2 b) f?(?1) = ?1 et g?(?1) = ?1. Donc la tangente est commune en A. 1 1 (x + 1)2(x ? 2) c) f(x) ? g(x) = (x2 ? 3) ? = . 2 x 2x x?2 (x + 1)2 ? 0 et < 0 pour x ]0 ; 2[. x Donc pour x ]0 ; 2[, ?f est en dessous de ?g et pour x ]? ; 0[ ]2 ; + [, ?f est au-dessus de ?g. ? ? 64 1. Le coef?cient directeur de la tangente en O est égal à ? 2 ; donc f?(0) = ? 2. De plus, les tangentes en A et B sont horizontales, donc f?(?1) = f?(2) = 0. 2. f?(0) = ? 2 équivaut à c = ? 2, f?(?1) = 0 équivaut à a ? b + c = 0, f?(2) = 0 équivaut à 4a + 2b + c = 0 ; a?b=2 a?b=2 soit c = ? 2 et ou 4a + 2b = 2 2a + b = 1. Il en résulte que a = 1 et b = ?1, et f?(x) = x2 ? x ? 2. ? ? 65 ?1 a pour équation y = x2 ? 4x ; ?2 a pour équation y = ? x2 + 8x. Notons x0 l?abscisse de A et B ; 2 2 alors : A(x0 ; x0 ? 4x0) et B(x0 ; ? x0 + 8x0). 2 La droite d a pour équation y = 2(x0 ? 2)x ? x0 et la droite d? 2 a pour équation y = ? 2(x0 ? 4)x + x0 . Ces tangentes sont parallèles si et seulement si elles ont le même coef?cient directeur, soit : 2(x0 ? 2) = ? 2(x0 ? 4). Donc x0 = 3. 66 Soit M d?abscisse m un point quelconque de ?. Le point M a pour coordonnées (m ; 4m2 ? 6m + 2). La tangente Tm en M a pour équation : y = (8m ? 6)x ? 4m2 + 2. Pour étudier la position de ? par rapport à Tm, on cherche le signe de 4x2 ? 6x + 2 ? (8m ? 6)x + 4m2 ? 2 = 4x2 ? 8mx + 4m2. Or 4x2 ? 8mx + 4m2 = (2x ? 2m)2 ? 0. Ainsi ? est au-dessus de n?importe laquelle de ses tangentes. 67 Pour x = 1, y = m + 1 ? 2m + m = 1 ; donc le point A(1 ; 1) est commun à toutes les paraboles ? . m Si on pose f(x) = mx2 + (1 ? 2m)x + m, f?(x) = 2mx + 1 ? 2m donc f?(1) = 1. La tangente en A a pour équation : y = 1(x ? 1) + 1 = x. Toutes les paraboles sont donc tangentes entre elles en A(1 ; 1) et la tangente commune a pour équation y = x. Travail en autonomie (page 90) EXERCICES A y = x2 y = x2 . x2 ? 2x ? 3 = 0 Le discriminant du trinôme x2 ? 2x ? 3 est égal à 16 : le trinôme admet deux racines, ?1 et 3. Les points communs ont donc pour coordonnées : A(?1 ; 1) et B(3 ; 9). b) Le milieu H a pour coordonnées (1 ; 5). y ?y 2. a) B A = 2. xB ? xA b) f?(xC) = 2 soit 2xC = 2 et xC = 1 = xH. Tangente en O : y = x. x Tangente en A : y = + 4. 3 x 11 Tangente en B : y = ? + . 2 2 D 1. a) ? y = 2x + 3 B ? La droite semble tangente à la courbe au point d?abscisse ? 3. Les coordonnées (x ; y) d?un point commun véri?ent le système (S) : y = x2 + 2x ?1 y = ? 4x ? 10 y = ? 4x ? 10 y = ? 4x ? 10 (S) x2 + 6x + 9 = 0 (x + 3)2 = 0 Un seul point commun, de coordonnées (? 3 ; 2). La parabole est la représentation graphique de la fonction f : x ? ??x2 + 2x ? 1. Il reste à véri?er que la droite est bien tangente à la parabole, c?est-à-dire que f?(? 3) = ? 4. f?(x) = 2x + 2 donc f?(? 3) = ? 4. m2 ? 2m + 3 et f?(m) = m ? 2. 2 2 m m2 b) y = (m ? 2)(x ? m) + ? 2m + 3, soit y = (m ? 2) x ? + 3. 2 2 m2 + 3 = ? 3, Cette tangente passe par A pour ? 2 2 c?est-à-dire pour m = 12, soit m = ?213 ou m = 213. C Le point H a pour coordonnées (0 ; 1) donc H? a pour coordonnées (0 ; ? 2). La droite (AH?) a pour équation réduite : y = 3x ? 2. Il reste à véri?er que la droite est bien tangente à la courbe, c?est-à-dire que f?(1) = 3. f?(x) = 3x2 donc f?(1) = 3. ? ? ? ? E 1. a) f(m) = F 1. a) La parabole : ? passe par O donc f(0) = 0 ; ? passe par A donc f(1) = 2 ; ? a pour tangente d en A : f?(1) = 1 (la droite d a pour coef?cient directeur 1). b) f(0) = c, f(1) = a + b + c, f?(x) = 2ax + b soit f?(1) = 2a + b. D?où le système : c=0 a+b+c=2 2a + b = 1 a+b=2 2. c = 0 puis 2a + b = 1 soit a = ?1, b = 3 et c = 0, donc f(x) = ? x2 + 3x. ? Chapitr...