Mohamed COMPAORE, Etude sur G Heck à propos de ses écrits sur le logicisme de Frege

« Mohamed COMPAORE, Etude sur G Heck à propos de ses écrits sur le logicisme de Frege Le texte que nous étudions a été écrit par Richard G Heck professeur de philosophie.

Il a produit des ouvrages portant notamment sur Frege ; le texte que nous étudions est justement un extrait de ses travaux sur Frege.

Ce texte a pour objet d’exposer une théorie qui justifie un ensemble de travaux produits par Frege.

Cette théorie est appelée le logicisme.

Il consiste à réduire l’ensemble des vérités arithmétiques aux vérités logiques.

Il s’agit en occurrence de dire que l’ensemble des objets et des outils arithmétiques sont fondés dans des hypothèses fondamentales qui sont-elles mêmes des lois logiques ou qui peuvent être fondées dans des lois logiques.

Il s’agit de dire que les concepts et les propositions arithmétiques peuvent être saisies, traduites, définies et signifiées par des termes logiques.

Dans son exposé, Heck donne deux préoccupations fondamentales liées l’une à l’autre, et qui fonde la démarche logiciste. La première concerne le statut épistémologique des vérités arithmétiques. La question se pose en effet de savoir si ce sont des jugements synthétiques ou analytiques ? Si ce sont des vérités empiriques ou si ce sont des vérités de la raison pure. Dire que les vérités arithmétiques sont des vérités fondées dans des lois logiques, c’est dire en même temps que ces vérités sont des vérités de la raison, c’est aussi dire qu’elles ne doivent rien à l’expérience ; c’est en même temps dire que ce sont des vérités analytiques. La seconde question qui se pose est notre mode d’accès aux connaissances arithmétiques.

Celles- ci nous sont-elles accessibles par la voie de l’expérience ? ou de l’intuition à priori ? Stuart Mill répond par l’affirmative à la première question quand Kant répond par l’affirmative à la seconde.

Ces points de vue partent de l’idée que les propositions arithmétiques tout comme les concepts arithmétiques, s’acquièrent par l’expérience, et supposent le recours à l’expérience. Ces conceptions font donc découler l’arithmétique de vérités empiriques.

Or c’est justement contre ce point de vue que s’élève le point de vue frégéen.

Le projet frégéen exclut toute sorte d’élément empirique dans la production des vérités arithmétiques.

Les vérités arithmétiques, selon Frege, sont fondées dans des prémisses qui sont constituées par des vérités logiques. Pour Frege l’ensemble des vérités mathématiques sont entièrement déductibles de notions logiques.

Heck expose cette théorie frégéenne en exposant le système de logique formelle proposée par Frege.

Il procède par la suite à une description de ce système pour en faire ressortir la forme axiomatique.

La forme axiomatique du système répond justement au souci frégéen d’offrir un modèle rigoureux de démonstration des vérités arithmétiques.

Elle permettrait aussi d’opérer des déductions de vérités générales et non pas seulement particulières. Mais avant d’opérer les différentes déductions Frege dut dans un premier temps procéder à une réinterprétation des vérités arithmétiques à partir des vérités logiques. Ensuite il montra le caractère purement logique des vérités arithmétiques en traduisant les propositions arithmétiques dans des termes logiques.

Mais cette opération a été précédée par un stade très important qui est celui de la détermination de notre mode d’accès au nombre.

Montrer que ce mode d’accès s’opère par la voie purement logique était déterminant dans la détermination du statut épistémologique des vérités.

Cela devrait permettre de montrer que notre connaissance du nombre ne s’opérait pas par voie intuitive, à travers des jugements synthétiques à priori, mais par voie logique, à partir de jugements analytiques.

Cela devrait également permettre de construire des propositions logiques traduisant des propositions arithmétiques.

L’idée de propositions logiques traduisant des propositions arithmétiques est conçue nécessairement à l’intérieur d’un système axiomatique qui rend possible l’ensemble des déductions et offrent une forme harmonisée à l’ensemble de tout le système.

Mais beaucoup d’étapes de la démonstration frégéenne comportent certaines limites relevées d’ailleurs par Heck.

Dans le texte de Heck nous pouvons identifier deux grands moments majeurs dans la démonstration des vérités arithmétiques. Le premier moment consistera à la conception d’un système de logique formelle.

Le deuxième se résume à définir en termes logiques les vérités arithmétiques, et la possibilité de déduire ces vérités arithmétiques à l’intérieur du système de logique formelle.

A cette préoccupation s’associe la nécessité de déterminer un mode d’accès purement logiques aux concepts arithmétiques. Pour démontrer que les vérités arithmétiques provenaient d’un développement de la logique Frege élabora un langage et eut recours à un système de formalisation qui lui permet de représenter les énoncés en en faisant ressortir la plus complète et la plus précise structure.

Ce système élaboré dans la « Begriffsschrift », lui permet de formuler justement certains énoncés et de pouvoir apprécier leur structure d’une façon précise et claire.

Ce qui n’était pas encore possible dans le système booléen inspiré justement du système aristotélicien.

Cela fait du système frégéen, un système très rigoureux de représentation des symboles.

Le caractère rigoureux du système formel permet à Frege de concevoir un système de démonstration et de déduction des vérités arithmétiques, très rigoureux.

La rigueur de la démonstration est très essentielle chez Frege. Selon Frege toute tentative de détermination du statut épistémologique de l’arithmétique suppose que soit déterminé avec précision l’ensemble de toutes les présuppositions dont dépendent les démonstrations qui y sont impliquées.

A partir du moment où il s’agit de montrer que l’ensemble des vérités arithmétiques sont fondées sur la logique, il y’a nécessité que la démonstration ne fasse pas intervenir des éléments étrangers aux prémisses ; et notamment des éléments empiriques.

Le système frégéen permet ainsi de construire des démonstrations où toutes les étapes déductives peuvent être identifiées au moyen de critères syntaxiques et où toutes les présuppositions sont justifiées.

Le système formel de Frege permet donc de formuler des raisonnements, et des raisonnements mathématiques disposant d’un niveau élevé de rigueur.

Cet aspect du système frégéen a notamment été exploité dans le domaine de la philosophie où les ressources des mathématiques, étaient utilisées dans l’analyse des raisonnements philosophiques.

Cela a donné naissance à un courant philosophique appelé la philosophie analytique. L’approche frégéenne est une approche rigoureuse en raison du caractère rigoureux de son système formel.

Ce système formel n’était pas seulement rigoureux, il était aussi global.

Il ne s’agissait pas de fonder quelques vérités particulières de l’arithmétique comme l’avait tenté Leibniz.

Il s’agissait de faire ressortir l’idée que toutes les propositions arithmétiques sont l’expressions de propositions logiques.

Les vérités de l’arithmétique sont fondées dans des vérités logiques.

Elles sont dès lors explicitées par des lois logiques.

L’idée consiste donc à déterminer les hypothèses fondamentales sur lesquelles se fonderaient par la suite les propositions arithmétiques.

Pour cela il s’agit de construire tout un système axiomatique déductible d’hypothèses fondamentales et à partir duquel pourrait être déduit les propositions de l’arithmétique.

Il formula ainsi pour l’arithmétique des axiomes dont il établit la démonstration et la démonstration qu’ils sont suffisant à la caractérisation de la structure mathématique abstraite des nombres naturels.

La démonstration des axiomes de l’arithmétique dans le cadre de la logique suppose la définition des propositions arithmétiques en termes de notions logiques.

Il s’agit ainsi de réinterpréter les propositions arithmétiques dans le cadre d’un système de logique formelle.

L’interprétation pour reprendre les termes mêmes de Heck consiste à « montre que l’on peut définir le vocabulaire primitif d’une théorie cible (ici celui de l’arithmétique) dans le vocabulaire primitif de la théorie base (ici celui d’une théorie formelle de la logique) de sorte que les transcriptions définitionnelles des axiomes de la théorie cible constituent les théorèmes de la théorie base ».

La démonstration des propositions arithmétiques dans le système de logique formel consistera donc à démontrer leurs traductions définitionnelles, à montrer que les propositions arithmétiques peuvent être traduites en termes logiques.

Heck souligne cependant qu’une telle interprétation ne permet pas de déterminer le statut épistémologique des vérités arithmétique même si tout le système de logique formelle est constitué de vérités analytiques.

Il donne pour preuve l’idée que si une définition des paires ordonnée est donnée, il serait possible d’interpréter la géométrie euclidienne dans l’analyse au moyen des coordonnées cartésiennes. Frege soutenant que l’arithmétique est analytique et par conséquent l’analyse aussi, pourrait on soutenir que la géométrie euclidienne l’est aussi ? Cette conclusion ne peut être envisagée, puisque Frege à l’instar de Kant considère les propositions géométriques comme étant synthétiques à priori.

Dès lors ce n’est pas exactement ce que l’interprétabilité désigne.

Du coup l’interprétabilité des notions arithmétiques par des notions logiques ne garantit pas à l’arithmétique, le statut épistémologique de vérités acquises par voie logique.

Il faut encore que l’interprétabilité puisse établir l’apparence qu’ont les propositions d’une théorie cible (propositions arithmétiques), dans la théorie base (propositions logiques). Cela signifie que dans l’interprétation à l’intérieur d’un système de logique formel, les notions logiques doivent saisir et traduire la véritable signification des notions arithmétiques.

L’interprétation doit précisément établir que l’apparence d’une proposition d’une théorie cible (théorie arithmétique) est exactement signifiée dans une théorie base (théorie logique).

Dans cette logique la question peut se poser de savoir si les définitions des notions fondamentales de l’arithmétique que.... »