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Notion de Matrices (TS SPE Maths)

Publié le 18/01/2020

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Matrices et suites I) Notion de matrices: Définition : Une matrice de dimension n × p est un tableau rectangulaire de nombres comportant n lignes et p colonnes. Ces nombres sont appelés les coefficients ou termes de la matrice. Exemples : ? 5 −3 2? ? −7 ? A=? ? , B = ? ? et C = ( 4 −2 3) . ?4 3 −7 ?? ? 5? ? La matrice A est une matrice 2 × 3 , B est une matrice 2 × 1 dite matrice colonne ou vecteur colonne et C est une matrice 1× 3 dite matrice ligne ou vecteur ligne. Le coefficient de la matrice A situé à l'intersection de la ligne i et de la colonne j se note ai , j . j ? ↓ ? ... ? A= i → ? ... ... ai , j ?? ... ? ? ? ? ... ? ?? ? Remarque : Deux matrices sont égales si elles ont les mêmes dimensions et si elles contiennent les mêmes coefficients situés aux mêmes positions. Définition : une matrice carrée d'ordre p est une matrice de dimension p × p . Exemples : ? 3 −1 ? La matrice A = ? ? est une matrice carrée d'ordre 2. ?2 4 ? ? 2 2 −1 ? ? ? La matrice B = ? −1 3 −5 ? est une matrice carrée d'ordre 3. ?3 0 4? ? ? Vocabulaire : Soit A une matrice carrée. • La diagonale de A est l'ensemble des coefficients ai , j tels que i = j . • On dit que la matrice A est diagonale si tous ses coefficients sont nuls sauf peut-être ceux de sa diagonale. • On dit que la matrice A est triangulaire supérieure (respectivement inférieure) si tous ses coefficients sont nuls sauf peut-être ceux de sa diagonale et ceux qui sont au-dessus (respectivement en dessous) de la diagonale. Exemples : ? 2 −3 1 ? ? ? B = ? 0 5 −4 ? est triangulaire supérieure. ?0 0 7 ? ? ? A= ? diagonale de A Définition : On appelle matrice unité d'ordre p (ou matrice identité), notée I p , la matrice carrée d'ordre p dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à 1 et dont les autres coefficients sont nuls. S'il n'y a pas d'ambigüité sur l'ordre de la matrice identité, on la note simplement I. Exemples : ?1 0 0 0? ?1 0 0? ? ? ?1 0? ? ? ?0 1 0 0? . I2 = ? , I = 0 1 0 et I = ? 3 ? 4 ? ?0 0 1 0? ?0 1? ?0 0 1? ? ? ? ? ?0 0 0 1? Définition : La matrice transposée d'une matrice A de taille n × p est la matrice notée A T (aussi notée t A ), de taille p × n , obtenues en échangeant les lignes et ...

« Définition : La matrice transposée d'une matrice A de taille n p´ est la matrice notée TA (aussi notée At ), de taille p n´ , obtenues en échangeant les lignes et les colonnes d e A.

Exemples : T 1 4 1 2 3 2 5 4 5 6 3 6      =         , T 1 2 1 3 3 4 2 4     =        et ( ) T 5 5 7 7  =   .

II) Opérations sur les matrices 1) Somme de deux matrices : Soit A et B deux matrices de même dimension.

La somme de A et B est la matrice notée A B + de même dimension que celle de A et B et dont chaq ue coefficient est la somme des deux coefficients situés à la même position dans A et B.

Exemples : 3 1 1 4 3 1 1 4 2 5 2 4 3 2 2 3 4 2 1 6 - - +         + = =         - - + -         .

1 2 2 4 1 2 2 4 3 2 3 4 3 1 3 3 4 1 0 3 1 2 2 6 1 2 2 6 3 4 - + - -                - + - = - + - =              - - - - - - + -        .

Propriétés : · L'addition de matrices est commutative : A B B A + = + .

· L'addition de matrices est associative : ( ) ( ) A B C A B C A B C + + = + + = + + .

2) Multiplication d'une matrice par un réel : Soit A une matrice et k un réel.

Le produit de la matrice A par le réel k est la matrice notée Ak dont les coefficients sont obtenus en multipliant tous les coefficients de la matrice A par le nombre k.

Exemples : 3 1 5 3 5 1 15 5 5 2 4 5 2 5 4 10 20 ´ ´       = =       ´ ´       .

1 2 3 1 3 2 3 6 3 3 4 3 ( 3) 3 4 9 12 1 2 3 ( 1) 3 ( 2) 3 6 ´ ´            - = ´ - ´ = -          - - ´ - ´ - - -      .

Remarque : l'opposée de la matrice A, notée A- , est la matrice A multipliée par 1- : A ( 1) A- = - ´ .

Propriétés : · ( ) A B A B k k k + = + •   ( )' A A ' A k k k k+ = + · ( ) ( ) ' A ' A kk k k = 3) Produit d'une matrice ligne par une matrice colo nne : Soit A une matrice ligne de dimension 1 n´ et B une matrice colonne de dimension 1 n´ .

( ) 1 2 A ... n a a a = et 1 2 B ... n b b b      =      .

Le produit de la matrice A par la matrice B, noté A B ´ , est égal à 1 1 2 2 ... n n a b a b a b ´ + ´ + + ´ .

Exemples : ( ) 3 1 3 1 ( 3) 3 4 9 4 -  = ´ - + ´ =     .

( ) 4 1 5 2 1 1 4 5 ( 1) ( 2) 3 7 3     - - = ´ + ´ - + - ´ = -       .

4) Produit de deux matrices : Le produit d'une matrice A de dimension n p´ par une matrice B de dimension p q´ est la matrice de dimension n q´ , notée A B ´ , dont le coefficient situé à l'intersection de la i-ème ligne et de la j-ème colonne est égal au produit de la i-ème ligne de la matrice A par la j-ème colonne de la matrice B.. »

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