anneaux et corps - mathématiques.

anneaux et corps - mathématiques. 1 PRÉSENTATION anneaux et corps, en algèbre, ensembles d'éléments munis de deux lois de composition interne obéissant à certaines règles. Les corps forment un cas particulier d'anneaux. 2 HISTOIRE La notion de corps et d'anneau est introduite pour la première fois en mathématiques au début du XIXe siècle par le mathématicien français Évariste Galois et par le mathématicien norvégien Niels Henrik Abel, dans le cadre de leurs études sur les racines des polynômes (voir équations, théorie des). Les corps ont servi à démontrer qu'il n'existe pas de formule pour déterminer les racines des polynômes de degré supérieur ou égal à cinq. Le mot corps fut employé pour la première fois à la fin du XIXe siècle par le mathématicien allemand Julius Dedekind, qui a développé, avec son collègue Leopold Kronecker, une théorie abstraite des corps et de ses applications à la théorie des nombres. 3 DÉFINITIONS 3.1 Loi de composition interne Soit un ensemble A muni d'une opération algébrique notée T. Cette loi T est une loi de composition interne sur A si et seulement si, quels que soient les éléments a et b de A, a T b est un élément de A. 3.2 Anneau Un anneau est un ensemble A muni de deux lois de composition interne, notées Å (loi additive) et Ä (loi multiplicative), telles que (A, Å) soit un groupe commutatif ou abélien, et que la loi multiplicative soit associative (1) et distributive (2) par rapport à la loi additive : (1) Associativité de Ä : quels que soient a, b et c éléments de A, (a Ä b) Ä c =a Ä (b Ä c) (2) Distributivité de Ä sur Å : quels que soient a, b, c éléments de A, a Ä (b Å c) =a Ä b Å a Ä c Un anneau A (Å ; Ä) est commutatif si sa loi multiplicative est commutative, c'est-à-dire si, pour a et b, deux éléments quelconques de A, on a : a Ä b = b Ä a 3.3 Corps C'est un anneau unitaire, c'est-à-dire muni d'un élément neutre pour la loi multiplicative (3), non réduit à {0}, et dont tout élément non nul est inversible pour la loi multiplicative (4) : (3) Élément neutre pour Ä : il existe un élément de A noté 1, tel que, pour tout élément a de A, a Ä 1 =a = 1 Ä a (4) Inversibilité pour Ä : pour tout élément a non nul de A, il existe un élément de A, noté a-1, tel que a Ä a-1 = 1 =a-1 Ä a a-1 est l'inverse de a. 3.4 Sous-anneaux et sous-corps Soient deux anneaux A (Å ; Ä) et B (Å ; Ä) munis des mêmes lois de composition interne, tels que B Ì A (B est inclus dans A). Alors B est un sous-anneau de A. On définit de même un sous-corps. En particulier, l'ensemble des rationnels un sous-corps de (+ ; ×), qui est lui-même un sous-corps du corps (+ ; ×) est (+ ; ×) des nombres complexes. Si le nombre d'éléments d'un corps est fini, le corps est dit fini ; dans le cas contraire, le corps est infini. Les ensembles des nombres rationnels, des nombres réels et des nombres complexes munis de l'addition et de la multiplication sont des corps infinis. 4 EXEMPLES D'ANNEAUX ET DE CORPS L'ensemble (+ ; ×) des entiers relatifs est un anneau commutatif. On a vu précédemment que (+ ; ×) et (+ ; ×) sont des corps. Le corps des entiers n modulo 3 (on note n[3]) est un corps fini contenant seulement les trois éléments 0, 1 et 2, c'est-à-dire les restes de la division d'un entier quelconque par 3. Par exemple, la division de 9 par 3 a un reste nul ; lorsque l'on divise 20 par 3, le reste est 2. L'addition ( Å) et la multiplication (Ä) dans l'ensemble {0,1,2} se définissent à partir de l'addition et de la multiplication usuelles, le résultat de ces opérations étant le reste de la division par 3. Par exemple, pour déterminer 1 Å 2, on ajoute 1 à 2, ce qui donne 3, puis on divise 3 par 3, ce qui donne un reste égal à 0. Cela signifie que 1 Å 2 = 0 dans le corps des entiers modulo 3 et, par suite, 2 est l'opposé de 1. De la même manière, pour trouver 2 Ä 2, on multiplie 2 par 2, puis on divise le résultat par 3 : on obtient pour reste 1. Par conséquent, puisque 2 Ä 2 = 1, 2 est l'inverse de 2. Plus généralement, le corps des entiers modulo p, avec p nombre premier, est l'ensemble des restes obtenus en divisant les entiers par p. Si p est un nombre premier et n un entier positif, il existe un unique corps à pn éléments. Ces corps sont appelés corps de Galois et sont les seuls corps finis. Précisons, par exemple, qu'il n'existe pas de corps de Galois à six éléments, car 6 ne peut s'exprimer comme une puissance d'un nombre premier. 5 APPLICATIONS Les propriétés des anneaux et des corps ont de nombreuses applications. Le génie électrique et la physique théorique utilisent le corps des nombres complexes pour étudier l'électricité, le magnétisme et la théorie quantique. En cryptographie, les propriétés des corps permettent de réduire les erreurs dans la transmission d'informations par des moyens tels que les lignes téléphoniques (voir information, théorie de l'). La théorie mathématique des corps est l'un des principaux outils utilisés pour l'étude de certaines propriétés des nombres. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.