Logique et mathématiques - Résumé de cours

« mifères.

Donc, les poissons sont des vertébrés.

Ce raisonne­ ment est valide, car il respecte la forme logique, bien que la seconde proposition soit matériellement fausse.

Aussi sur­ prenant que cela puisse paraître, on peut aussi, en partant de prémisses matériellement fausses, obtenir une conclusion vraie : si je dis« le cercle est un carré», je peux en tirer cette conséquence vraie que « le cercle est une figure géomé­ trique», puisque «le carré est une figure géométrique ».

1 La géométrie d'Euclide Une démarche hypothético-éducative La géométrie d'Euclide part d'un petit nombre de don­ nées premières.

Ces données sont les définitions (concepts fondamentaux de la géométrie) ; les axiomes (propriétés essentielles appartenant aux grandeurs .

Exemple : « le tout est plus grand que la partie »); les postulats (propositions concernant les êtres mathématiques proprement dits et affirmant que certaines constructions sont possibles.

Exemple : « toute droite peut être prolongée indéfini­ ment » ).

Partant de ces données, le géomètre en déduit logiquement d'autres propositions : théorème ou proposi­ tion principale; lemme ou proposition secondaire facilitant la démonstration d'un théorème à venir; corollaire ou pro­ position exprimant une conséquence directe d'un théorème établi .

Syllogisme et démonstration en géométrie Si, dans le syllogisme, la conclusion est implicitement contenue dans la prémisse appelée « la majeure » ( déduc­ tion analytique), dans la géométrie d'Euclide, toute propo­ sition démontrée est synthétiquement construite à partir des prémisses en combinant plusieurs propositions intermé­ diaires (déduction synthétique) .

De plus la déduction n'est pas la simple application d'un mécanisme pur car elle exige du géomètre l'invention des moyens termes ou les constructions susceptibles de permettre les combinaisons de concepts utiles à la démonstration.

En revanche, de la même manière que, dans le syllogisme, la vérité matérielle de la conclusion est relative à celle de ses prémisses, dans la géométrie d'Euclide, la vérité des propositions démontrées est relative à un point de départ hypothétique (axiomes et postulats) • 69. »