Les probabilités (Sciences & Techniques)

« face soit gagnant ; un cas sur deux est gagnant, l'autre est perdant : la cote est de 1 contre 1.

Lançons maintenant un dé etsupposons que lorsque le 6 est obtenu, on gagne un lot.

Parmi les six cas possibles, un seul est gagnant (correspondant au 6), lescinq autres étant perdants : la cote du 6 est donc de 5 contre 1.

Revenons aux pièces, mais lançons cette fois deux piècessimultanément. - événement A : "les deux pièces tombent sur le côté face" ; - événement B : "les deux pièces tombent sur le côté pile" ; - événement C : "les deux pièces tombent sur des faces différentes". On pourrait penser que la probabilité d'obtenir chaque événement est égale à 1/3 (environ 33%).

Mais l'expérience montre quepour 100 lancers, l'événement A et l'événement B se produisent chacun 25 fois, et que l'événement C se produit 50 fois. Considérons deux pièces différenciables : l'une blanche, l'autre jaune.

On peut observer quatre événements différents : - D : "les deux pièces tombent sur le côté face" ; - E : "la pièce blanche tombe sur le côté face et la pièce jaune sur le côté pile" ; - F : "la pièce blanche tombe sur le côté pile et la pièce jaune sur le côté face" ; - G : "les deux pièces tombent sur le côté pile". On constate que les événements E et F seraient confondus si les deux pièces étaient identiques (cas d'étude précédent), c'est ce qui explique que la probabilité de l'événement "les deux pièces tombent sur deux faces différentes" (situation C dans le cas précédent) soit alors deux fois plus importante que celles des événements A et B rencontrés précédemment. On se propose à présent de déterminer la probabilité, en lançant deux dés, d'obtenir un total de 7.

Calculons d'abord le nombrede combinaisons possibles de deux chiffres choisis parmi six.

Considérons que l'on a obtenu 1 avec le premier dé.

Sur le seconddé, on peut obtenir 6 chiffres différents (de 1 à 6), soit 6 combinaisons possibles avec le premier dé.

Comme le premier dé peutmarquer 6 chiffres possibles, le nombre de cas possibles est donc 6x6, soit 36.

Les cas favorables à l'événement considéré sontles combinaisons suivantes pour les deux chiffres apparaissant sur les deux dés : 1 - 6 ; 2 - 5 ; 3 - 4 ; 4 - 3 ; 5 - 2 et 6 - 1.

Lenombre de cas favorables est donc égal à 6.

Ainsi, la probabilité d'obtenir un total de 7 avec les deux dés est de 6/36, ou 1/6.

Demême, on pourrait montrer que la probabilité d'obtenir un double 6 avec les deux dés est de 1/36.

Comme 1/36 est très petitdevant 1/6, on a beaucoup plus de chances d'obtenir un total de 7 qu'un double 6 (ou qu'un double chiffre plus généralement). Événements indépendants • Calcul par dénombrement Au Monopoly, jeu qui se joue avec deux dés, la règle stipule qu'il est "interdit" d'obtenir les mêmes chiffres sur les deux dés pourtrois lancers successifs.

On cherche la probabilité d'un tel événement.

Pour obtenir trois fois de suite deux chiffres identiques pourtrois lancers, il faut obtenir déjà deux chiffres identiques pour les deux premiers lancers, puis deux chiffres identiques pour letroisième lancer.

Pour chaque lancer de dés, on sait qu'il y a six façons d'obtenir deux chiffres identiques : deux as, deux 2, etc.Pour le premier lancer, il existe donc 6 configurations possibles.

Pour les deux autres lancers, on se trouve dans la mêmesituation.

Finalement, pour les trois lancers successifs, on a 6x6x6, soit 216 façons d'obtenir deux chiffres identiques à chaquelancer, les événements correspondants étant indépendants. Comme pour chacun des lancers, il y a 36 configurations possibles (combinaisons des deux chiffres), le nombre de configurationspossibles pour les trois lancers est de : 36 x 36 x 36 = 46 656. Il en découle que la probabilité d'enchaîner trois doubles est : 6 x 6 x 6 1------------ = ---, 36 x 36 x 36 216 soit environ 0,4%.. »