"nombre" chez DESCARTES

 

 Règles pour la direction de l’esprit, #2#Règle première.

Et certes il me semble étonnant que la plupart des hommes étudient avec soin les plantes et leurs vertus, le cours des astres, les transformations des métaux, et mille objets semblables, et qu’à peine un petit nombre s’occupe de l’intelligence ou de cette science universelle dont nous parlons ;

  Règles pour la direction de l’esprit, Règle deuxième.

Et quoique les savants se persuadent peut-être que les connaissances de cette espèce sont en bien petit nombre, parce que sans doute, par un vice naturel à l’esprit humain, ils ont négligé de porter leur attention sur ces objets, comme trop faciles et à la portée de tous, je ne crains pas cependant de leur déclarer qu’elles sont plus nombreuses qu’ils ne pensent, et qu’elles suffisent pour démontrer avec évidence un nombre infini de propositions, sur lesquelles ils n’ont pu émettre jusqu’ici que des opinions probables, opinions que bientôt, pensant qu’il était indigne d’un savant d’avouer qu’il ignore quelque chose, ils se sont habitués à parer de fausses raisons, de telle sorte qu’ils ont fini par se les persuader à eux-mêmes, et les ont débitées comme choses avérées.

  Règles pour la direction de l’esprit, Règle troisième.

Nous devons lire les ouvrages des anciens, parce que c’est un grand avantage de pouvoir user des travaux d’un si grand nombre d’hommes, premièrement pour connaître les bonnes découvertes qu’ils ont pu faire, secondement pour être averti de ce qui reste encore à découvrir.

comme il est à peine une chose avancée par l’un dont on ne puisse trouver le contraire soutenu par l’autre, nous serions toujours dans l’incertitude auquel des deux ajouter foi, et il ne nous servirait de rien de compter les suffrages, pour suivre l’opinion qui a pour elle le plus grand nombre.

En effet, s’agit-il d’une question difficile, il est croyable que la vérité est plutôt du côté du petit nombre que du grand.

C’est ainsi que chacun peut voir intuitivement qu’il existe, qu’il pense, qu’un triangle est terminé par trois lignes, ni plus ni moins, qu’un globe n’a qu’une surface, et tant d’autres choses qui sont en plus grand nombre qu’on ne le pense communément, parce qu’on dédaigne de faire attention à des choses si faciles.

car il est un grand nombre de choses qui, sans être évidentes par elles-mêmes, portent cependant le caractère de la certitude, pourvu qu’elles soient déduites de principes vrais et incontestés par un mouvement continuel et non interrompu de la pensée, avec une intuition distincte de chaque chose ;

  Règles pour la direction de l’esprit, Règle quatrième.

c’est dans cet esprit qu’étudient presque tous les chimistes, la plupart des géomètres, et bon nombre de philosophes.

il y a plus, on doit les mettre au nombre des obstacles ;

qui a pour but d’opérer sur les nombres ce que les anciens opéraient sur les figures ?

Aussi quoique, dans ce traité, je parle souvent de figures et de nombres, parce qu’il n’est aucune science à laquelle on puisse emprunter des exemples plus évidents et plus certains, celui qui suivra attentivement ma pensée verra que je n’embrasse ici rien moins que les mathématiques ordinaires, mais que j’expose une autre méthode, dont elles sont plutôt l’enveloppe que le fond.

J’y voyais diverses propositions sur les nombres dont, calcul fait, je reconnaissais la vérité ;

En effet il n’y a rien de plus vide que de s’occuper de nombres et de figures imaginaires, comme si on voulait s’arrêter à la connaissance de pareilles bagatelles ;

sans compter qu’il n’y a rien de plus difficile que de dégager, par cette méthode, les difficultés nouvelles qui se présentent pour la première fois, de la confusion des nombres qui les enveloppent.

Or, en réfléchissant attentivement à ces choses, j’ai découvert que toutes les sciences qui ont pour but la recherche de l’ordre et de la mesure, se rapportent aux mathématiques, qu’il importe peu que ce soit dans les nombres, les figures, les astres, les sons ou tout autre objet qu’on cherche cette mesure, qu’ainsi il doit y avoir une science générale qui explique tout ce qu’on peut trouver sur l’ordre et la mesure, prises indépendamment de toute application à une matière spéciale, et qu’enfin cette science est appelée d’un nom propre, et depuis longtemps consacré par l’usage, savoir les mathématiques, parce qu’elle contient ce pourquoi les autres sciences sont dites faire partie des mathématiques.

Et une preuve qu’elle surpasse de beaucoup les sciences qui en dépendent, en facilité et en importance, c’est que d’abord elle embrasse tous les objets auxquels celles-ci s’appliquent, plus un grand nombre d’autres ;

  Règles pour la direction de l’esprit, Règle sixième.

Ces rapports s’éloignent d’autant plus de l’absolu qu’ils contiennent un plus grand nombre de rapports qui leur sont subordonnés, rapports que notre règle recommande de distinguer les uns des autres, et d’observer, dans leur connexion et leur ordre mutuel, de manière que, passant par tous les degrés, nous puissions arriver successivement à ce qu’il y a de plus absolu.

Enfin, pour mieux faire comprendre que nous considérons ici les choses, non quant à leur nature individuelle, mais quant aux séries dans lesquelles nous les ordonnons pour les connaître l’une par l’autre, c’est à dessein que nous avons mis au nombre des choses absolues la cause et l’égal, quoique de leur nature elles soient relatives ;

Tous les autres ne peuvent être perçus qu’en les déduisant de ceux-ci, soit immédiatement et prochainement, soit après une ou deux conclusions, ou un plus grand nombre, conclusions dont il faut encore noter le nombre, pour reconnaître si elles sont éloignées par plus ou moins de degrés de la première et de la plus simple proposition ;

Par exemple, je vois que le nombre 6 est le double de 3 ;

et qu’ainsi les nombres 3, 6, 12, 24, 48, sont en proportion continue.

D’abord je remarque que je n’ai pas eu plus de peine à trouver le double de 6 que le double de 3, et que de même, en toutes choses, ayant trouvé le rapport entre deux grandeurs quelconques, je peux en trouver un grand nombre d’autres qui sont entre elles dans le même rapport ;

que la nature de la difficulté ne change pas, que l’on cherche trois ou quatre, ou un plus grand nombre de ces propositions, parce qu’il faut les trouver chacune à part, et indépendamment les unes des autres.

car il ne faut pas penser seulement à un ou deux nombres à la fois, mais à trois, afin d’en découvrir un quatrième.

Par exemple, pour trouver ces quatre nombres en proportion continue, 3, 6, 12, 24, si on donne les deux conséquents 3 et 6, ou bien 6 et 12, 12 et 24, rien ne sera plus facile que de trouver les autres nombres à l’aide de ceux-là.

mais cela suffit pour montrer au lecteur ce que j’entends, quand je dis qu’une proposition est déduite directement ou indirectement, et pour lui apprendre que les choses les plus faciles et les plus élémentaires, bien connues, peuvent même dans les autres études fournir à l’homme qui met de l’attention et de la sagacité dans ses recherches, un grand nombre de découvertes.

  Règles pour la direction de l’esprit, Règle septième.

L’observation de la règle ici proposée est nécessaire pour qu’on puisse placer au nombre des choses certaines ces vérités qui, comme nous l’avons dit plus haut, ne dérivent pas immédiatement de principes évidents par eux-mêmes.

En effet, si je veux prouver par énumération combien il y a d’êtres corporels, ou qui tombent sous les sens, je ne dirai pas qu’il y en a un tel nombre, ni plus ou moins, avant de savoir avec certitude que je les ai rapportés tous et distingués les uns des autres.

J’ai ajouté que l’énumération devait être méthodique, parce qu’il n’y a pas de meilleur moyen d’éviter les défauts dont nous avons parlé, que de mettre de l’ordre dans nos recherches, et parce qu’ensuite il arrive souvent que s’il fallait trouver à part chacune des choses qui ont rapport à l’objet principal de notre étude, la vie entière d’un homme n’y suffirait pas, soit à cause du nombre des objets, soit à cause des répétitions fréquentes qui ramènent les mêmes objets sous nos yeux.

  Règles pour la direction de l’esprit, Règle huitième.

Cependant l’observation du principe n’est pas ici si rigoureuse, et souvent sans connaître à fond toutes ces choses, seulement un petit nombre, ou même une seule d’elles, on pourra passer outre.

En effet il n’y a rien de si multiple et de si épars qui ne puisse être renfermé dans de certaines bornes, et ramené sous un certain nombre de chefs, au moyen de l’énumération dont nous avons parlé.

  Règles pour la direction de l’esprit, Règle dixième.

comme sont encore les combinaisons des nombres, et tout ce qui a rapport à l’arithmétique, tant d’autres arts semblables en un mot, qui exercent merveilleusement l’esprit, pourvu que nous n’en empruntions pas la connaissance aux autres, mais que nous les découvrions nous-mêmes.

Par ce moyen nous deviendrons insensiblement, et en moins de temps que nous ne pourrions l’espérer, capables de déduire avec une égale facilité de principes évidents un grand nombre de propositions qui nous paraissent très difficiles et très embarrassées.

  Règles pour la direction de l’esprit, Règle onzième.

Après avoir aperçu par l’intuition quelques propositions simples, si nous en concluons quelque autre, il est inutile de les suivre sans interrompre un seul instant le mouvement de la pensée, de réfléchir à leurs rapports mutuels, et d’en concevoir distinctement à la fois le plus grand nombre possible ;

Par exemple, si je parcours un certain nombre de grandeurs en proportion continue, je remarquerai tout ceci :

Mais il est une autre raison pour qu’il en arrive autrement, c’est qu’encore bien qu’il y ait dans notre dernier exemple quatre conceptions jointes ensemble, il est possible cependant de les séparer, parce que le nombre quatre se divise par un autre nombre.

  Règles pour la direction de l’esprit, Règle douzième.

exemple qui montre comment l’imagination peut être la cause d’un grand nombre de mouvements dans les nerfs, sans qu’il soit besoin qu’elle en possède en elle-même l’empreinte, pourvu qu’elle possède d’autres empreintes dont ces mouvements puissent être la suite ;

Or il en est un grand nombre de cette espèce ;

Au nombre des choses simples, il faut encore placer leur négation et leur privation, en tant qu’elles tombent sous notre intelligence, parce que l’idée du néant, de l’instant, du repos, n’est pas une idée moins vraie que celle de l’existence, de la durée, du mouvement.

De même quand je dis, quatre et trois font sept, cette liaison est nécessaire, parce qu’on ne peut pas concevoir distinctement le nombre sept sans y renfermer d’une manière confuse le nombre quatre et le nombre trois.

De même encore tout ce qu’on démontre des figures et des nombres est nécessairement lié à la chose sur laquelle porte l’affirmation.

Il est même beaucoup de propositions qui sont nécessairement jointes entre elles, et que le grand nombre range parmi les contingentes, parce qu’on n’en remarque pas la relation :

Enfin il faut remarquer qu’il est un grand nombre de propositions nécessaires, dont la réciproque est contingente :

Ainsi je puis connaître un triangle sans avoir jamais remarqué que cette connaissance contient celle de l’angle, de la ligne, du nombre trois, de la figure, de l’étendue, etc.

et cependant il peut s’y commettre encore un grand nombre d’erreurs.

Ainsi nous aurons toutes nos prémisses, et il ne nous restera plus qu’à faire voir comment il faut trouver la conclusion, non pas en déduisant une chose quelconque d’une chose simple (car, comme nous l’avons dit, cela se fait sans précepte), mais en dégageant avec tant d’art une chose d’un grand nombre d’autres parmi lesquelles elle est enveloppée, qu’il ne faille jamais une plus grande capacité d’esprit que pour la plus simple conclusion.

  Règles pour la direction de l’esprit, Règle treizième.

En effet, nous ne comptons pas seulement au nombre des questions les demandes qui nous sont faites par d’autres, mais c’était même une question que l’ignorance, ou plutôt le doute de Socrate, lorsque, pour la première fois, Socrate réfléchissant chercha s’il était vrai qu’il doutât de tout, et l’affirma ensuite.

  Règles pour la direction de l’esprit, Règle quatorzième.

Aussi il est d’une grande importance de distinguer les énoncés dans lesquels les noms de cette espèce, étendue, figure, nombre, surface, ligne, point, unité, ont une signification si exacte qu’il excluent quelque chose dont, dans la réalité, ils ne sont pas distincts ;

par exemple, quand on dit l’étendue ou la figure n’est pas un corps, le nombre n’est pas la chose comptée, la surface est la limite d’un corps, la ligne de la surface, le point de la ligne, l’unité n’est pas une quantité :

Est-il question de nombres, nous imaginerons un sujet quelconque, mesurable par plusieurs unités, et, quoique l’intelligence ne réfléchisse actuellement qu’à la seule pluralité, il nous faudra prendre garde que dans la suite elle ne conclue quelque chose qui fasse supposer que la chose comptée était exclue de notre conception ;

comme font ceux qui attribuent aux nombres des propriétés mystérieuses, pures frivolités auxquelles ils n’attribueraient pas tant de foi, s’ils ne concevaient pas le nombre comme distinct des choses comptées.

mais les hommes ont tant de préjugés dans l’esprit, que je crains encore qu’un petit nombre seulement soit ici à l’abri de toute erreur, et qu’on ne trouve l’explication de ma pensée trop courte malgré la longueur du discours.

Quel est le calculateur qui ne croie pas devoir, non seulement abstraire ses nombres de tout sujet par l’intelligence, mais encore les en distinguer réellement par l’imagination ?

Et conséquemment il suffit à notre dessein de considérer dans l’étendue elle-même tous les éléments qui peuvent aider à exposer les différences des proportions, éléments qui se présentent seulement au nombre de trois :

et ce mode qui fait le nombre est, à proprement parler, une espèce de dimension, quoiqu’il y ait quelque diversité dans la signification du mot.

L’art, en effet, consiste à les diviser le plus possible, et à diriger son attention sur un petit nombre à la fois, mais cependant successivement sur toutes.

enfin par ces lignes il faut représenter tantôt des grandeurs continues, tantôt la pluralité et le nombre, et l’industrie humaine ne peut rien trouver de plus simple pour exposer toutes les différences des rapports.

  Règles pour la direction de l’esprit, Règle seizième.

mais comme elle est souvent sujette à faillir, et pour ne pas être obligés de donner une partie de notre attention à la renouveler, pendant que nous sommes occupés à d’autres pensées, l’art a fort à propos inventé l’écriture, à l’aide de laquelle, sans rien remettre à notre mémoire, et abandonnant notre imagination librement et sans partage aux idées qui l’occupent, nous confions au papier ce que nous voudrons retenir, et cela au moyen de courtes notes, de manière qu’après avoir examiné chaque chose séparément, d’après la règle neuvième, nous puissions, d’après la règle onzième, les parcourir tous par le mouvement rapide de la pensée, et en embrasser à la fois le plus grand nombre possible.

, pour en indiquer le nombre, et suivre des mêmes chiffres pour exprimer le nombre des relations qu’elles contiennent.

Pour rendre tout ceci plus clair, remarquez d’abord que les calculateurs ont coutume de désigner chaque grandeur par plusieurs unités, ou par un nombre quelconque, tandis que nous, nous ne faisons ici pas moins abstraction des nombres, que tout à l’heure des figures de géométrie ou de toute autre chose que ce soit.

Nous le faisons dans le dessein, et d’éviter l’ennui d’un calcul long et superflu, et principalement de laisser toujours distinctes les parties du sujet dans lesquelles consiste la difficulté, sans les envelopper dans des nombres inutiles.

Il faut remarquer ensuite que, par nombre des relations, il faut entendre les proportions qui se suivent en ordre continu, proportions que dans l’algèbre vulgaire on cherche à exprimer par plusieurs dimensions et figures, et dont on appelle la première racine, la seconde carré, la troisième cube, la quatrième carré carré, mots qui, je l’avoue, m’ont longtemps trompé.

Elles me servaient même à résoudre bon nombre de difficultés ;

Enfin, remarquons que, quoique nous croyions ici devoir abstraire de certains nombres les termes de la difficulté pour en examiner la nature, il arrive souvent qu’elle eût pu être résolue plus simplement avec les nombres donnés, que dégagée de ces nombres.

Cela a lieu par le double usage des nombres, dont nous avons plus haut touché quelque chose ;

Et partant, après avoir cherché la solution de la difficulté lorsque cette difficulté est exprimée par des termes généraux, il faut la rappeler aux nombres donnés, pour voir si par hasard ils ne nous donneraient pas eux-mêmes une solution plus simple.

  Règles pour la direction de l’esprit, Règle dix-septième.

Maintenant nous exposerons dans les cinq règles suivantes comment ces difficultés doivent être traitées, de façon que toutes les grandeurs inconnues, contenues dans une proportion, soient subordonnées les unes aux autres, et que le rang que la première occupe par rapport à l’unité, la seconde l’occupe à l’égard de la première, la troisième à l’égard de la seconde, la quatrième à l’égard de la troisième, et ainsi de suite, si le nombre va plus loin, pour qu’elles fassent une somme égale à une grandeur connue ;

Si donc nous réfléchissons aux choses qui se présentent d’abord aussitôt que nous reconnaissons cette détermination, et que nous les mettions, quoique inconnues, au nombre des choses connues, pour en déduire, graduellement et par la vraie route, le connu même comme s’il était inconnu, nous remplirons tout ce que cette règle exige.

  Règles pour la direction de l’esprit, Règle dix-huitième.

Comment ce nombre est-il suffisant ?

comme l’unité est à a ou à 5, nombre donné, ainsi b ou 7, nombre donné, est à l’inconnu, lequel est a b ou 35, alors a et b sont au second degré, et ab qui en est le produit est au troisième ;

  Règles pour la direction de l’esprit, Règle vingt et unième.

S’il y a plusieurs équations de cette espèce, il faudra les réduire toutes à une seule, savoir à celle dont les termes occuperont le plus petit nombre de degrés, dans la série des grandeurs en proportion continue, selon laquelle ces termes eux-mêmes doivent être disposés.

  ABREGE DE LA MUSIQUE, Du nombre et du temps qu’on doit observer dans les sons.

A quoi je réponds que ces nombres ne sont pas nombres premiers entre eux, et partant ne produisent pas de nouvelles proportions, mais seulement multiplient la raison double ;

  ABREGE DE LA MUSIQUE, des consonnances.

mais qu’il a même rapport aux consonances que l’unité aux nombres.

si j’en veux trouver le terme le plus aigu, pour en former la première de toutes les consonances, alors je le divise en deux (ce nombre étant le premier de tous ) , comme vous voyez qu’on a fait au point C, et alors AC, AB sont éloignées l’une de l’autre par la première des consonances, qui est appelée octave ou diapason.

  ABREGE DE LA MUSIQUE, De l’octave.

C’est pourquoi, lorsque l’octave compose les autres consonances, elle ne multiplie pas tant que les autres le nombre des proportions, étant la seule qui puisse être doublée.

car il y a une quinte de 4 à 6, et de même de 6 à 9, lequel nombre est beaucoup plus grand que 4, et excède l’ordre ou la suite des six premiers nombres dans lesquels nous avons ci-dessus renfermé toutes les consonances.

Et on n’ajoute pas à ces trois une autre espèce de consonance qui soit composée de trois octaves et d’une consonance simple, d’autant que ce sont les bornes où notre faculté peut aller, qui ne peut s’étendre au-delà de trois octaves, parce qu’alors les nombres des proportions se multiplieraient trop.

et nous avons dit qu’il n’y en avait que trois de ceux-là, ce qu’on peut même prouver par la cinquième figure, dans laquelle nous avons exposé les accords avec leurs nombres, car il faut bien prendre garde qu’il n’y a que trois nombres accordants, 2, 3 et 5, les nombres 4 et 6 étant composés d’eux, et ainsi n’ayant lieu entre les accordants que par accident, comme il est évident par la même figure, dans laquelle on voit que ces nombres, de leur nature et en droite ligne, ne produisent pas de nouveaux accords, mais ceux-là seulement qui sont composés des premiers, comme, par exemple, 4 produit une quinzième, 6 une dix-neuvième ;

où je vous prie de remarquer en passant que, dans le nombre de quatre, la quarte naît immédiatement de l’octave comme un monstre défectueux et imparfait.

  ABREGE DE LA MUSIQUE, De la quinte.

car soit que nous tirions la perfection des consonances de la division d’une corde ou du rapport de leurs nombres, il n’y en a proprement que trois, entre lesquelles la quinte tenant le milieu, elle aura ce tempérament, qu’elle ne frappera pas les oreilles si aigrement que le diton ni si mollement que le diapason, mais plaira davantage qu’aucun autre.

  ABREGE DE LA MUSIQUE, Du diton, tierce mineure et des sextes.

Or le diton, considéré de cette manière, est composé de bien moindres nombres que la quarte, ainsi que l’on peut voir dans la sixième figure, et partant il est aussi plus parfait.

vous y verrez au nombre quatre que la quinzième, l’octave et la quarte s’y rencontrent.

Ce nombre est le premier composé, et on le résout et divise jusques à l’unité, par le nombre binaire qui représente l’octave, d’où il arrive que tous les accords qui en sortent sont propres pour la composition, entre lesquels la quarte se rencontrant (laquelle nous avons pour cela ci-devant nommée le monstre de l’octave, ou une octave défectueuse ) , il faut conclure qu’elle n’est pas inutile en la composition, où les mêmes raisons qui empêchent qu’on ne l’emploie seule n’ont pas lieu, car alors elle reçoit quelque perfection de celle qui lui est jointe, et n’est plus sujette à la quinte.

car leurs vertus et propriétés sont en si grand nombre et appuyés de circonstances si faibles et si légères, qu’un volume entier ne serait pas suffisant pour les renfermer.

  ABREGE DE LA MUSIQUE, Des degrés ou tons de musique.

et partant tous les degrés consistent dans ces nombres, dont les deux premiers sont appelés tons majeur et mineur, les deux derniers se nomment demi-tons majeur et mineur.

Secondement, le demi-ton mineur se joindrait au ton majeur, avec lequel il ferait une dissonance fort désagréable, car elle consisterait entre ces nombres, 64 et 75 ;

De plus, c’est aussi la raison pourquoi on se sert plutôt de degrés, dans la voix successive, que de neuvièmes et de septièmes qui naissent des degrés, et dont quelques unes sont composées de moindres nombres que les degrés mêmes, savoir, parce que ces sortes d’intervalles ne divisent pas les moindres accords, et ne peuvent pas pour cela adoucir la rudesse qui se rencontre entre leurs termes.

Or il faut observer que cette main renferme tous les termes de l’une et de l’autre figure, comme le montre la figure 15, où nous avons mis cette gamme en rond, pour la confronter plus aisément avec les deux autres, avertissant, en passant, qu’elle commence au terme F, auquel nous avons expressément assigné le plus grand nombre, pour faire voir que ce terme est le plus bas de tous ;

mais j’estime que la pratique nous la pourra apprendre, si des degrés où l’on se sert de ces choses et des voix qui font un accord avec elles, on en soustrait les nombres, ce qui mérite bien qu’on y pense sérieusement.

L’usage de ces nombres (fig.

car les sons que ces notes représentent sont l’un à l’autre comme les nombres qu’on a mis à chaque corde sont entre eux ;

Au reste, nous avons mis seulement des nombres sur les cordes ordinaires des notes, supposées en leur place naturelle ;

que si l’on trouve des dièses à l’endroit de quelques notes ou un bémol ou un bécarre, qui les fassent sortir de leur lieu, alors il faudra se servir d’autres nombres pour en expliquer la valeur, dont la quantité se prendra des autres notes des autres parties avec lesquelles ces dièses s’accordent.

  ABREGE DE LA MUSIQUE, Des dissonances.

mais on demandera peut-être pourquoi elles ne sont pas en usage dans la voix successive d’une partie seule, aussi bien que les degrés, vu que quelques unes d’entre elles se peuvent exprimer par des nombres moindres que ne font les degrés, et conséquemment semblent devoir être plus agréables à l’oreille.

Ces nombres sont si grands, que semblables intervalles semblent ne se pouvoir pas souffrir ;

Or ces nombres sont trop grands pour rendre un intervalle agréables aux oreilles, et n’ont pas des accords assez voisins, comme les autres, pour en emprunter la douceur :

Nous finirons ici l’explication de toutes les propriétés du son, où il faut seulement remarquer, pour confirmer ce que nous avons dit ci-devant, que toute la diversité des sons à l’égard de l’aigu et du grave naît de ces nombres 2, 3 et 5 ;

et que tous les nombres qui expliquent les degrés et les dissonances sont composés de ces trois seulement, par lesquels étant divisés, on les réduit à l’unité.

  ABREGE DE LA MUSIQUE, De la manière de composer, et des modes.

ce qu’il appuie en même temps de plusieurs raisons, qu’on peut néanmoins tirer en plus grand nombre et plus plausibles des principes que nous avons établis.

  DISCOURS DE LA METHODE, Seconde Partie.

Et pour moi, j’aurais été sans doute du nombre de ces derniers, si je n’avais jamais eu qu’un seul maître, ou que je n’eusse point su les différences qui ont été de tout temps entre les opinions des plus doctes.

ainsi, au lieu de ce grand nombre de préceptes dont la logique est composée, je crus que j’aurais assez des quatre suivants, pourvu que je prisse une ferme et constante résolution de ne manquer pas une seule fois à les observer.

  DISCOURS DE LA METHODE, Cinquième partie.

Et il n’est point besoin de chercher d’autre raison du nombre de ces peaux, sinon que l’ouverture de l’artère veineuse, étant en ovale à cause du lieu où elle se rencontre, peut être commodément fermée avec deux, au lieu que les autres, étant rondes, le peuvent mieux être avec toi.

  DISCOURS DE LA METHODE, Sixième partie.

mais je vois aussi qu’elles sont telles, et en si grand nombre, que ni mes mains ni mon revenu, bien que j’en eusse mille fois plus que je n’en ai, ne sauraient suffire pour toutes ;

  LA DIOPTRIQUE, DISCOURS PREMIER, DE LA LUMIERE.

Et il est malaisé d’en trouver aucune qui l’augmente davantage que celle de ces merveilleuses lunettes qui, n’étant en usage que depuis peu, nous ont déjà découvert de nouveaux astres dans le ciel, et d’autres nouveaux objets dessus la terre, en plus grand nombre que ne sont ceux que nous y avions vus auparavant :

  LA DIOPTRIQUE, DISCOURS TROISIEME, DE L’OEIL.

ZH est le nerf nommé optique, qui est composé d’un grand nombre de petits filets, dont les extrémités s’étendent en tout l’espace GHI, où, se mêlant avec une infinité de petites veines et artères, elles composent une espèce de chair extrêmement tendre et délicate, laquelle est comme une troisième peau, qui couvre tout le fond de la seconde.

  LA DIOPTRIQUE, DISCOURS CINQUIEME, DES IMAGES QUI SE FORMENT SUR LE FOND DE L’OEIL.

car le nombre des superficies où se font les réfractions n’y fait pas grand chose.

  LA DIOPTRIQUE, DISCOURS SIXIEME, DE LA VISION.

Ensuite de quoi notre sens commun même ne semble pas être capable de recevoir en soi l’idée d’une distance plus grande qu’environ de cent ou deux cents pieds, ainsi qu’il se peut vérifier de ce que la lune et le soleil, qui sont du nombre des corps les plus éloignés que nous puissions voir, et dont les diamètres sont à leur distance à peu près comme un à cent, n’ont coutume de nous paraître que d’un ou deux pieds de diamètre tout au plus, nonobstant que nous sachions assez, par raison, qu’ils sont extrêmement grands et extrêmement éloignés.

  LA DIOPTRIQUE, DISCOURS HUITIÈME, DES FIGURES QUE DOIVENT AVOIR LES CORPS TRANSPARENTS POUR DÉTOURNER LES RAYONS PAR RÉFRACTION EN TOUTES LES FACONS QUI SERVENT A LA VUE.

Enfin ces verres diffèrent encore en ce que pour produire les mêmes effets eu égard aux rayons qui se rapportent à un seul point ou à un seul côté, les uns doivent être plus en nombre que les autres, ou doivent faire que les rayons qui se rapportent à divers points, ou à divers côtés, se croisent plus de fois.

  LES METEORES, DISCOURS TROISIEME, Du sel.

et derechef le milieu de celle ci demeurant vide elle devient un peu plus grande que la seconde, et ainsi de suite, jusques à ce que le grain entier qui se compose d’un grand nombre de telles petites tables posées l’une sur l’autre, soit achevé c’est-à-dire, jusques à ce que touchant aux bords des autres grains voisins, il ne puisse devenir plus large.

  LES METEORES, DISCOURS CINQUIEME, Des nues.

au lieu qu’étant assemblées, encore que les gouttes d’eau ou les parcelles de glace qu’elles composent soient transparentes, toutefois à cause que chacune de leurs superficies fait réfléchir une partie des rayons qui donnent decontre, ainsi qu’il a été dit en la Dioptrique de toutes celles des corps transparents, ces superficies se trouvent aisément en assez grand nombre pour les faire tous ou presque tous réfléchir.

  LES METEORES, DISCOURS SIXIEME, DE LA NEIGE, DE LA PLUIE, ET DE LA GRELE.

Et parce que, lorsqu’ils sont un peu gros, la chaleur qu’ils ont au dedans continue encore de faire que leurs parties intérieures se resserrent et se condensent, en tirant toujours vers le centre, après que les extérieures sont tellement durcies et engelées par le froid qu’elles ne les peuvent suivre, il est nécessaire qu’ils se fendent en dedans, suivant des plans ou lignes droites qui tendent vers le centre, et que leurs fentes s’augmentant de plus en plus à mesure que le froid pénètre plus avant, enfin ils s’éclatent et se divisent en plusieurs pièces pointues qui sont autant de grains de grêle, Je ne détermine point en combien de tels grains chacun se peut diviser, mais il me semble que pour l’ordinaire ce doit être en huit pour le moins, et qu’ils se peuvent aussi peut-être diviser en douze ou vingt ou vingt-quatre, mais encore mieux en trente-deux, ou même en beaucoup plus grand nombre, selon qu’ils sont plus gros et d’une neige plus subtile, et que le froid qui les convertit en grêle est plus âpre et vient plus à coup.

Et je connus ceci d’autant plus clairement de ce que tout à la fin j’en rencontrai un ou deux qui avaient autour de soi plusieurs petits poils sans nombre, composés d’une neige plus pâle et plus subtile que celle des petites dents qui étaient autour des autres, en sorte qu’elle lui pouvait être comparée en même façon que la cendre non foulée dont se couvrent les charbons en se consumant, à celle qui est recuite et entassée dans le foyer.

Au lieu que les poils sans nombre que j’avais vus autour de quelques uns des derniers grains qui étaient tombés, n’avaient point du tout été atteints par cette chaleur.

Or, entre plusieurs milliers de ces petites étoiles que je considérai ce jour-là, quoique j’y prisse garde expressément, je n’en pus jamais remarquer aucune qui eût plus ou moins de six rayons, excepté un fort petit nombre de ces doubles qui en avaient douze, et quatre ou cinq autres qui en avaient huit.

Le matin suivant, il tomba des flocons de neige qui semblaient être composés d’un nombre infini de fort petites étoiles jointes ensemble :

et l’air devenant clair et serein tout aussitôt, je jugeai que cette grêle s’était formée de la plus haute partie des nues, dont la neige était fort subtile et composée de filets fort déliés, en la façon que j’ai tantôt décrite, Enfin, à trois jours de là, voyant tomber de la neige toute composée de petits noeuds ou pelotons environnés d’un grand nombre de poils entremêlés et qui n’avaient aucune forme d’étoile, je me confirmai en la créance de tout ce que j’avais imaginé touchant cette matière.

  LES METEORES, DISCOURS SEPTIEME, DES TEMPETES, DE LA FOUDRE ET DE TOUS LES AUTRES FEUX QUI S’ALLUMENT EN L’AIR.

Toutefois, j’ai ouï dire à nos mariniers qu’ils en voient quelquefois jusqu’au nombre de quatre ou de cinq, peut-être à cause que leurs vaisseaux sont plus grands et ont plus de mâts que ceux des anciens, ou qu’ils voyagent en des lieux où les exhalaisons sont plus fréquentes.

  LES METEORES, DISCOURS NEUVIEME , De la couleur des nues et des cercles ou couronnes qu’on voit quelquefois autour des astres.

et lorsque ces vapeurs sont en assez grand nombre, la matière subtile étant repoussée vers nous par les premières, en rencontre d’autres après qui font rouler et tournoyer ses petites parties, avant quelles parviennent à nous.

  L’HOMME.

et ont en cet endroit-là un grand nombre de petits trous, par où les plus subtiles parties du sang qu’elles contiennent se peuvent écouler dans cette glande, mais qui sont si étroits, qu’ils ne donnent aucun passage aux plus grossières.

Sachez donc, premièrement, qu’il y a un grand nombre de petits filets semblables à c, c, qui commencent tous à se séparer les uns des autres, dès la superficie intérieure de son cerveau, d’où ils prennent leur origine, et qui, s’allant de là épandre par tout le reste de son corps, y servent d’organe pour le sens de l’attouchement.

La courbure qui est en la partie de la première peau, marquée BCB, et la réfraction qui s’y fait, est cause que les rayons qui viennent des objets qui sont vers les côtés de l’oeil peuvent entrer par la prunelle, et ainsi que, sans que l’oeil se remue, l’âme pourra voir plus grand nombre d’objets, qu’elle ne pourrait faire sans cela :

Or il est bien évident que l’objet R doit agir plus fort contre la partie du nerf qui est à ce point S, lorsqu’il y envoie grand nombre de rayons que s’il n’y en envoyait qu’un seul ;

et par conséquent, que les autres, qui seront d’autant moindres en nombre que la prunelle sera plus petite, allant toucher le nerf en d’autres points, ne pourront manquer d’y apporter de la confusion ;

Clerselier fait remarquer que si on voit dans cette figure et dans quelques autres des chiffres et des lettres qui sembleraient n’y devoir pas être, vu que cela ne cadre point avec leur nombre ni avec la manière dont on les a désignés, on ne l’a fait que pour conserver au texte toute la fidélité qu’on lui devait, et pour ne pas altérer la pensée de l’auteur en accommodant le texte aux figures.

Enfin, pour le reste des choses que j’ai supposées, et qui ne peuvent être aperçues par aucun sens, elles sont toutes si simples et si communes, et même en si petit nombre, que si vous les comparez avec la diverse composition, et le merveilleux artifice, qui paraît en la structure des organes qui sont visibles, vous aurez bien plus de sujet de penser que j’en ai omis plusieurs qui sont en nous, que non pas que j’en aie supposé aucune qui n’y soit point.

  LE MONDE OU TRAITÉ DE LA LUMIERE, Chapitre III, De la dureté et la liquidité.

Je ne veux point déterminer si leur nombre est infini ou non ;

Mais, entre les parties de la flamme, s’il y en a de plus petites que dans l’air, il y en a aussi de plus grosses, ou du moins il y en a un plus grand nombre d’égales aux plus grosses de celles de l’air, qui avec cela se remuent beaucoup plus vite, et ce ne sont que ces dernières qui ont la puissance de brûler.

Qu’il y en ait, ou de plus grosses ou d’aussi grosses en plus grand nombre, on le voit clairement en ce que l’air seul ne suffit pas pour la nourrir.

  LE MONDE OU TRAITÉ DE LA LUMIERE, CHAPITRE VI, Description d’un nouveau monde ; et des qualités de la matière dont il est composé.

Mais ils ne doivent pas aussi trouver étrange si je suppose que la quantité de la matière que j’ai décrite ne diffère non plus de sa substance que le nombre fait des choses nombrées, et si je conçois son étendue ou la propriété qu’elle a d’occuper de l’espace non point comme un accident, mais comme sa vraie forme et son essence, car ils ne sauraient nier qu’elle ne soit très facile à concevoir en cette sorte.

  LE MONDE OU TRAITÉ DE LA LUMIERE, CHAPITRE VII, Des lois de la nature de ce nouveau monde.

ces vérités, dis-je, suivant lesquelles Dieu même nous a enseigné qu’il avait disposé toutes choses en nombre, en poids et en mesure ;

  LE MONDE OU TRAITÉ DE LA LUMIERE, CHAPITRE IX, De l’origine et du cours des planètes et des comètes en général, et en particulier des comètes.

Or, premièrement, touchant ces comètes, il faut remarquer qu’il y en doit avoir peu en ce nouveau monde à comparaison du nombre des cieux.

  LE MONDE OU TRAITÉ DE LA LUMIERE, CHAPITRE X, Des planètes en général, et en particulier de la terre et de la lune.

Je n’ajoute point ici comment il se peut rencontrer un plus grand nombre de planètes jointes ensemble, et qui prennent leur cours l’une autour de l’autre, comme celles que les nouveaux astronomes ont observées autour de Jupiter et de Saturne, car je n’ai pas entrepris de dire tout ;

  LE MONDE OU TRAITÉ DE LA LUMIERE, CHAPITRE XIV, Des propriétés de la Lumière.

mais parce que toutes celles du grand ciel, qui sont depuis S jusques à D, les fortifient, celles qui sont depuis D jusques à T, n’étant à comparaison qu’en petit nombre, ne leur peuvent ôter que peu de leur force ;

et ainsi, jugeant des autres à proportion, vous pouvez entendre que ces étoiles ne doivent pas paraître moins confusément arrangées, ni moindres en nombre, ni moins inégales entre elles, que font celles que nous voyons dans le vrai monde.

Considérez aussi, touchant le nombre de ces étoiles, que souvent une même peut paraître en divers lieux, à cause des diverses superficies qui détournent ses rayons vers la terre ;

  MEDITATIONS METAPHYSIQUES, Première Méditation.

ensemble la figure des choses étendues, leur quantité ou grandeur, et leur nombre ;

Car, soit que je veille ou que je dorme, deux et trois joints ensemble formeront toujours le nombre de cinq, et le carré n’aura jamais plus de quatre côtés ;

Et même, comme je juge quelquefois que les autres se trompent dans les choses qu’ils pensent le mieux savoir, que sais-je qu’il n’a point fait que je me trompe aussi toutes les fois que je fais l’addition de deux et de trois, ou que je nombre les côtés d’un carré, ou que je juge de quelque chose encore plus facile, si l’on se peut imaginer rien de plus facile que cela ?

  MEDITATIONS METAPHYSIQUES, Méditation Troisième.

Mais lorsque je considérais quelque chose de fort simple et de fort facile touchant l’arithmétique et la géométrie, par exemple que deux et trois joints ensemble produisent le nombre de cinq, et autres choses semblables, ne les concevais-je pas au moins assez clairement pour assurer qu’elles étaient vraies ?

auxquelles on peut ajouter la substance, la durée, et le nombre.

Quant aux idées claires et distinctes que j’ai des choses corporelles, il y en a quelques-unes qu’il semble que j’ai pu tirer de l’idée que j’ai de moi-même, comme celle que j’ai de la substance, de la durée, du nombre, et d’autres choses semblables.

De même, quand je pense que je suis maintenant, et que je me ressouviens outre cela d’avoir été autrefois, et que je conçois plusieurs diverses pensées dont je connais le nombre, alors j’acquiers en moi les idées de la durée et du nombre, lesquelles, par après, je puis transférer à toutes les autres choses que je voudrai.

  MEDITATIONS METAPHYSIQUES, Méditation Cinquième.

mais aussi, pour peu que j’y applique mon attention, je viens à connaître une infinité de particularités touchant les nombres, les figures, les mouvements, et autres choses semblables, dont la vérité se fait paraître avec tant d’évidence et s’accorde si bien avec ma nature, que lorsque je commence à les découvrir, il ne me semble pas que j’apprenne rien de nouveau, mais plutôt que je me ressouviens de ce que je savais déjà auparavant, c’est-à-dire que j’aperçois des choses qui étaient déjà dans mon esprit, quoique je n’eusse pas encore tourné ma pensée vers elles.

Et je me ressouviens que, lors même que j’étais encore fortement attaché aux objets des sens, j’avais tenu au nombre des plus constantes vérités celles que je concevais clairement et distinctement touchant les figures, les nombres, et les autres choses qui appartiennent à l’arithmétique et à la géométrie.

Il est certain que je ne trouve pas moins en moi son idée, c’est-à-dire l’idée d’un être souverainement parfait, que celle de quelque figure ou de quelque nombre que ce soit :

et je ne connais pas moins clairement et distinctement qu’une actuelle et éternelle existence appartient à sa nature, que je connais que tout ce que je puis démontrer de quelque figure ou de quelque nombre, appartient véritablement à la nature de cette figure ou de ce nombre ;

et partant, encore que tout ce que j’ai conclu dans les Méditations précédentes, ne se trouvât point véritable, l’existence de Dieu devrait passer en mon esprit au moins pour aussi certaine, que j’ai estimé jusques ici toutes les vérités des mathématiques, qui ne regardent que les nombres et les figures :

Mais quand j’examine quelles figures sont capables d’être inscrites dans le cercle, il n’est en aucune façon nécessaire que je pense que toutes les figures de quatre côtés sont de ce nombre ;

  MEDITATIONS METAPHYSIQUES, REPONSES DE L’AUTEUR AUX PREMIERES OBJECTIONS.

Car, comme répond fort bien ce subtil théologien, une chose peut être limitée en deux façons, ou parce que celui qui l’a produite ne lui a pas donné plus de perfections, ou parce que sa nature est telle qu’elle n’en peut recevoir qu’un certain nombre, comme il est de la nature du triangle de n’avoir pas plus de trois côtés.

Mais les choses auxquelles sous quelque considération seulement je ne vois point de fin, comme l’étendue des espaces imaginaires, la multitude des nombres, la divisibilité des parties de la quantité et autres choses semblables, je les appelle indéfinies, et non pas infinies, parce que de toutes parts elles ne sont pas sans fin ni sans limites.

  MEDITATIONS METAPHYSIQUES, REPONSES DE L’AUTEUR AUX SECONDES OBJECTIONS.

Car je veux bien ici avouer franchement que l’idée que nous avons, par exemple, de l’entendement divin ne me semble point différer de celle que nous avons de notre propre entendement, sinon seulement comme l’idée d’un nombre infini diffère de l’idée du nombre binaire ou du ternaire ;

comme aussi nous connaissons que de plusieurs choses particulières qui n’ont point de fin, dont nous avons les idées, comme d’une connaissance sans fin, d’une puissance, d’un nombre, d’une longueur, etc.

, qui sont aussi sans fin, il y en a quelques-unes qui sont contenues formellement dans l’idée que nous avons de Dieu, comme la connaissance et la puissance, et d’autres qui n’y sont qu’éminemment, comme le nombre et la longueur ;

par exemple, de cela seul que j’aperçois que je ne puis jamais, en nombrant, arriver au plus grand de tous les nombres, et que de là je connais qu’il y a quelque chose en matière de nombrer qui surpasse mes forces, je puis conclure nécessairement, non pas à la vérité qu’un nombre infini existe, ni aussi que son existence implique contradiction, comme vous dites ;

mais que cette puissance que j’ai de comprendre qu’il y a toujours quelque chose de plus à concevoir dans le plus grand des nombres que je ne puis jamais concevoir, ne me vient pas de moi-même, et que je l’ai reçue de quelque autre être qui est plus parfait que je ne suis.

Et il importe fort peu qu’on donne le nom d’idée à ce concept d’un nombre indéfini, ou qu’on ne le lui donne pas.

Mais, pour entendre quel est cet être plus parfait que je ne suis, et si ce n’est point ce même nombre dont je ne puis trouver la fin, qui est réellement existant et infini, ou bien si c’est quelque autre chose, il faut considérer toutes les autres perfections, lesquelles, outre la puissance de me donner cette idée, peuvent être en la même chose en qui est cette puissance ;

et partant, afin que nous puissions assurer que nous connaissons assez la nature de Dieu pour savoir qu’il n’y a point de répugnance qu’elle existe, il suffit que nous entendions clairement et distinctement toutes les choses Que nous apercevons être en elle, quoique ces choses ne soient qu’en petit nombre, au regard de celles que nous n’apercevons pas, bien qu’elles soient aussi en elle ;

  MEDITATIONS METAPHYSIQUES, REPONSES DE L’AUTEUR AUX SECONDES OBJECTIONS, Demandes.

et il ne leur sera pas moins clair et évident, sans autre preuve, qu’il est manifeste que deux est un nombre pair, et que trois est un nombre impair, et choses semblables.

  MEDITATIONS METAPHYSIQUES, TROISIÈMES OBJECTIONS, OBJECTION Vème, REPONSE.

en sorte que, lorsque je veux et que je crains, parce que je conçois en même temps que je veux et que je crains, ce vouloir et cette crainte sont mis par moi au nombre des idées ;

  MEDITATIONS METAPHYSIQUES, TROISIÈMES OBJECTIONS, OBJECTION Xe.

C’est pourquoi, dire que Dieu est indépendant, ce n’est rien dire autre chose, sinon que Dieu est du nombre des choses dont je ne puis imaginer l’origine ;

tout ainsi que, dire que Dieu est infini, c’est de même que si nous disions qu’il est du nombre des choses dont nous ne concevons point les limites.

  MEDITATIONS METAPHYSIQUES, REPONSES DE L’AUTEUR AUX QUATRIEMES OBJECTIONS, REPONSE A L’AUTRE PARTIE, DE DIEU.

Mais pour y répondre pertinemment, j’estime qu’il est nécessaire de montrer qu’entre la cause efficiente proprement dite, et point de cause, il y a quelque chose qui tient comme le milieu, à savoir, l’essence positive d’une chose, à laquelle l’idée ou le concept de la cause efficiente se peut étendre en la même façon que nous avons coutume d’étendre en géométrie le concept d’une ligne circulaire, la plus grande qu’on puisse imaginer, au concept d’une ligne droite, ou le concept d’un polygone rectiligne, qui a un nombre indéfini de côtés, au concept du cercle.

si je pensais que la sphère ne pût être prise pour une figure rectiligne, ou quasi rectiligne, dont les côtés sont infinis, je n’attribuerais aucune force à cette démonstration, parce qu’elle n’est pas véritable, si vous considérez la sphère comme une figure curviligne, ainsi qu’elle est en effet, mais bien si vous la considérez comme une figure rectiligne dont le nombre des côtés est infini).

  MEDITATIONS METAPHYSIQUES, RÉPONSES AUX CINQUIEMES OBJECTIONS.

mais comme si vous étiez du nombre de ces hommes de chair dont vous empruntez le visage, je vous adresserai seulement la réponse que je leur voudrais faire.

  LES PRINCIPES DE LA PHILOSOPHIE, LETTRE DE L’AUTEUR A CELUI QUI A TRADUIT LE LIVRE, LAQUELLE PEUT SERVIR ICI DE PREFACE.

et ceux qui ne l’ont pas suivi, du nombre desquels ont été plusieurs des meilleurs esprits, n’ont pas laissé d’avoir été imbus de ses opinions en leur jeunesse, parce que ce sont les seules qu’on enseigne dans les écoles, ce qui les a tellement préoccupés qu’ils n’ont pu parvenir à la connaissance des vrais principes.

  LES PRINCIPES DE LA PHILOSOPHIE, PREMIERE PARTIE, Art. 13.

Par exemple, elle a en soi les idées des nombres et des figures, elle a aussi entre ses communes notions, “   que,si on ajoute des quantités égales à d’autres quantités égales, les tous seront égaux “  , et beaucoup d’autres aussi évidentes que celle-ci, par lesquelles il est aisé de démontrer que les trois angles d’un triangle sont égaux à deux droits, etc.

  LES PRINCIPES DE LA PHILOSOPHIE, PREMIERE PARTIE, Art. 26.

c’est pourquoi nous ne nous soucierons pas de répondre à ceux qui demandent si la moitié d’une ligne infinie est infinie, et si le nombre infini est pair ou non pair, et autres choses semblables, à cause qu’il n’y a que ceux qui s’imaginent que leur esprit est infini qui semblent devoir examiner telles difficultés.

et parce qu’on ne saurait diviser un corps en des parties si petites que chacune de ses parties ne puisse être divisée en d’autres plus petites, nous penserons que la quantité peut être divisée en des parties dont le nombre est indéfini ;

et parce que nous ne saurions imaginer tant d’étoiles que Dieu n’en puisse créer davantage, nous supposerons que leur nombre est indéfini, et ainsi du reste.

  LES PRINCIPES DE LA PHILOSOPHIE, PREMIERE PARTIE, Art. 48.

Touchant les choses, nous avons premièrement certaines notions générales qui se peuvent rapporter à toutes, à savoir celles que nous avons de la substance, de la durée, de l’ordre et du nombre, et peut-être aussi quelques autres.

  LES PRINCIPES DE LA PHILOSOPHIE, PREMIERE PARTIE, Art. 49.

tout de même quand on dit qu’il est impossible qu’une même chose soit et ne soit pas en même temps, que ce qui a été fait ne peut n’être pas fait, que celui qui pense ne peut manquer d’être ou d’exister pendant qu’il pense et quantité d’autres semblables, ce sont seulement des vérités,