math vecteur

« 1 LFSG REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS CARTÉSIENNES Terminale Partie 1 : Représentation paramétrique d'une droite ⃗⃗ ). Propriété : L'espace est muni d'un repère (𝑂 ; 𝑖⃗, 𝑗⃗, 𝑘 𝑥𝐴 𝑎 Soit une droite 𝑑 passant par un point 𝐴 (𝑦𝐴 ) et de vecteur directeur 𝑢 ⃗⃗ (𝑏 ). 𝑧𝐴 𝑐 𝑥 = 𝑥𝐴 + 𝑎𝑡 𝑥 On a : 𝑀 (𝑦) ∈ 𝑑 ⟺ Il existe un réel 𝑡 tel que {𝑦 = 𝑦𝐴 + 𝑏𝑡 𝑧 = 𝑧𝐴 + 𝑐𝑡 𝑧 Ce système s'appelle une représentation paramétrique de la droite 𝑑. Démonstration : 𝑀∈𝑑⟺𝑢 ⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑀 sont colinéaires ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑡𝑢 ⟺ Il existe un réel 𝑡 tel que 𝐴𝑀 ⃗⃗ 𝑥 − 𝑥𝐴 𝑎 ⟺ (𝑦 − 𝑦𝐴 ) = 𝑡 (𝑏 ) 𝑧 − 𝑧𝐴 𝑐 𝑥 − 𝑥𝐴 = 𝑎𝑡 ⟺ {𝑦 − 𝑦𝐴 = 𝑏𝑡 𝑧 − 𝑧𝐴 = 𝑐𝑡 𝑥 = 𝑥𝐴 + 𝑎𝑡 ⟺ {𝑦 = 𝑦𝐴 + 𝑏𝑡 𝑧 = 𝑧𝐴 + 𝑐𝑡 Exemple : 4 1 La droite passant par le point 𝐴 (−2) et de vecteur directeur 𝑢 ⃗⃗ ( 5 ) a pour représentation paramétrique : 3 −3 𝑥 = 1 + 4𝑡 { 𝑦 = −2 + 5𝑡 𝑧 = 3 − 3𝑡 Partie 2 : Équation cartésienne d'un plan ⃗⃗ ). Propriété : L'espace est muni d'un repère orthonormé (𝑂 ; 𝑖⃗, 𝑗⃗, 𝑘 𝑎 Un plan 𝑃 de vecteur normal 𝑛⃗⃗ (𝑏 ) non nul admet une équation de la forme 𝑐 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0, avec 𝑑 ∈ ℝ. 𝑥 𝑦 Réciproquement, si 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont.... »