probabilités - mathématiques.

probabilités - mathématiques. 1 PRÉSENTATION probabilités, ou théorie des probabilités, branche des mathématiques qui s'attache à mesurer ou à déterminer quantitativement la probabilité qu'a un événement ou une expérience d'aboutir à un résultat donné. Cette théorie utilise souvent les résultats de l'analyse combinatoire et notamment les dénombrements appelés permutations, arrangements et combinaisons. Elle constitue la base de tous les travaux en statistiques. 2 HISTORIQUE On attribue en général à Blaise Pascal et à Pierre de Fermat l'invention au XVIIe siècle d'une première approche de la théorie des probabilités appliquée aux jeux de hasard, même si Jérôme Cardan s'était déjà penché sur la question dès le XVIe siècle. Cinquante ans plus tard, dans son ouvrage posthume Ars conjectandi (1713), Jacques Bernoulli systématise le calcul des probabilités, en énonçant des théorèmes prometteurs tels que l'additivité des probabilités. Au même moment, en Angleterre, Abraham de Moivre introduit la notion de loi normale dans son oeuvre Doctrine of Chances (voir statistiques). Le XIXe siècle est marqué par la publication en 1814 de la Théorie analytique des probabilités de Laplace, dans laquelle la théorie des probabilités est appliquée à la mécanique et aux statistiques. Cet ouvrage aura une influence considérable sur tous les mathématiciens de ce siècle. Avec les travaux de Darwin et du statisticien Quételet, avec les travaux de Maxwell sur la théorie cinétique des gaz, ceux de Boltzmann sur la mécanique statistique, la vision probabiliste du monde s'affirme encore davantage, englobant tous les domaines de la science. À la fin du XXe XIXe siècle, le Russe Tchebychev rend beaucoup plus rigoureuse la théorie, généralise la loi des grands nombres, que Markov reprend sous l'angle des processus dits stochastiques. Au siècle, Émile Borel définit la probabilité à partir de la notion de mesure, et Andreï Kolmogorov développe une présentation axiomatique de la théorie. Aujourd'hui, les probabilités possèdent un vaste champ d'application, allant de la conception des ordinateurs à l'étude des queues ou files d'attentes (voir théorie des files d'attentes). 3 PROBABILITÉ D'UN ÉVÉNEMENT Considérons un événement E auquel correspond un nombre fini n de cas possibles ayant des chances égales de se produire (ils sont dits équiprobables). Supposons que parmi ces n cas possibles, il existe f cas favorables qui aboutissent à la réalisation de l'événement E. On appelle probabilité de l'événement E le rapport f / n. De là découle qu'une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1. La probabilité 0 indique que l'événement est irréalisable ; la probabilité 1 que l'événement se produit à chaque fois. Prenons l'exemple du lancer d'un dé non pipé. Il existe 6 manières possibles de voir retomber le dé, toutes de même probabilité. La probabilité d'obtenir la face 5 ou la face 6 est donc égale à 2/6. Le calcul de la probabilité d'un événement devient en revanche plus complexe lorsque les cas possibles correspondants ne sont pas équiprobables. Ainsi, si l'on considère le total des points obtenus en jetant deux dés, la probabilité que ce total soit 6 est plus grande que celle pour 12. Pour calculer ces différentes probabilités, il faut alors faire appel à l'analyse combinatoire. Certains événements peuvent aussi présenter une infinité de cas possibles, comme le fait qu'une corde d'un cercle prise au hasard, soit plus longue que le rayon du cercle. 4 PROBABILITÉ DE DEUX ÉVÉNEMENTS Deux événements sont dits incompatibles si la probabilité pour qu'ils se produisent simultanément est égale à zéro. Ils sont indépendants si la probabilité de les obtenir simultanément est le produit des probabilités de chacun. Soit deux événements A et B, A dépendant de la réalisation de B. La probabilité conditionnelle de l'événement A, notée P(A / B), est la probabilité de l'événement A conditionné par l'événement B. Sachant que P(A Ç B) correspond à la probabilité que les événements A et B se produisent tous les deux, on montre que : P(A / B) = P(A Ç B) / P(B) Par conséquent, si deux événements A et B sont indépendants, alors: P(A Ç B) = P(A).P(B) donc: P(A / B) = P(A) et P(B / A) = P(B) On montre également que la probabilité pour que l'événement A ou l'événement B se réalise -- notée P(A È B) -- est égale à P(A) + P(B) - P(A Ç B). Par conséquent, si la probabilité qu'un événement se réalise est p, la probabilité qu'il ne se produise pas est q = 1 - p (en notant B l'événement contraire de A, P(A È B) = 0 et P(A Ç B) = 1). 5 PROBABILITÉS ET STATISTIQUES La théorie des probabilités est constamment utilisée en analyse statistique. Elle permet notamment de déterminer statistiquement la probabilité d'un événement qui ne peut pas être testé directement. Par exemple, sachant que la probabilité d'obtenir un total de 7 en lançant deux dés est de 1/6, on peut en déduire que si deux dés non pipés sont lancés de façon aléatoire un très grand nombre de fois, environ un sixième des résultats sera égal à 7. Inversement, selon des statistiques à long terme, on sait que sur 100 personnes âgées de 20 à 30 ans, 42 seront encore en vie à 70 ans. On en déduit par conséquent que la probabilité pour qu'une personne âgée de 20 à 30 ans vive jusqu'à l'âge de 70 ans est de 42 p. 100. Les probabilités mathématiques sont largement utilisées en physique, en biologie, en sciences sociales ainsi que dans l'industrie et le commerce. Elles font l'objet d'applications dans des domaines aussi variés que la génétique, la physique quantique ou la bourse et les assurances. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.