LOGIQUE ET MATHÉMATIQUE.

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~------~-' des contenus intuitifs ou sensibles qui tendaient à la particulariser, voire à l'entacher d'empirisme.

Chaque construction mathématique de­ vient une «axiomatique», c"est-à-dire un ensemble de propositions dont les enchaînements sont explicitement référés à un point de départ admis comme hypothèse, et choisi arbitrairement.

• Le rapport des mathématiques et du réel : un problème à redé­ finir.

- Dans toute science à visée explicative, il y a une matière à connaître et une pensée qui l'informe.

Le problème devenu classique de la vérité est donc de concilier la cohérence (rigueur du raisonnement) et l'adéquation de cette pensée au réel.

Mais la mathématique n·a pas d'objet particulier à connaître.

Elle est un savoir portant plutôt sur la maîtrise d"une activité mentale se déployant dans des opérations que sur l'explication des processus réels internes aux phénomènes.

En ce sens, la mathématique cr~e ses propres objets de réflexion, notamment en forgeant les abstractions qui lui sont nécessaires pour le calcul opé­ ratoire.

Cf., par exemple, /'extension de la notion de nombre (passage des entiers naturels aux entités mathématiques complexes à travers une abstraction de plus en plus poussée).

- La question est de savoir si la dynamique de l'abstraction crois­ sante des mathématiques peut les conduire à une logique pure, dému­ nie de toute intuition.

A ce niveau, les difficultés des mathématiques, dans un tel mouvement, ne seront pas différentes de celles qu'a ren­ contrées la logique lorsqu'elle a cherché à se justifier par un système de raisons exclusivement logiques.

(Cf.

le problème des paradoxes qui marquent les limites d'une telle tentative.) Tout système hypothético­ déductif doit admettre des éléments de base quïl ne démontre pas.

La prise de conscience de cette nécessité -qui marque d'ailleurs précisé­ ment les limites et les conditions de la logique - a conduit à une redéfinition du statut des mathématiques, pensées comme des axioma­ tiques.

La géométrie euclidienne, par exemple, a été relativisée dès lors qu'après l'échec des tentatives visant à en démontrer tous les élé­ ments, les mathématiciens ont choisi d'autres points de départ, cons­ truisant ainsi des géométries tout aussi rigoureuses et cohérentes, mais qui recevaient explicitement le statut d'axiomatiques.

La différence est que la géométrie euclidienne, solidaire d'un support intuitif familier à l'homme (perception de l'espace).

avait pu faire illusion pendant long­ temps (20 siècles) sur son caractère absolu et indépassable.

• Approfondissement : le rôle « constituant » des mathématiques dans la structuration scientifique de l'expérience.

- L'expérience n'est «donnée» et préexistante que dans une mo­ dalité sensible, empirique, d'emblée constituée dans un rapport immé­ diat entre un sujet pourvu de ser.isibilité et un objet « excitant » cette sensibilité.

Mais est-ce cette expérience là qui est analysée et explicitée par la science ? On sait (cf.

U.l science) que la démarche scientifique s'efforce d'élucider la réalité interne des phénomènes, non leur appa­ rence sensible.

L'expérience, au sens scientifique, implique l'intervention 155. »