Grand oral modèle SIR

« Grand oral modèle SIR Lorsqu’on parle aujourd’hui d’épidémie, l’un des premiers mots qui nous vient à l’esprit est COVID19.

En effet nous avons tous été marqués par cet évènement qui a grandement impacté nos vies. Aujourd’hui je vais vous parler d’épidémies mais dans un contexte plus large.

En effet nous allons étudier une tendance commune que les épidémies suivent à peu près toutes, c’est leur propagation.

Pour cela nous allons étudier la question suivante : comment prévoir à l’aide de modèles mathématiques l’évolution d’une épidémie ? Nous ferons donc appel à un système de modèle dit à compartiment, le modèle théorique SIR. Ce modèle étant purement théorique, il ne rend que des résultats approximatifs mais qui relèvent des tendances générales de la propagation d'une épidémie.

Cela permet ainsi aux autorités de mettre en place des moyens nécessaires en amont pour faire face à une crise comme par exemple par l'ouverture de lit dans les hôpitaux, la formation du personnel de la santé sur la bactérie ou le virus en question etc. Le premier compartiment "S", comprend tous individus dits saints mais qui sont susceptibles d'être contaminés.

Le compartiment I contient toutes les personnes infectées tandis que le troisième compartiment R correspond à l'ensemble des individus rétablis. Nous étudierons donc les flux entre ces différents compartiments pour élaborer une courbe propre à chaque compartiment en fonction du temps.

Ces flux seront modélisables par des équations différentielles du premier ordre que nous étudions dans le programme de spécialité Mathématiques de terminale. Pour répondre à cette question nous expliquerons dans un premier temps le principe du modèle à compartiment et nous établirons les équations différentielles propres à ces différents flux puis dans un second temps nous étudions les courbes de ces équations différentielles et notamment les raisons de leur évolution. Ici on simplifiera le modèle en posant que S I et R sont indépendants c'est-à-dire qu’un individu se situe soit dans S soit dans I soit dans R et que le sens d'évolution ne peut se faire que de S vers I et de I vers R. Ici ce qu’on cherche à faire, c'est tenter d'écrire des équations différentielles qui décrivent l'évolution de S, I, R en fonction du temps ce que je vais faire ici c'est utiliser un type de système appelé équation différentielle.

L'idée est que pour chacune de ces trois grandeurs, je veux écrire un taux de changement, taux d'accroissement par rapport au temps.

C'est ce qu'on appelle la dérivée. Donc d[S]/dt peut-être vu comme la façon dont le nombre de susceptible change en fonction du temps d[I]/dt est un calcul permettant d'expliquer la façon dont le nombre d'infectés change en fonction du temps De la même façon pour d[R]/dt la façon dont le nombre de guéris change en fonction du temps Quelles que soient les équations pour chacune des dérivés ici si je pense à d[S]/dt, le changement du nombre de susceptibles en fonction du temps je vais essayer de me demander de quoi ce changement dépend considérant que je suis infecté et que vous êtes susceptible la façon dont je pourrais vous infecter serait si nous entrions en contact.

Il y aurait alors une certaine probabilité que je vous infecte.

Ainsi, plus il y a de contact entre les personnes, plus les S et les I vont se multiplier entre eux pour créer cette interaction, et plus les susceptibles auront de chance d'être infectés.

Donc pour mettre cela en équation je vais commencer ainsi par dire que ce premier taux de d[S]/dt d'accroissement des susceptibles est négatif, car les susceptibles sont de moins en moins nombreux au fur et à mesure qu'il deviennent infectés.

Donc je met une constante a qui est une constante négative ici une constante de proportionnalité, et multiplié par S et I car plus ce produit est grand plus le nombre d'interactions entre les susceptibles et infecté et grand c'est donc mon d[S]/dt Qu'en est-il de d[I]/dt ? D'abord si on considère une personne infectée une façon d'être infecté c’est le passage de susceptible à infecté donc si on perd -aSI on gagne sur les infectés alors on a plus aSI mais ce n'est pas le seul facteur qui entre en compte pour calculer le nombre d’individus chez les infectés.

Il y a aussi une perte de personnes infectées lorsqu'elles guérissent de la maladie, lorsque leur système immunitaire se bat et élimine la bactérie ou le virus.

(Et ils ne sont alors plus capables d'infecter d'autres personnes dans notre modélisation simplifiée).

Lorsque cela se produit, il y a une baisse du nombre d'infecté (ce qui est une bonne chose) et donc un terme -bI négatif.

Plus il y a de personnes infectées, plus le taux de sortie du groupe des infectés est grand, et donc plus le terme bI est grand. Donc si on prend bI chez les infectés on les gagne chez les guéris.

On a alors : d[R]/dt = bI. C'est un système d'équation différentielle donc comme pour un système d'équation générale.... »