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Quelle leçons le philosophe tire-t-il de l'étude des mathématiques ?

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 Peut-on dire « le philosophe «, sans préciser davantage ? Il ne s'agit pas ici de résoudre cette question ; on admettra que « le philosophe « s'exprime dans des philosophies. Hegel nous recommande d'éviter le ridicule d'un malade qui refusait de manger des pommes ou des cerises parce que son médecin lui avait prescrit de manger du fruit, non des pommes ou des cerises.

 Tirer leçon de quelque chose : en dégager un enseignement. Mais l'expression est assez vague, elle peut prendre plusieurs significations. Le plus souvent, on tire la leçon d'une mésaventure. d'un échec ou d'une erreur. Est-ce en ces termes qu'il faudrait parler des mathématiques dont le philosophe pourrait tirer leçon ?
 

Philosophie et mathématique sont des disciplines qui ont connu, semble-t-il, des conditions d'émergences comparables, l'une et l'autre se réclament d'un certain usage privilégié de la raison. De plus, au sens classique de connaissance, elles sont , parentes: manthanein, en grec, signifie apprendre, et mathèma, science. Comment penser leurs rapports ? Le philosophe tire-t-il des leçons de l'étude et de la pratique des mathématiques ?
 Tirer leçon de quelque chose, c'est en dégager un enseignement. Mais l'expression est assez vague. Le plus souvent, on tire la leçon d'une mésaventure, d'un échec ou d'une erreur. Est-ce en ces termes qu'il faudrait parler des mathématiques dont le philosophe pourrait tirer leçon ou au contraire, est-ce les succès et les réussites des mathématiques dont le philosophe doit tirer des enseignements ?
 

« Les limites du modèle mathématique. De la différence des objets du philosophe et du mathématicien. Même les philosophes les plus ouverts aux mathématiques ont eu conscience du caractère essentiellementhypothético-déductif des mathématiques. Toutefois, si ces dernières, en plus, donnent une certaine idée du réel etqu'en un sens elles constituent une sorte de « science », une forme particulière d'expérience du réel, elles n'en sontpas moins très incomplètes : procédant dans l'élément pur de l'abstraction, elles mettent de côté le réel. Aristoteavait souligné comment les entités mathématiques (nombre, figure, etc.) était le résultat d'une opération de lapensée qui ne considérait alors la réalité qu'en tant que nombre ou figure. Elles sont, à ce titre, susceptibles d'unedescription plus précise que les corps solides, qui contiennent de la matière et possèdent des qualités secondes(couleurs, consistance, etc.), mais elles ont aussi moins de réalité. Les mathématiques construisent leurs concepts. D'où procèdent donc les entités mathématiques? «Je construis un triangle [...] pleinement a priori, sans en avoiremprunté le modèle à une expérience quelconque », écrit Kant, que cette expérience soit sensible ou intellectuelle.En montrant que les mathématiques procèdent « par construction de concepts », qu'elles se donnent « librement »leurs objets, leurs principes, Kant sépare beaucoup plus explicitement philosophie et mathématiques. Si donc lephilosophe a quelque chose à tirer des mathématiques, ce n'est en aucun cas une information sur la nature du réel,mais plutôt sur celle de l'intelligence humaine qui y révèle ses pouvoirs. Se libérer du réel ? En prolongeant cette problématique, on pourrait dire que l'histoire des mathématiques est l'histoire d'une libération :l'esprit de l'homme, par exemple, n'est pas resté prisonnier des impératifs utilitaires qui le firent inventer la géométrie(la mesure de . la terre, l'arpentage), il s'affranchit même des « évidences » intellectuelles que la géométrie semblaitimposer pour toujours, puisqu'il peut construire des géométries parfaitement rationnelles dont les postulats, et parconséquent les théorèmes, contredisent ceux d'Euclide (cf. les géométries de Riemann ou de Lobatchevski). Lanécessité des démonstrations géométriques, en effet, et le fait qu'elles s'imposent à tout esprit attentif, tout celaserait incompréhensible si l'esprit humain n'était alors en présence de ses propres exigences intellectuelles, tellesqu'elles s'exposent dans un domaine particulier. Mais cette nécessité n'est alors que l'expression d'un esprit qui,n'obéissant qu'à lui-même, peut être dit libre. Le sentiment de contrainte qu'on associe parfois à la pratique desmathématiques proviendrait donc d'autre chose, des conditions concrètes de l'étude (« L'attitude du professeur demathématiques, sérieux et terrible comme un sphinx, n'est pas difficile à psychanalyser », note G. Bachelard, LaFormation de l'Esprit scientifique, Vrin, p. 248) ou de ses fonctions sociales (sélection scolaire par exemple). Mais,dans l'intelligible mathématique, l'esprit est chez lui. Les apports des mathématiques à la pensée. Une pratique plus indépendante de la raison. Que l'esprit soit chez lui en mathématiques ne veut pas dire qu'il n'est chez lui que là, ni qu'il est là en repos. Ledéveloppement des mathématiques est fait de crises, de remaniements, de problèmes et de solutions inattenduscomme peuvent être inattendues les applications scientifiques de spéculations d'abord «gratuites» et déroutantes.La géométrie non-euclidienne de Riemann, qui paraissait si éloignée du « réel », trouva une application imprévuedans la physique de la relativité ; « les Grecs étudièrent l'ellipse deux mille ans avant que Kepler n'en découvrît lapremière application importante: les lois du mouvement des planètes » (J. Leray, in Logique et connaissancescientifique, dir. Piaget, Pléiade, p. 465). S'il ignorait la réalité des mathématiques et celle des champs où elless'exercent avec une fécondité que confirment encore les techniques contemporaines, le philosophe pourraitgravement méconnaître l'intelligence qui s'y manifeste, intelligence qu'il ne faudrait pas réduire par ignorance à desformes peut-être périmées. Une dialectique des principes et de la raison. C'est en tout cas en ce sens que Bachelard nous invite à réfléchir: «L'arithmétique n'est pas plus que la géométrieune promotion naturelle d'une raison immuable. L'arithmétique n'est pas fondée sur la raison. C'est la doctrine de laraison qui est fondée sur l'arithmétique élémentaire. Avant de savoir compter, je ne savais pas ce qu'était la raison.[...] Or, les variations du raisonnement sont maintenant nombreuses dans les sciences géométriques et physiques ;elles sont toutes solidaires d'une dialectique des principes de la raison [...], Il faut en accepter la leçon » (LaPhilosophie du non, PUF). Cette leçon, c'est que « la doctrine traditionnelle d'une raison absolue et immuable n'estqu'une philosophie. C'est une philosophie périmée » (ibid.). Conclusion Les philosophes ont su intégrer à leur réflexion des disciplines dont ils mesuraient pleinement la valeur. Il faudraitdire que les mathématiques donnent à penser aux philosophes et si la philosophie, aujourd'hui comme hier, reste « la »

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