La mathématique se confond avec son histoire.

Les mathématiques sont un devenir. Tout ce que nous pouvons faire, c'est essayer d'en comprendre l'histoire, c'est-à-dire, pour situer les mathématiques parmi d'autres activités intellectuelles, de trouver certaines caractéristiques de ce dernier. J'en citerai deux : 1° Ce devenir est autonome, c'est-à-dire que, s'il est impossible de se placer hors de lui, on peut, en étudiant le développement historique, contingent, des mathématiques, tel qu'il se présente à nous, apercevoir des nécessités sous l'enchaînement des notions et des procédés. Ici, évidemment, le mot « nécessité « ne peut pas être précisé d'une autre façon. On note des problèmes, et on s'aperçoit que ces problèmes exigeaient l'apparition d'une nouvelle notion ; c'est tout ce qu'on peut faire, et il est certain que cet emploi du mot e exiger « nous est trop facile, puisque nous sommes de l'autre côté, nous voyons les réussites. Nous pouvons pourtant dire que les notions qui sont apparues ont vraiment apporté une solution à des problèmes qui se posaient effectivement. Je crois qu'il est possible, sous la contingence pittoresque de l'enchaînement des théories, de se livrer à ce travail. J'ai essayé, pour ma part, de le faire pour la théorie des Ensembles ; je ne prétends pas avoir réussi, mais justement, dans le développement de cette théorie qui semblerait pourtant l'exemple même d'une théorie géniale, faite à coup d'inventions radicalement imprévisibles, il m'a semblé apercevoir une nécessité interne : ce sont certains problèmes d'analyse qui ont donné naissance aux notions essentielles, et ont engendré certains procédés devinés déjà par Bolzano ou Lejeune-Dirichlet et devenus les procédés fondamentaux mis au point par Cantor. Autonomie, donc nécessité. 2° Ce devenir se développe comme un devenir véritable, c'est-à-dire qu'il est imprévisible. Il n'est peut-être pas imprévisible pour les intuitions du mathématicien en pleine activité qui devine de quel côté il faut chercher, mais il est imprévisible originairement, d'une façon authentique. C'est ce que l'on pourrait appeler la dialectique fondamentale des mathématiques : si les nouvelles notions apparaissent comme nécessitées par les problèmes posés, cette nouveauté même est vraiment une nouveauté complète. C'est-à-dire qu'on ne peut pas, par une simple analyse des notions déjà employées, trouver à l'intérieur d'elles de nouvelles notions : les généralisations, par exemple, qui ont engendré de nouveaux procédés. JEAN CAVAILLÈS.