LA PHILOSOPHIE DES MATHEMATIQUES
Publié le 05/06/2012
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a) Si les notions mathématiques dérivai-ent uniquement de l'expérience, elles seraient con·tingente$ et particulières, comme tous les faits qu'elle fournit. Or, nous les concevons comme universelles et nécessaires ...
b) Elles devraient se trouver également -che.z les animaux, qui ont, comme l'ho:rnme, l'e~périence de la nature. Or, etc. c) C'est un fait d'ailleurs que le mathématicien et le géomètre spéculent sur des nombres et des fig·ur·es qui jamais n'ont pu être perçus par les sens et ne peuvent même pas être représentés par l'imagination. (Ex. : Millions, triUions, chiliogones, asymptotes ... ) Comment pourraient-ils dès· lors ·venir de l'expérience P Nécessité absolve d'une opération mentale.
d) Remarquons enfin que ce qui est essentiel en mathématiques, -ce sont les rapports, les différences, les séries, numériques. Par exemple, connaître 50, c',est savoir qu'il est un de plus que 49 et un de moins que 51. N'avoir pas l'idée de cc rapport, c'est n'avoir aucune idée du nombre. Or, un rapport, une différence, une série numérique n'est pas quelque chose de s,ensible, que l'on puisse percevoir, mais une représentation intellectuelle, résultat d'opérations mentales qui dépassent l'empirisme.
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2' concernant les figures
LES SCIEi\CES MATHÉMATIQUES 59
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u) Lrt géomitr'i(', qui étudie les figures, leurs propriétés part.iculière,, leurs rapports mutuels de posit.ion et de grandeur.
b) Lu géométde analytique, qui forme un ensemble de mé thodes particulières permettant d'étudier les propriétés des
figures par l'algèbre.
c) L2 mécanique mtionnelle, qui étudie le mouvement des
corps d'une manière abstraite, indépendamment des con ditions concrètes dans lesquelles il se réalise.
B) Mathématiques appliquées.
- Utilisant, pour l'étude quantitative des corps concrets, les conclusions établies par les mathématiques pures, les mathématiques appliquées en déterminent les conditions d'applicabilité et le degré d'approximation des résultats auxquels elles parviennent.
Mentionnons : a) le calcul des probabilités, application du calcul infini tésimal à la théorie des chances ; - b) la trigonométrie ou calcul cl es éléments du triangle, et la géométrie descriptive ou art de représenter les figures de l'e1;pace par leurs projections sur deux plans perpendiculaires, qui peuvent être regardées l'une et l'autre comme des applications de la géométrie; - c) l'astrtmomie, qui, du moins dans sa partie mathématique (mécanique céleste), est une ap·plication de la mécanique au mouvement des astres.
§ Il.
- ORIGINE DES NOTIONS MATHÉMATIQUES
La question à résoudre est celle-ci : D'où notre esprit peut-il
tirer ces « natures simples n, selon l'expression de Descartes,
ces
éléments fondamentaux ~nombres, figures, définitions,
axiomes)
qui constituent la matière des mathématiques, ct
comment se fait leur développemenP
I.
Thèse rationaliste.
- Selon certains philosophes que
l'on appelle rationalistes .(parce qu'ils croient à une raison dis
tincte de l'expérience), ou a prioristes (parce qu'ils font inter
venir des notions antérieures à l'expérience), ou innéistes
(parce qu'ils admettent dans l'esprit l'existence d'idées, de
notions antérieures à l'expérience), les premières notions ma
thématiques ont été construites par l'esprit sans aucun appel
à l'expérience.
C'est la pens6e commune (malgré certaines divergences) de Descartes, de ses disciples, de Kant.
Selon ces philosophes, il n'y a pas de nombre dans la nature ; il n'y a que des pluralités d'objets concrets; le nombre n'existe qu'à partir du.
»
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