La géométrie fractale (Sciences & Techniques)

« La courbe de Koch Les fractales à homothétie interne - transformation géométrique telle que la figure finale est une réduction ou un agrandissementde la figure initiale, et qui peut être renversée par rapport à la figure de départ - sont particulières : chacun de leurs composantsest une reproduction de la figure globale.

Ainsi, quelle que soit l'échelle considérée, l'objet présente à peu près la même structureet le même aspect.

On dit qu'il y a invariance d'échelle ou similitude interne.

La construction de ce type de fractales suitgénéralement un algorithme (succession de règles opératoires mathématiques) simple. La courbe de Helge von Koch, dite "flocon de neige", a été créée en 1904.

Il s'agit d'une fractale à homothétie interne.

Pour latracer, il suffit de reproduire un grand nombre de fois le motif de départ, à savoir un triangle équilatéral, en réduisant sa taille(fractionnement).

La figure obtenue présente une dimension strictement comprise entre 1 et 2.

Elle a un périmètre infini, égal à 3 a (4/3) n , n étant le nombre de triangles (théoriquement infini) et a la longueur du côté du triangle de départ.

Cependant, l'aire de la courbe de Koch est, elle, finie et vaut 8/5 A , A étant l'aire du triangle de départ.

La dimension fractale de la courbe est : D = log 4/log 3 = 1,26.

On remarque que cette valeur est strictement comprise entre 1 et 2. Applications de la géométrie fractale La géométrie fractale n'est pas qu'une simple théorie.

On s'en sert pour modéliser, à l'aide de programmes informatiques, ungrand nombre de systèmes réels, comme un réseau hydrographique - ensemble des cours d'eau d'une région.

La notion defractale est également appliquée à la chimie des solides et des interfaces.

Elle permet d'interpréter toute une classe decomportements dynamiques - c'est-à-dire qui évoluent au cours du temps - qui n'avaient pas pu être expliqués jusque-là,notamment certains phénomènes microscopiques qui se produisent lors de la soudure de deux pièces métalliques. Le corps humain contient une multitude de structures fractales, qui sont généralement à similitude interne, tels les réseaux sanguinsou les voies respiratoires, avec leurs nombreux embranchements.

Toutes ces structures ont été élaborées lors du développementde l'embryon humain, qui a fait intervenir des processus lents présentant un caractère chaotique déterministe - c'est-à-dire suivantun désordre apparent -, comme la plupart des phénomènes conduisant à des objets fractals.

La fractale de l'organisme humainque les spécialistes étudient le plus souvent est le système de tubules qui transportent les gaz entrant et sortant des poumons.Certaines parties du coeur présentent également une structure fractale.

Ainsi, la physiologie pourrait vraisemblablement être undomaine privilégié de l'application de la géométrie fractale (et de la théorie du chaos déterministe).

Les physiologistes cherchent àexpliquer comment les processus du développement aboutissent à des structures fractales dans l'organisme. Enfin, les fractales, dont certaines présentent un aspect esthétique indéniable, sont utilisées notamment en infographie.

Elles sontpar exemple employées pour charger des images fixes et des vidéos dans un ordinateur, qui peut alors stocker une multituded'images au moyen d'un petit nombre de données (compression d'images).. »