Les mathématiques

1. UN MODELE D'INTELLIGIBILITE

• La certitude mathématique.

1. La démonstration mathématique procède de façon déductive. Ce faisant, elle s'impose à l'esprit comme une vérité logiquement nécessaire (on dit aussi : apodictique).

2. Parce qu'elle procède déductivement, la science mathématique constitue un modèle d'intelligibilité auprès des autres sciences.

2. UNE SCIENCE HYPOTHETICO-DEDUCTIVE

• Jusqu'au XIXe siècle...

On a considéré que la géométrie d'Euclide (III siècle av. J.-C.) était vraie parce que les propositions qui y figurent sont toutes :

• soit démontrées (= ce sont alors des théorèmes) ;

• soit « évidentes « (= axiomes et postulats).

• Exemple d'axiome : le tout est plus grand que la partie.

• Exemple de postulat : par un point extérieur à une droite, il \passe une parallèle et une seule.

• Les géométries non euclidiennes.

1. C'est en essayant de démontrer le postulat des parallèles (et de le transformer, par conséquent, en théorème) que les mathématiciens s'aperçurent, après moults tentatives infructueuses, que des géométries non euclidiennes étaient concevables.

2. Dans l'une, on postulera (même si cela ne signifie rien pour l'architecte qui veut construire une maison à notre échelle) que par un point extérieur à une droite, il peut passer une infinité de non-sécantes (Lobatchevski, 1826) ; dans l'autre, au contraire, que par un tel point, on ne peut faire passer aucune parallèle à la droite considérée (Riemann, 1854).

La mathématique comme « système hypothético-déductif « (Pieri). La nécessité logique ne réside donc pas dans les propositions elles-mêmes, mais dans le lien logique qui unit un groupe d'axiomes à l'ensemble des théorèmes qui s'en déduisent.