isométries - mathématiques.

isométries - mathématiques. 1 PRÉSENTATION isométries, transformations, dans un plan ou un espace, qui conservent la distance, telles que la rotation, la réflexion, la translation, etc. 2 DÉFINITION Ainsi une isométrie est une application bijective f dans un espace D muni d'une distance d -- espace métrique noté (D,d) -- qui associe à deux points (M,M') de cet espace, deux points images (f(M),f(M')) dans un espace métrique (D',d') tels que : d'(f(M), f(M')) = d(M,M'). De façon équivalente, on peut définir une isométrie d'un espace vectoriel comme une application linéaire qui transforme une base orthonormée (base vectorielle dont les vecteurs sont deux à deux orthogonaux et individuellement de longueur égale à l'unité) en une autre base orthornormée (voir linéaire, algèbre). 3 ORIGINE GÉOMÉTRIQUE ET ÉVOLUTION ALGÉBRIQUE Bien que non définies mathématiquement avec toute la rigueur développée à la fin du XVIIIe siècle pour définir ce groupe de transformations, les isométries sont néanmoins implicitement utilisées depuis l'Antiquité par les savants et les mathématiciens grecs s'attachant à l'étude des propriétés des figures géométriques « classiques «, tels les triangles, quadrilatères, coniques, etc. D'ailleurs, le nom d' isométrie est issu des mots grecs isos « égal « et metron « mesure «. L'importance algébrique de ces transformations n'a été démontrée qu'au XIXe siècle par le mathématicien allemand Felix Klein (1849-1925), qui a puisé dans l'algèbre de son temps de nouveaux outils pour classer les transformations géométriques selon leurs propriétés d'invariance. Il a montré notamment que l'ensemble des isométries, muni d'une loi de composition interne, notée T, forme un groupe, avec pour élément neutre l'application isométrique identité. 4 CLASSIFICATION 4.1 Déplacements et antidéplacements On distingue les isométries qui laissent invariante l'orientation des angles, nommées déplacements, telles les rotations, de celles qui ne conservent pas l'orientation des angles, appelées antidéplacements, telles les réflexions. L'ensemble des déplacements, muni d'une loi de composition interne, forme un sous-groupe du groupe des isométries. 4.2 Invariance du nombre de points Les isométries d'un espace dans ce même espace sont également classées en fonction du nombre de points invariants. Une isométrie sans point invariant est une translation non nulle, autrement dit, toute isométrie est composée d'au moins une translation non nulle. En revanche, une isométrie possédant au moins un point invariant est une identité, ou une réflexion, ou encore une rotation. Toute isométrie peut être mise sous la forme d'une composition d'une translation et d'une isométrie à un seul point invariant. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.