Oral de Mathématique :Peut-on vraiment devenir riche en jouant seulement à la roulette ?

« Oral de Mathématique : Bonjour (...), je m’appelle Marwane Wahbi, et aujourd’hui je vais vous parler d’un sujet qui mêle hasard, mathématiques… et argent.

La quest je me suis pion queoser est simple : Peut-on vraiment devenir riche en jouant seulement à la roulette ? À première vue, on se dit qu’il suffit de tomber sur la bonne case, d’avoir de la chance, et le tour est joué.

Mais si la chance n’était qu’une illusion ? Et si les mathématiques nous montraient que tout est déjà perdu d’avance ? Pour répondre à cette question, je vais m’appuyer sur plusieurs notions du programme de terminale tel que : l’espérance, la variance, les probabilités, et la loi des grands nombres. Afin de traiter cette question : On va d’abord voire comment fonctionne la roulette et les règles de base ; Ensuite, on analysera deux types de mises à travers des calculs ; Puis on verra que plusieurs stratégies ont été inventées pour “battre le système” — et pourquoi elles échouent ; Enfin, on conclura sur ce que nous apprennent les mathématiques à propos des jeux de hasard. Partie 1 – Comment fonctionne la roulette ? (≈3 min) : Avant de rentrer dans les calculs et les stratégies, il est important de bien comprendre comment fonctionne la roulette, car tout repose sur un mécanisme simple… mais trompeur.

La roulette européenne, qu’on trouve dans la plupart des casinos, est un jeu de hasard qui comporte 37 cases : • Les numéros de 1 à 36, avec 18 cases rouges et 18 noires, • Et une case verte, le zéro, qui donne l’avantage au casino. Le principe est simple : Une bille est lancée dans un cylindre qui tourne, et le but est de deviner sur quelle case la bille va s’arrêter. Les joueurs peuvent faire plusieurs types de mises.

Voici les principales : La mise en plein : C’est le pari le plus risqué, mais aussi celui qui rapporte le plus.

Le joueur mise sur un seul numéro précis : • Si la bille tombe dessus, il remporte 35 fois sa mise (plus sa mise initiale, soit 36 au total). • Mais il n’a qu’une chance sur 37 de gagner. Par exemple, si je mise 1 € sur le numéro 7 et que je gagne, je repars avec 36 €. Sinon, je perds 1 €. La mise sur une couleur : Ici, on mise sur rouge ou noir, donc sur 18 cases sur 37.

C’est le pari le plus classique, car il donne l’impression d’avoir presque 50 % de chances de gagner : • Si la bille tombe sur la bonne couleur, je double ma mise. • Si elle tombe sur l’autre couleur, ou sur le 0, je perds tout. Par exemple, je mise 1 € sur le rouge.

Si la bille tombe sur rouge, je gagne 1 €.

Si elle tombe sur noir ou sur 0, je perds. Autres types de paris : Il existe aussi : • Les paris sur pair/impair, • Les paris sur les douzaines (1 à 12, 13 à 24, 25 à 36), • Les colonnes, • Ou encore sur les tiers (tiers du cylindre, voisins du zéro, etc.). Mais tous ces paris fonctionnent selon le même principe : les probabilités sont calculées, les gains sont fixés, et la case verte (le zéro) déséquilibre toujours le jeu en faveur du casino.

Même les mises qui semblent les plus sûres sont conçues pour laisser un avantage au casino.

Et c’est ce que nous allons démontrer maintenant avec les mathématiques. Partie 2 – Analyse des mises : espérance & variance (≈3 min) : (Cas d’une mise en plein) Il serait intéressant de savoir si le jeu est rentable ou non pour le joueur, on va donc calculer l'espérance de gain, c'est-à-dire le gain moyen que l'on espère recevoir d'un jeu au bout d'un grand nombre de tirages.

Si E(x) = 0 le jeu est dit équitable, si E(x) > 0 le jeu et dit favorable (au joueur) et si E(x) < 0 le jeu et dit défavorable (au joueur).

Celle-ci va dépendre directement de ce que le casino consent à vous payer pour chaque type de pari gagné, dans le cas d'une mise en plein, un tirage gagnant rapporte 35€. Nous allons donc prendre l'exemple du pari sur un seul chiffre avec une mise à 1€ pour chaque pari. X +35 -1 P 1/37 36/37 J'ai donc posé le problème sous forme d'un tableau que je vous ai fait, il s'agit du document 1. J'ai posé la variable aléatoire X qui définit le gain pour chaque situation.

Je m'explique, si on tombe sur le chiffre sur lequel on a parié, on gagnera 35 euros (en plus de l'euro qu'on aura parié) donc on remplacera X par la valeur 35 sachant que la probabilité d'obtenir ce cas est de 1/37, étant donné que nous jouons sur une roulette européenne nous avons 37 résultats possibles lorsqu'on lance la bille.

Nous voulons tomber sur 1 chiffre précis parmi les 37 donc p = 1/37 = 0,027 (arrondi à 10 ) soit 2,7 % de chance.

De la même manière, si on tombe sur n'importe quel autre chiffre autre que celui sur lequel on a parié, on perdra 1 euro (qui correspond à l'euro qu'on a parié) donc on remplacera X par la valeur -1 sachant que la probabilité d'obtenir ce cas est de 36/37.

Ainsi à partir de ce tableau nous allons pouvoir calculer l'espérance de.... »