Sujet Bac Maths TLE D

« Terminale Spécialité Décembre 2023 4 heures BAC BLANC N°1 DE MATHEMATIQUES Tous les exercices sont à faire sur une copie double.

Veillez à la présentation de votre copie, à l’orthographe et encadrez vos résultats. CALCULATRICES AUTORISEES Exercice n°1 : Suites et Probabilités : 5 points Un site internet propose des jeux en ligne. Partie 𝑨 : Pour un premier jeu : 2 • Si l’internaute gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la partie suivante est égale à 5. 4 • Si l’internaute perd une partie, la probabilité qu’il perde la partie suivante est égale à 5. Pour tout entier naturel non nul 𝑛, on désigne par 𝐺𝑛 l’évènement « l’internaute gagne la 𝑛ième partie » et on note 𝑝𝑛 la probabilité de l’évènement 𝐺𝑛 . L’internaute gagne toujours la première partie et donc 𝑝1 = 1 1.

Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant : 1 1 2.

Montrer que, pour tout entier naturel 𝑛 non nul, 𝑝𝑛+1 = 5 𝑝𝑛 + 5. 1 3.

Pour tout entier naturel 𝑛 non nul, on pose 𝑢𝑛 = 𝑝𝑛 − 4. a) Montrer que (𝑢𝑛 ) est une suite géométrique de raison 1 5 et de premier terme 𝑢1 à préciser. 3 1 𝑛−1 b) Montrer que, pour tout 𝑛 entier naturel non nul, 𝑝𝑛 = 4 × (5) c) Déterminer la limite de 𝑝𝑛 . 1 + 4. Partie 𝑩 : Dans un second jeu, le joueur doit effectuer 10 parties. On suppose que toutes les parties sont indépendantes. 1 La probabilité de gagner chaque partie est égale à 4. Soit 𝑋 la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur. 1.

a) Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire 𝑋 ? Justifier. b) Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins une partie ? Le résultat sera arrondi à 10−2 près. c) Déterminer l’espérance de 𝑋. 2.

Le joueur doit payer 30€ pour jouer les 10 parties. Chaque partie gagnée lui rapporte à 8€. a) Expliquer pourquoi ce jeu est désavantageux pour le joueur. b) Calculer la probabilité pour un joueur de réaliser un bénéfice supérieur ou égal à 40€ ? Le résultat sera arrondi à 10−5 près. Exercice n°2 : Etude de fonction : 6 points Partie 𝑨 : Soit 𝑔 la fonction définie sur [0; +∞[ par 𝑔(𝑥) = 𝑒 𝑥 − 𝑥𝑒 𝑥 + 1. 1.

Déterminer la limite de 𝑔 en +∞. 2.

Etudier les variations de la fonction 𝑔 et dresser le tableau de variations de 𝑔. 3.

a) Démontrer que l’équation 𝑔(𝑥) = 0 admet sur [0; +∞[ une unique solution.

On note 𝛼 cette solution. b) A l’aide de la calculatrice, donner un encadrement d’amplitude 10−2 de 𝛼. 1 c) Démontrer que 𝑒 𝛼 = 𝛼−1. 4.

Déterminer le signe de 𝑔(𝑥) suivant les valeurs de 𝑥. Partie 𝑩 : 4𝑥 Soit 𝐴 la fonction définie et dérivable sur [0; +∞[ telle que 𝐴(𝑥) = 𝑒 𝑥 +1. 1.

Déterminer que pour tout réel 𝑥 positif ou nul, 𝐴′ (𝑥) a le même signe que 𝑔(𝑥), où 𝑔 est la fonction définie dans la partie 1. 2.

En déduire les variations de la fonction 𝐴 sur [0; +∞[. Partie 𝑪 : 4 On considère la fonction 𝑓 définie sur [0; +∞[ par 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 +1. On note (𝐶) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (𝑂 ; 𝑖⃗ ; 𝑗⃗). La figure est donnée ci-dessous : Pour tout réel 𝑥 positif ou nul, on note : • 𝑀 le point de (𝐶) de coordonnées (𝑥; 𝑓(𝑥)). • 𝑃 le point de coordonnées 𝑃(𝑥; 0). • 𝑄 le point de coordonnées (0; 𝑓(𝑥)). 1.

Démontrer que l’aire du rectangle 𝑂𝑃𝑀𝑄 est maximale lorsque 𝑀 a pour abscisse 𝛼. On rappelle que le réel 𝛼 a été défini dans la partie 1. 2.

Le point 𝑀 a pour abscisse 𝛼. La tangente (𝑇) en 𝑀 à la courbe (𝐶) est-elle parallèle à la droite (𝑃𝑄) ? Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Exercice n°3 : Suites numériques : 5 points On considère la suite (𝑢𝑛 ) telle que 𝑢0 = 0 et pour tout entier naturel 𝑛 : 𝑢𝑛+1 = −𝑢𝑛 − 4 𝑢𝑛 + 3 On admet que 𝑢𝑛 est défini pour tout entier naturel 𝑛. 1.

Calculer les valeurs exactes de 𝑢1 et 𝑢2 . 2.

On considère la fonction terme ci-dessous écrite de manière incomplète en langage Python : On rappelle qu’en langage Python, « i in range (𝑛) » signifie que 𝑖 varie de 0 à 𝑛 − 1. Recopier et compléter le cadre ci-dessus de sorte que, pour tout entier naturel 𝑛, l’instruction terme(𝑛) renvoie la valeur de 𝑢𝑛 . 3.

Soit 𝑓 la fonction 𝑓 définie sur ] − 3; ∞[ par : 𝑓(𝑥) = −𝑥 − 4 𝑥+3 Ainsi, pour tout entier naturel 𝑛, on a 𝑢𝑛+1 = 𝑓(𝑢𝑛 ). Démontrer que la fonction 𝑓.... »