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Les mathématiques (cours de philosophie)

Publié le 27/01/2020

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D'après les Anciens et les médiévaux, la vérité est l'adéquation de l'intellect à la chose (la vérité en tant que correspondance avec les faits) et les axiomes sont des vérités évidentes dispensées de démonstration. Par contre, pour les structuralistes modernes, la vérité est la cohérence d'un système de propositions, et les axiomes, en nombre aussi restreint que possible, sont seulement des énoncés relativement simples ou commodes qui permettent d'obtenir d'autres énoncés moins simples. La séparation du contenu intuitif des règles qui gouvernent les opérations abstraites permet de concevoir plusieurs modèles ou façons de parler d'une phénoménologie, et un modèle sera choisi pour des raisons de commodité, de simplicité ou d'économie, mais non pas parce qu'il est une description vraie des phénomènes. Cette vision est appelée « conventionnalisme » ou encore « inventionnisme ». Soit le problème de trouver la géométrie de l'univers. S'il y a plusieurs géométries possibles également cohérentes (des géométries qui ne satisfont pas au même ensemble de postulats), s'il n'y a pas de raison a priori (avant toute expérience) pour préférer un modèle, et si, de plus, notre observation ou expérience n'est pas assez fine pour décider entre les modèles concurrents, on choisira le plus convenable en fonction d'un critère donné, par exemple, pour rendre une autre science plus simple. On peut donc choisir une géométrie relativement complexe pour rendre la physique dont elle est la structure plus simple. C'est ce qu'Einstein a fait en utilisant une géométrie non euclidienne dans sa théorie de la relativité générale.
VI - Logicisme, formalisme et intuitionnisme
D'après Frege (1848-1925), les nombres peuvent être définis en termes d'ensemble. Par exemple, « être trois » est une propriété d'une classe, de collections d'objets, ou d'ensembles. «Le nombre 3, dit Russell (18721970), est quelque chose que tous les groupes de trois ont en commun, et qui les distingue des autres collections. » Les nombres sont, dans cette perspective, des totalités d'ensembles équivalents, c'est-à-dire des collections dont les éléments peuvent être mis en correspondance biunivoque (là 1) les uns avec les autres. Vers la fin du XIXe siècle et le début du XXe, la théorie des ensembles créée par Cantor (1845-1918) était considérée comme un fondement possible de l'édifice mathématique, mais les mathématiciens se trouvèrent confrontés à des paradoxes, anticipés par Cantor, concernant l'utilisation du quanteur universel « tous ». Considérons S, l'ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas éléments d'eux-mêmes et demandons-nous : S est-il élément de lui-même ou non ? S'il n'est pas élément de lui-même, alors il appartient à S (d'après la propriété qui définit S), il y a donc contradiction. Mais si S est un élément de lui-même, et puisque lui-même est S, il appartient à l'ensemble caractérisé par le fait que les éléments ne sont pas éléments d'eux-mêmes, il y a donc à nouveau contradiction.
Russell avait essayé d'éliminer les paradoxes, mais Hilbert (1862-1943), plus exigeant, voulait une preuve de la consistance des axiomes de l'arithmétique et de toute déduction dérivée d’eux. Il s'agissait de réduire les mathématiques en les emprisonnant dans un tissu bien serré d’interconnexions logiques à partir d'axiomes consistants en suivant des règles de raisonnement précisément prescrites1. On espérait qu'une fois les mathématiques ainsi contrôlées de très près, elles seraient libres de tout problème logique. Hilbert croyait de plus que les difficultés rencontrées par Russell étaient dues au contenu sémantique du langage ; il fallait donc vider cette science de toute signification et la réduire à un jeu syntaxique, la consistance logique étant le seul critère requis pour l'existence des mathématiques. Telle était la doctrine formaliste. On connaît les conséquences néfastes pour ce programme des théorèmes de Gôdel de 1931 : il y a des propositions vraies qu'il est pourtant impossible de prouver à l'intérieur du système formel des mathématiques classiques. D'autres formalistes, par exemple Curry, ont radicalisé le formalisme faisant de l'étude des systèmes formels une fin en soi, alors que chez Hilbert c'était un moyen destiné à prouver la consistance des mathématiques.

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« Les mathématiques 5 d'espace, des unités de base de la matière physique.

Bien que les pytha­ goriciens aient contribué à distinguer le matériel de l'immatériel, l'étendue de l'inétendue, le concret de l'abstrait, leur représentation matérielle des nombres montre que la distinction a été longue à se faire jour.

Une telle figuration matérielle des nombres devient un instrument d'analyse et un moyen simple de voir certaines relations numériques fondamentales.

Sur des nombres ainsi représentés on peut ensuite faire des observations géométriques telles que «le 3 est le triangle», «le 4 est le tétraèdre ».

Les nombres impairs sont parfois appelés gnomons parce qu'ils peuvent être représentés sous la forme d'une équerre et leur succession peut être figurée de telle façon qu'ils forment des carrés qui ont un milieu, etc.

Pour affirmer la généralisation que la nature intime des choses est le nombre il a fallu transporter la méthode mathématique non seulement à l'intérieur de la physique (astronomie, acoustique, etc.), mais encore à l'intérieur de la métaphysique.

Si pour les pythagoriciens l'essence des choses est le nombre, on comprend l'émotion éveillée dans leur secte par la découverte des nombres irrationnels.

Voici une grandeur incom­ mensurable : que vaut le côté du carré dont l'aire est le double de l'aire d'un carré donné de côté a ? (D'après une légende, celui qui a découvert les irrationnels est mort noyé, puni par les dieux ou par ses condisciples).

Ce bref rappel des idées pythagoriciennes montre que les mathématiques acquièrent toute leur signification et leur intérêt à condition de ne pas les couper de leur contexte culturel fait de préoccupations mythiques, cosmologiques ou physiques.

Les mathématiques sont avant tout des idées qui entretiennent des rapports vivants avec d'autres idées.

On ne comprendrait pas l'intérêt des mathématiques grecques sans leur arrière­ plan physique, mythique et métaphysique, tout comme on ne comprendrait pas les mathématiques modernes, la naissance du calcul infinitésimal par exemple, sans les préoccupations physiques et métaphysiques des fondateurs, Leibniz (1646-1716) et Newton (1642-1727).

L'idée que les mathématiques sont un stock de formules insignifiantes, un jeu comparable aux échecs, une série de structures vides, juste un langage arbitrairement développé, tout cela relève d'une méprise formaliste récente et assez répandue qu'il faudrait corriger.

La croyance pythagoricienne que le réel est mathématique et que l'explication ultime du réel physique est, par conséquent, mathématique, a toujours été présente dans la physique moderne et en particulier dans le développement de la mécanique rationnelle.

L'existence du mécanisme, qui. »

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