algèbre linéaire et géométries
Publié le 18/11/2011
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La géométrie, entre autres, est morte en tant que branche autonome; elle n'est plus que l'étude de structures algébrico-topologiques particulièrement intéressantes, écrit le professeur A. Lichnerowicz (Piaget, Logique et connaissance scientifique, Encyclopédie de la Pléiade). L'intérêt particulier de ces structures justifie que nous leur consacrions quelques pages. Dans un autre fascicule, nous avons donné quelques éléments de la théorie générale des ensembles et des structures et quelques aperçus sur les méthodes principales de l'Algèbre. Nous sommes donc en mesure de les appliquer à des ensembles particuliers.
«
les voisinages.
Mais nous pouvons considérer un ensemble d'un autre point de vue : aller de A à B, ce n'est pas la même chose que d'aller de B à A ni en général que d'aller de A à C .
C ' est de cette remarque que, d'abstrac tion en abstraction, est née la notion d'espace
vectoriel.
Définition
Soit un premier ensemble K, dont nous appelons les éléments scalaires, ayant la structure de corps commutatif, c'est-à-dire doté de deux opérations + et x avec chacune desquelles il a la structure de groupe commu tatif, ce qui implique que chacune est :
associative cx1 + (cx2 + cx3 ) = (cx1 + cx2) + CXl X ( CX~ X CX3) ( CXl X CX2) X CX3
à élément neutre ex + 0 0 + ex ex (X x 1 1 x (X (X
commutative cx1 + cx2 = cx2 + cx1 CXl X CX2 = CX2 X CX!
Tout élément de K possède un opposé noté - ex tel que :
ex + (- ex) = 0
Tout élément de K sauf 0 possède un inverse
1 noté -tel que : (X 1 (X x = 1 (X
Enfin K possède la structure d'anneau par la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition
(X (~1 + ~2) = (X ~1 + (X ~2 = ~JO( + ~2 (X = (~1 + ~2) (X
Soit un deuxième ensemble E, dont nous appelons les éléments vecteurs ou points ayant la structure de groupe additif d'élément neutre e.
Soit enfin une application de K x E dans E notée multiplicativement et telle que :
ex (~x) = (ex~) x ex (Xl + X2) = ex X1 + ex X2 (ex + ~) x = ex x + ~ x 1 0 x =x
On dit qu'on a donné à E une structure d'espace vectoriel sur K.
Pour tout scalaire et pour tout vecteur on a:
Ox = cxe = e
ce
qui amène tout naturellement à noter l'élément neutre de l'addition vectorielle et l'élément neutre de l'addition des scalaires
de la même façon O.
De même, pour tout x e E le vecteur (- 1) x est l'unique vecteur opposé et on écrira: (-1) x =-x
Pratiquement nous nous restreindrons aux espaces vectoriels sur le corps des nombres réels R, ce qui introduit quelques conditions complémentaires :
R est en effet un corps intègre :
CXl X CX2 = Ü ==> CXl = Ü OU CX2 = Ü
ordonné
ex < ~ et ~ < y ==> cx - cx = ~
pour deux éléments quelconques on a :
()( -.
»
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