polyèdre - mathématiques.

polyèdre - mathématiques. polyèdre, solide fermé limité par des surfaces planes à bords rectilignes. En d'autres termes, un polyèdre est un solide limité par des polygones dont chacun constitue une face du polyèdre. Un côté quelconque d'un tel polygone est une arête. L'extrémité d'une arête quelconque est un sommet. Dans un polyèdre régulier, toutes les faces sont des polygones réguliers et congruents (de même forme et isométriques). Les seuls polyèdres réguliers sont les cinq polyèdres de la figure 2 : le tétraèdre, aux quatre faces triangulaires (triangles équilatéraux isométriques), le cube, aux six faces carrées, l'octaèdre, aux huit faces triangulaires (triangles équilatéraux isométriques), le dodécaèdre, dont les douze faces sont des pentagones réguliers, et l'icosaèdre, aux vingt faces triangulaires (triangles équilatéraux isométriques). Ces polyèdres sont parfois appelés solides platoniciens, car ils ont été décrits par le philosophe grec Platon, et ils étaient mis en relation avec les éléments feu, air, terre, eau et Univers. Dans un polyèdre, si tout segment qui relie deux sommets quelconques est à l'intérieur du polyèdre ou sur l'une de ses faces, on dit que le polyèdre est convexe. Dans ce type de polyèdre, la relation entre le nombre de sommets v, le nombre de faces f et le nombre d'arêtes e est donnée par : v + f - e = 2. Par exemple, le cube a 8 sommets, 6 faces et 12 arêtes. On a donc bien : 8 + 6 - 12 = 2. Pour un polyèdre quelconque, la valeur (v + f - e) est appelée caractéristique d'Euler de la surface du polyèdre (voir Euler, Leonhard). On peut calculer cette valeur en utilisant les procédés de la topologie algébrique. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.