différences finies - mathématiques.

différences finies - mathématiques. différences finies, branche des mathématiques qui étudie les différences entre des paires successives de nombres. Les résultats de cette discipline sont utilisés dans de nombreuses applications. Considérons, par exemple, la formule yn = 3n - 1 qui donne pour n = 1, 2, 3, ... la progression arithmétique 2, 5, 8, 11, 14, ... ; les différences entre les paires successives sont 5 - 2 = 3, 8 - 5 = 3, ... La suite de nombres et la suite des différences sont souvent écrites : La formule yn = n2 - 3n - 2 donne pour n = 1, 2, 3, ... les nombres de la première ligne du tableau suivant : Les nombres de la deuxième ligne sont les différences entre les nombres de la première ; les nombres de la troisième ligne sont les différences entre les nombres de la deuxième ligne. Les nombres de la deuxième ligne sont appelés différences premières, ceux de la troisième ligne différences secondes. De manière générale, si y1, y2, y3, ..., yn, ... est une suite de nombres, leurs différences premières sont définies par : ? yn = yn+1 - yn ; leurs différences secondes sont : ? 2yn = ? yn+1 - ? yn ; leurs différences troisièmes sont : ?3yn = ?2yn+1 - ? 2 yn, ... Le tableau des différences se présente sous la forme suivante : Pour certaines utilisations, en particulier si les y sont les ordonnées d'un ensemble de points (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), ... ; il est pratique de présenter le tableau des différences sous forme de colonnes, en y indiquant les x, comme ci-dessous : On peut montrer que, si les y sont déterminés par un polynôme de degré n, leurs différences ne sont constantes. Réciproquement, si les différences ne d'une suite de y sont constantes, la suite peut être engendrée par un polynôme de degré inférieur ou égal à n. Pour une fonction dont on ne connaît qu'une partie des points (x1, y1), (x2, y2) ... de sa courbe représentative, le tableau des différences finies, avec les estimations des erreurs, peut être utilisé pour déterminer les coordonnées d'autres points de la courbe (par interpolation et extrapolation), ainsi que des valeurs approchées de la dérivée de la fonction en différents points, ou d'intégrales définies de la fonction pour divers intervalles d'intégration. On peut parfois créer une suite de y grâce à une formule récursive, c'est-à-dire une formule qui exprime yn à l'aide d'un ou de plusieurs de ces prédécesseurs. Par exemple, si yn est le nombre de façons d'asseoir au moins une personne sur une rangée de n sièges de telle sorte que deux personnes n'occupent jamais deux chaises voisines, on peut démontrer que yn = yn-1 + yn-2 + 1, avec y1 = 1, y2 = 2. Les différences finies peuvent être utilisées pour « résoudre « de telles équations, c'està-dire pour trouver une fonction qui permet d'exprimer yn en fonction de n. Dans cet exemple : où est le coefficient binomial (voir binôme) défini par Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.