Cours de mathématiques Classe de première S Olivier Péault 26 juin 2008 Table des matières 1 Généralités sur les fonctions 1/ Opérations sur les fonctions .

Cours de mathématiques Classe de première S Olivier Péault 26 juin 2008 Table des matières 1 Généralités sur les fonctions 1/ Opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2/ Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3/ Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 5 6 2 Polynômes du second degré 1/ Généralités sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2/ Polynômes du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8 9 3 Dérivation des fonctions 13 1/ Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2/ Calculs de dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3/ Applications de la dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 Limites 1/ Limites d’une fonction en l’in?ni . 2/ Limite d’une fonction en un point . 3/ Asymptotes obliques . . . . . . . . 4/ Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 20 21 22 23 5 Vecteurs de l’espace 1/ Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2/ Vecteurs de l’espace . . . . . . . . . . . . . 3/ Caractérisation vectorielle du parallélisme . 4/ Repérage dans l’espace . . . . . . . . . . . . 5/ Repère orthonormal, distance dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 25 28 30 31 33 . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Barycentres 35 1/ Barycentre de deux points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2/ Barycentre de trois points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3/ Barycentre d’un nombre quelconque de points . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 7 Produit scalaire 1/ Dé?nition . . . . . . . . . . . 2/ Autres expressions du produit 3/ Règles de calcul . . . . . . . . 4/ Vecteurs orthogonaux . . . . 8 Applications du 1/ Équations de 2/ Équations de 3/ Longueurs et . . . . . scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 42 42 44 45 produit scalaire 46 droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 angles dans un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 9 Angles orientés 50 1/ Dé?nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2/ Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 10 Trigonométrie 52 1/ Lignes trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2/ Résolution d’équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3/ Repérage polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 11 Suites numériques 1/ Généralités . . . . . 2/ Sens de variation . . 3/ Limites . . . . . . . 4/ Suites arithmétiques 5/ Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 56 57 58 60 61 12 Probabilités 1/ Introduction . . . . . . . . . . . . . 2/ Vocabulaire des évènements . . . . 3/ Calcul des probabilités . . . . . . . 4/ Paramètres d’une loi de probabilité 5/ Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 64 65 66 67 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Transformations du plan et de 1/ Généralités . . . . . . . . . . 2/ Propriétés . . . . . . . . . . . 3/ Images des ?gures usuelles . . . . . . . . . . . . l’espace 70 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 14 Statistiques 1/ Généralités . . . . . . . . . . . . . . 2/ Paramètres de position . . . . . . . . 3/ Paramètres de dispersion . . . . . . 4/ In?uence d’une transformation a?ne 5/ Résumé d’une série statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 75 76 78 80 80 Chapitre 1 Généralités sur les fonctions 1/ Opérations sur les fonctions a) Égalité de deux fonctions Définition Soient u et v deux fonctions. On dit que u et v sont égales et on note u = v si : – u et v ont le même ensemble de dé?nition D. – Pour tout x ∈ D, u(x) = v(x). Exemple : Les fonctions u et v sont-elles égales ? 2 3x + 1 1/ u et v sont définies par u(x) = 3 − et v(x) = x+1 x+1 x2 2/ u et v sont définies par u(x) = x et v(x) = x 1/ u et v ont le même ensemble de définition : R\{−1} Pour tout x ∈ R\{−1}, u(x) = 3 − 3(x + 1) − 2 3x + 1 2 = = = v(x) x+1 x+1 x+1 donc u = v. 2/ u est définie sur R et v est définie sur R∗ donc u 6= v. b) Opérations sur les fonctions Définition Soient u et v deux fonctions dé?nies sur D et λ un réel. – On dé?nit les fonctions u + v, uv, λu, u + λ de la façon suivante : (u + v)(x) = u(x) + v(x) (uv)(x) = u(x) × v(x) (λu)(x) = λ × u(x) (u + λ)(x) = u(x) + λ u – Si, pour tout x ∈ D, v(x) 6= 0 alors on peut dé?nir la fonction par : v   u(x) u (x) = v v(x) Exemple : Soit u et v les fonctions définies sur R par u(x) = x2 et v(x) = x + 3. Déterminer u + v, uv, u 2u, u + 2 et . v – Pour tout réel x, (u + v)(x) = x2 + x + 3 ; (uv)(x) = x2 (x + 3) = x3 + 3x2 ; (2u)(x) = 2x2 et (u + 2)(x) = x2 + 2   u x2 – Pour tout réel x 6= −3, (x) = v x+3 5 Généralités sur les fonctions c) Composition de fonctions Définition Soit u une fonction dé?nie sur Du et v une fonction dé?nie sur Dv et telle que pour tout x ∈ Dv , v(x) ∈ Du . On appelle fonction composée de v par u la fonction notée u ? v et dé?nie sur Dv par : Pour tout x ∈ Dv , u ? v(x) = u(v(x)) / Du Dv  x _ v / v(x)  /R u / u(v(x)) O u?v Remarque : Il faut faire attention à l’ordre des fonctions. u ? v et v ? u sont en général des fonctions di?érentes. Il se peut qu’elles aient des ensembles de dé?nition di?érents voire que l’une existe mais pas l’autre. Exemple : Soit f la fonction définie sur [0; +∞[ par f (x) = √ x − 1 et g la fonction définie sur R par g(x) = x2 + 3. Définir g ? f et f ? g. Sont-elles égales ? √ √ 2 – g ? f est définie sur [0; +∞[ par g ? f (x) = g(f (x)) √ = ( x − 1) + 3 = x − 2 x + 4 – f ? g est définie sur R par f ? g(x) = f (g(x)) = x2 + 3 − 1 – g ? f et f ? g ne sont pas égales car elles n’ont pas le même ensemble de définition. On peut ausi remarquer que g ? f (0) 6= f ? g(0) 2/ Sens de variation a) Sens de variation de la fonction u + λ Propriété Soit u une fonction dé?ne sur un intervalle I et λ un réel. Si u est monotone sur I alors u et u + λ ont même sens de variation sur I. Démonstration Cas où u est croissante Soient a et b deux réels de I. a 6 b =⇒ u(a) 6 u(b) car u est croissante sur I. =⇒ u(a) + λ 6 u(b) + λ La fonction u + λ est croissante sur I. b) Sens de variation de la fonction λu Propriété Soit u une fonction dé?ne et monotone sur un intervalle I et λ un réel. – Si λ > 0 alors les fonctions u et λu ont même sens de variation sur I. – Si λ < 0 alors les fonctions u et λu ont des sens de variation contraires sur I. Démonstration Cas où u est croissante Soient a et b deux réels de I. Si a 6 b alors u(a) 6 u(b) car u est croissante sur I. – Si λ > 0 alors λu(a) 6 λu(b) donc λu est croissante sur I. – Si λ < 0 alors λu(a) > λu(b) donc λu est décroissante sur I. 6 Chapitre 1 c) Sens de variation de la fonction u ? v Propriété Soit u une fonction dé?nie et monotone sur un intervalle J. Soit v une fonction dé?nie et monotone sur un intervalle I et telle que pour tout x ∈ I, v(x) ∈ J. – Si u et v ont même sens de variation alors u ? v est croissante sur I. – Si u et v ont des sens de variation contraires alors u ? v est décroissante sur I. Démonstration Cas où u est croissante Soient a et b deux réels de I. Si a 6 b alors v(a) ∈ J, v(b) ∈ J et v(a) 6 v(b) car v est croissante sur I. – Si u est croissante sur J alors u(v(a)) 6 u(v(b)) donc u ? v(a) 6 u ? v(b) donc u ? v est croissante sur I. – Si u est décroissante sur J alors u(v(a)) > u(v(b)) donc u ? v(a) > u ? v(b) donc u ? v est décroissante sur I. 3/ Représentations graphiques a) Représentation graphique d’une fonction x 7→ u(x + a) + b Propriété Soit u une fonction et v la fonction dé?nie par v(x) = u(x + a) + b. → → Dans un repère (O; − ? ,− ? ), on appelle Cu et Cv les courbes représentatives des fonctions u et v. − → − → Cv est l’image de Cu ! par la translation de vecteur −a i + b j , autrement dit le vecteur −a de coordonnées . b Cv v(x) Cu b u(x + a) x a x+a Démonstration Soient M (x; y) et M ′ (x − a; y + b). M ′ ∈ Cv ⇔ y + b = v(x − a) ⇔ y + b = u(x − a + a) + b ⇔ y = u(x) ⇔ M ∈ Cv 7 Généralités sur les fonctions b) Représentation graphique d’une fonction λu Propriété → → Soit u une fonction et v la fonction λu Dans un repère (O; − ? ,− ? ), on appelle Cu et Cv les courbes représentatives des fonctions u et v. Si M est le point de Cu d’abscisse x alors on obtient le point d’abscisse x de Cv en multipliant l’ordonnée de M par λ. u(x) 2u(x) u(x) u(x) 1 2 u(x) x x x − 34 u(x) Chapitre 2 Polynômes du second degré 1/ Généralités sur les polynômes a) Définition Définition On appelle fonction polynôme toute fonction f dé?nie sur R par : f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 où a0 , a1 , . . ., an sont des réels donnés. Exemple : x 7→ −x3 − 5x2 + 7x − 1 est un polynôme. x 7→ x4 − 4 n’est pas un polynôme. x2 + 2 b) Propriétés (admises) Propriété 1/ Soit P le polynôme dé?ni par P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 . P est le polynôme nul ⇐⇒ a0 = a1 = · · · = an = 0. 2/ Soient P et Q les polynômes dé?nis par P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 et Q(x) = bp xp + bp−1 xp−1 + · · · + b1 x + b0 avec an 6= 0 et bp 6= 0. P = Q ⇐⇒ ( n=p a0 = b0 ; a1 = b1 ; · · · an = bn Conséquence : L’écriture d’un polynôme est unique. Exemple : Si, pour tout x ∈ R, ax3 + bx2 + cx + d = 2x3 − x + 2 alors a = 2, b = 0, c = −1 et d = 1. c) Degré Définition Soit P un polynôme dé?ni par P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 avec an 6= 0. Le nombre n est appelé degré de P . Exemple : x 7→ −x3 − 5x2 + 7x − 1 est un polynôme de degré 3. x 7→ 3x − x5 est un polynôme de degré 5. 9 Polynômes du second degré d) Racines d’une fonction Définition Soit f une fonction. On appelle racine de f toute solution de l’équation f (x) = 0. Exemple : 1 est une racine de x 7→ −x3 − 5x2 + 7x − 1. 0 est une racine de x 7→ 3x − x5 . 2/ Polynômes du second degré Dans tout le paragraphe, P désigne un polynôme dé?ni par P (x) = ax2 + bx + c avec a 6= 0. a) Forme canonique Propriété et définition Il existe des réels α et β tels que :
Pour tout x ∈ R, P (x) = a (x + α)2 + β . Cette écriture est appelée forme canonique de P . Remarque : On appelle parfois forme canonique l’écriture de P sous la forme P (x) = a(x + α)2 + γ Démonstration  c b P (x) = ax + bx + c = a x + x + a a 2 =a  b x+ 2a 2 2 −b2 + 4ac + 4a2 !  =a  b x+ 2a 2 c b2 − 2+ 4a a Exemple : Écrire la forme canonique du polynôme défini par P (x) = 2x2 + 4x + 6.


P (x) = 2x2 + 4x + 6 = 2 x2 + 2x + 3 = 2 (x + 1)2 − 1 + 3 = 2 (x + 1)2 + 2 b) Discriminant Définition On appelle discriminant de P le réel ? dé?ni par ? = b2 − 4ac. Exemple : Calculer le discriminant du polynôme défini par P (x) = 2x2 + 4x + 6. ? = 42 − 4 × 2 × 6 = 16 − 48 = −32. c) Racines Propriété Les racines de P peuvent être déterminée de la façon suivante : – Si ? < 0 alors P n’a pas de racine réelle. b – Si ? = 0 alors P admet une racine réelle : − . 2a √ √ −b − ? −b + ? – Si ? > 0 alors P admet deux racines réelles : et . 2a 2a ! 10 Chapitre 2 Démonstration P (x) = a  b x+ 2a  2 −b2 + 4ac + 4a2 ! =a  b x+ 2a 2 ? − 2 4a !  b 2 ? – Si ? < 0 alors x + − 2 > 0 donc pour tout x, P (x) 6= 0. 2a  4a  b b 2 donc P (x) = 0 ⇐⇒ x = − . – Si ? = 0 alors P (x) = a x + 2a 2a   √ !   √ ! b b ? ? – Si ? > 0 alors P (x) = a x+ − x+ + 2a 2a 2a 2a donc    √  √ ? ? b b P (x) = 0 ⇐⇒ x + = 0 ou x+ =0 − + 2a 2a 2a 2a √ √ −b + ? −b + ? ou x = ⇐⇒ x = 2a 2a Exemple : Déterminer les racines de P et Q définis par P (x) = 2x2 + 4x + 6 et Q(x) = −x2 − 2x + 1 Pour P : ? = −32 < 0 donc P n’a pas de racine. Pour Q : ? = (−2)2 − 4 × (−1) × 1 = 4 + 4 = 8 > 0 donc Q admet deux racines : √ √ √ −(−2) − 8 2−2 2 x1 = = = −1 + 2 2 × (−1) −2 √ √ √ −(−2) + 8 2+2 2 = = −1 − 2 x2 = 2 × (−1) −2 d) Liens entre coefficients et racines Propriété Si P admet deux racines x1 et x2 alors ? ? ? r1 + r2 = − b c ? ? r1 r2 = a a Démonstration √ √ −2b b −b − ? −b + ? + = =− x1 + x2 = 2a√ 2a√ 2a a −b − ? −b + ? (−b)2 − ? b2 − b2 + 4ac 4ac c x1 x2 = × = = = 2 = 2 2 2a 2a 4a 4a 4a a e) Factorisation Propriété – Si ? < 0 alors P ne peut pas être factorisé.   b 2 – Si ? = 0 alors P (x) = a x + 2a – Si ? > 0 alors P (x) = a(x − x1 )(x − x2 ) où x1 et x2 sont les racines de P . 11 Polynômes du second degré Démonstration Le premier résultat s’obtient en remarquant que si P pouvait se factoriser, on aurait deux facteurs du premier degré auquel cas l’équation P (x) = 0 admettrait au moins une solution, ce qui est contradictoire avec le résultat obtenu précédemment. Les deux autres résultats ont été obtenus dans le cours de la démonstration précédente. Exemple : Factoriser P et Q définis par P (x) = 2x2 + 4x + 6 et Q(x) = −x2 − 2x + 1 Pour P : ? = −32 < 0 donc P ne √ peut pas se √ factoriser. √ √ Pour Q : Les racines sont −1 + 2 et −1 + 2 donc P (x) = −(x + 1 − 2)(x + 1 + 2). f) Signe Propriété x −∞ +∞ Signe de P (x) Signe de a b +∞ x −∞ − 2a – Si ? = 0 alors Signe de P (x) Signe de a 0 Signe de a – Si ? > 0 alors x −∞ x1 x2 +∞ Signe de P (x) Signe de a 0 Signe de −a 0 Signe de a – Si ? < 0 alors où x1 et x2 sont les racines de P et x1 < x2 Démonstration   ? b 2 − 2 > 0 donc P (x) est du signe de a. – Si ? < 0 alors x + 2a  4a  b 2 b – Si ? = 0 alors P (x) = a x + qui est du signe de a sauf pour − . 2a 2a – Si ? > 0 alors P (x) = a(x − r1 )(x − r2 ) où r1 et r2 sont les racines de P . On peut donc dresser le tableau de signe suivant : x a x − x1 x − x2 Signe de P (x) −∞ x1 Signe de a − − Signe de a +∞ x2 Signe de a + − Signe de −a 0 0 0 0 Signe de a + + Signe de a Exemple : Déterminer le tableau de signe de P et Q définis par P (x) = 2x2 + 4x + 6 et Q(x) = −x2 − 2x + 1 Pour P : ? > 0 donc x −∞ +∞ Signe de P (x) + √ √ Pour Q : Les racines sont −1 − 2 et −1 + 2 et de plus −1 < 0 donc √ √ x −∞ −1 − 2 −1 + 2 Signe de P (x) − 0 + 0 − +∞ 12 Chapitre 2 g) Représentation graphique Propriété → → Soit (O; − ? ,− ? ) un repère du plan. b − 2a → La représentation graphique de P est l’image par la translation de vecteur − u ? − 4a 2 de la parabole représentant la fonctionx 7→ ax .  b b ; P (− 2a ) . C’est donc une parabole de sommet S − 2a ! Illustration : Factorisation de P (x) Équation P (x) = 0 ?>0 a(x − x1 )(x − x2 ) 2 solutions x1 et x2 ?=0 a(x − x0 )2 une solution x0 ?<0 pas de factorisation pas de solution b − 2a a>0 x1 x2 b P (− 2a ) b ) P (− 2a a<0 x1 b − 2a x2 b P (− 2a ) b x0 = − 2a b x0 = − 2a b − 2a b − 2a b ) P (− 2a Chapitre 3 Dérivation des fonctions 1/ Généralités a) Limite en 0 Définition Soit f une fonction dé?nie sur un intervalle I contenant 0 et L ∈ R. On dit que f (x) tend vers L quand x tend vers 0 si on peut rendre f (x) aussi proche de L que l’on veut pour x su?samment proche de zéro. On note : lim hf (x) = L x→0 Exemple : lim xx2 = 0 x→0 lim xx + 1 = 1 x→0 √ lim x x + x − 2 = −2... x→0 x2 − 2x . 3x 2 x−2 x2 − 2x 2 x − 2x = donc lim x =− . Pour tout x 6= 0, x→0 3x 3 3x 3 Déterminer la limite en 0 de b) Nombre dérivé Définition Soit f une fonction dé?nie sur un intervalle I. Soit a ∈ I et h 6= 0 tel que a + h ∈ I. f (a + h) − f (a) . On appelle taux de variation de f entre a et h le réel h On dit que f est dérivable en a si, lorsque h tend vers 0, le taux de variation de f entre f (a + h) − f (a) = L. a et h tend vers un réel L autrement dit si lim h→0 h ′ Ce réel L est appelé nombre dérivé de f en a et se note f (a). Exemple : Démontrer que la fonction f : x 7−→ x2 est dérivable en 2 et calculer f ′ (2). √ Démontrer que la fonction g : x 7−→ x n’est pas dérivable en 0. f (2 + h) − f (2) (2 + h)2 − 4 h2 + 4h Pour tout h 6= 0, = = =h+4 h h h f (2 + h) − f (2) = 4. Ainsi lim h x→0 h f est donc dérivable en 2 et f ′ (2) = √ 4. g(0 + h) − g(0) 1 h Pour tout h 6= 0, = = √ . h h h 1 Or, √ n’a pas de limite finie lorsque h tend vers 0 donc g n’est pas dérivable en 0. h 14 Chapitre 3 c) Interprétation graphique Propriété Soit f une fonction dé?nie sur I et Cf sa représentation graphique dans un repère. Soit a ∈ I. Si f est dérivable en a alors f ′ (a) est le coe?cient directeur de la tangente à Cf au point A(a; f (a)). L’équation de cette tangente est alors : y = f ′ (a)(x − a) + f (a). f (a + h) Illustration : Soit A(a; f (a)) ∈ Cf . Soit h 6= 0 et M (a + h; f (a + h)) ∈ Cf . f (a + h) − f (a) représente le coe?cient Le quotient h directeur de la droite (AM ). Lorsque h tend vers 0, M se rapproche de A et la droite (AM ) tend à se confondre avec la tangente à Cf en A. f (a) a a+h Démonstration Soit T la tangente à la courbe au point A. Son coe?cient directeur est f ′ (a) donc l’équation réduite de T est de la forme y = f ′ (a)x + b. A ∈ T donc f (a) = f ′ (a)a + b donc b = f (a) − af ′ (a). L’équation de T est donc y = f ′ (a)x + f (a) − af ′ (a) soit y = f ′ (a)(x − a) + f (a). d) Approximation affine Propriété Soit f une fonction dé?nie sur I et dérivable en a ∈ I. – Il existe une fonction ? telle que pour tout réel h avec a + h ∈ I : f (a + h) = f (a) + hf ′ (a) + h?(h) et lim h?(h) = 0 x→0 – La fonction h 7−→ f (a) + hf ′ (a) est une approximation a?ne de f pour h proche de 0. Démonstration f (a + h) − f (a) − f ′ (a). h f est dérivable en a donc lorsque h tend vers 0, ?(h) tend vers f ′ (a) − f ′ (a) = 0. De plus, h?(h) = f (a + h) − f (a) + hf ′ (a) soit f (a + h) = f (a) + hf ′ (a) + h?(h) Pour h 6= 0, on pose ?(h) = 2/ Calculs de dérivées a) Fonction dérivée Définition Soit f une fonction dé?ne sur un intervalle I. – Si, pour tout x de I, f est dérivable en x, on dit que f est dérivable sur I. – La fonction dé?nie sur I par x 7−→ f ′ (x) est appelée fonction dérivée de f . Cette fonction est notée f ′ . 15 Dérivation des fonctions b) Dérivées usuelles Fonctions constantes Propriété Si f est la fonction dé?nie sur R par : alors f est dérivable sur R et pour tout réel x : f (x) = k f ′ (x) = 0. Démonstration Pour tout réel a et h 6= 0, k−k f (a + h) − f (a) = =0 h h f est donc dérivable en a et f ′ (a) = 0. Fonctions affines Propriété Si f est la fonction dé?nie sur R par : alors f est dérivable sur R et pour tout réel x : f (x) = mx + p f ′ (x) = m. Démonstration Pour tout réel a et h 6= 0, f (a + h) − f (a) m(a + h) + p − ma − p mh = = =m h h h ′ f est donc dérivable en a et f (a) = m Fonction carré Propriété Si f est la fonction dé?nie sur R par : alors f est dérivable sur R et pour tout réel x : f (x) = x2 f ′ (x) = 2x. Démonstration Pour tout réel a et h 6= 0, (a + h)2 − a2 2ah + h2 f (a + h) − f (a) = = = 2a + h h h h De plus, 2a + h tend vers 2a lorsque h tend vers 0. f est donc dérivable en a et f ′ (a) = 2a. Fonctions puissances Propriété Soit n un entier tel que n > 1. Si f est la fonction dé?nie sur R par : alors f est dérivable sur R et pour tout réel x : Résultat admis. f (x) = xn f ′ (x) = nxn−1 . 16 Chapitre 3 Fonction inverse Propriété 1 x 1 f ′ (x) = − 2 x Si f est la fonction dé?nie sur ] − ∞; 0[ ∪ ]0; +∞[ par : f (x) = alors f est dérivable sur ] − ∞; 0[ et sur ]0; +∞[ et pour tout x 6= 0 : Démonstration Pour tout réel a 6= 0 et h 6= 0, 1 1 − a − (a + h) −1 f (a + h) − f (a) = a+h a = = h h ha(a + h) a(a + h) −1 1 Or tend vers − 2 lorsque h tend vers 0. a(a + h) a 1 f est donc dérivable en a et f ′ (a) = − 2 a Fonction racine carrée Propriété Si f est la fonction dé?nie sur [0 ; +∞[ par : f (x) = alors f est dérivable sur ]0 ; +∞[ et pour tout réel x > 0 : √ x 1 f ′ (x) = √ . 2 x Démonstration Pour tout réel a > 0 et h 6= 0 tel que a + h > 0, √ √ √ √ √ √ f (a + h) − f (a) ( a + h − a)( a + h + a) a+h− a √ = = √ h h h( a + h + a) a+h−a 1 = √ √ =√ √ h( a + h + a) a+h+ a 1 1 Or, lorsque h tend vers 0, √ √ tend vers √ 2 a a+h+ a 1 f est donc dérivable en a et f ′ (a) = √ 2 a Fonctions trigonométriques Propriété Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur R et pour tout réel x : sin′ (x) = cos(x) et cos′ (x) = − sin(x) Résultat admis. c) Opérations sur les fonctions et dérivées u et v désignent deux fonctions dérivables sur un intervalle I et λ un réel. Propriété La fonction u + v est dérivable sur I et La fonction λu est dérivable sur I et (u + v)′ = u′ + v ′ . (λu)′ = λu′ . 17 Dérivation des fonctions Démonstration Pour tout a ∈ I et h 6= 0 tel que a + h ∈ I : (u + v)(a + h) − (u + v)(a) u(a + h) + v(a + h) − u(a) − v(a) = h h u(a + h) − u(a) v(a + h) − v(a) + = h h dont la limite est u′ (a) + v ′ (a) lorsque h tend vers 0. (λu)(a + h) − (λu)(a) λu(a + h) − λu(a) u(a + h) − u(a) = =λ h h h ′ dont la limite est λu (a) lorsque h tend vers 0. √ 1 −5 x+2 3x f est dérivable sur ]0 ; +∞[ car elle est la sommede fonctions dérivables sur ]0 ; +∞[  1 1 1 ′ et, pour tout x ∈]0 ; +∞[, f (x) = 3 × 2x + × − 2 − 5 × √ ainsi : 3 x 2 x Exemple : Calculer la dérivée de la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f (x) = 3x2 + f ′ (x) = 6x − 1 5 − √ 3x2 2 x Propriété La fonction uv est dérivable sur I et La fonction u2 est dérivable sur I et (uv)′ = u′ v + uv ′ . (u2 )′ = 2uu′ . Démonstration Pour tout a ∈ I et h 6= 0 tel que a + h ∈ I : u(a + h)v(a + h) − u(a)v(a + h) + u(a)v(a + h) − u(a)v(a) (uv)(a + h) − (uv)(a) = h h v(a + h) − v(a) u(a + h) − u(a) = ×v(a + h) + ×u(a) h h {z } {z } u′ (a)v(a) tend vers u′ (a) + v ′ (a)u(a) tend vers v′ (a) dont la limite est lorsque h tend vers 0. Ainsi uv est dérivable et (uv)′ = u′ v + uv ′ . Exemple : Calculer la dérivée de la fonction f définie sur R par f (x) = (x2 + 1)(x5 + 2) f (x) = u(x)v(x) avec u(x) = x2 + 1 et v(x) = x5 + 2. f est donc dérivable sur R en tant que produit de fonctions dérivables sur R et f ′ (x) = 2x(x5 + 2) + 5x4 (x2 + 1) Propriété Si v ne s’annule pas sur I 1 La fonction est dérivable sur I et v u La fonction est dérivable sur I et v  ′ 1 v′ =− 2 v  v ′ u u′ v − uv ′ = v v2 Démonstration Pour tout a ∈ I et h 6= 0 tel que a + h ∈ I : 1 1 − v(a) − v(a + h) v(a + h) − v(a) 1 v(a + h) v(a) = =− × h hv(a + h)v(a) h v(a)v(a + h) 18 Chapitre 3 1 lorsque h tend vers 0. 2 (v(a))  ′ 1 1 v′ Ainsi est dérivable et =− 2 v v v De plus  ′     u 1 ′ 1 v′ u′ v − uv ′ = u× = u′ × + u × − 2 = v v v v v2 dont la limite est −v ′ (a) × Exemple : Déterminer la dérivée de la fonction f définie sur ]2 ; +∞[ par f (x) = g définie sur R par g(x) = 3x + 5 2x2 + 1 3 et de la fonction 2x − 4 1 avec λ = 3 et u(x) = 2x − 4. u(x)   2 −6 f est donc dérivable sur ]2 ; +∞[ et f (x) = 3 × − = . (2x − 4)2 (2x − 4)2 u(x) avec u(x) = 3x + 5 et v(x) = 2x2 + 1. Pour tout réel x , g(x) = v(x) g est donc dérivable sur R et Pour tout x ∈]2 ; +∞[, f (x) = λ × g(x) = 3(2x2 + 1) − 4x(3x + 5) −6x2 − 20x + 3 = (2x2 + 1)2 (2x2 + 1)2 Propriété Soit f une fonction dé?nie et dérivable sur un intervalle J et u une fonction dé?nie et dérivable sur un intervalle I telle que, pour tout x de I, u(x) ∈ J. La fonction f ? u est dérivable et, pour tout réel x de I : (f ? u)′ (x) = u′ (x) × f ′ (u(x))   π Exemple : Calculer la dérivée de la fonction g définie sur R par g(x) = cos 2x + . 3 π Pour tout réel x, g(x) = f ? u(x) avec u(x) = 2x + et f (x) = cos(x). 3  π g est donc dérivable sur R et g ′ (x) = −2 sin 2x + 3 3/ Applications de la dérivation a) Dérivée et variations Propri&...