limité (développement).

limité (développement). approximation d'une fonction par une fonction polynomiale au voisinage d'un point. Pour alléger les notations, considérons une fonction numérique f définie sur un intervalle I contenant le nombre 0. Développement limité à l'ordre 0. La fonction f admet un développement limité à l'ordre 0 au voisinage de 0 si elle peut être approchée par une fonction constante ; celle-ci est nécessairement égale à la valeur prise par f en 0. Autrement dit, f (x) = f(0) + f (x), où la fonction f admet 0 pour limite en 0. Développement limité à l'ordre 1. De même, on dit que la fonction f admet un développement limité à l'ordre 1 au voisinage de 0 si elle peut être approchée par une fonction affine : f (x) = a0 + a1x + xf (x), où lim f = 0. Cela équivaut à dire que f est dérivable en 0. Plus précisément, a0 = f(0) et a1= f '(0). En résumé, les notions de développements limités à l'ordre 0 et à l'ordre 1 se confondent avec celles de continuité et de dérivabilité en 0. Développement limité à l'ordre n. Soit n un nombre entier naturel. On dit plus généralement que f admet un développement limité à l'ordre n au voisinage de 0 s'il existe une fonction polynomiale P de degré maximal n telle que f (x) = P(x) + x nf (x), avec limite en 0 de f = 0, ou encore f(x)= P(x) + 0(x n). (Voir Landau). Une telle fonction P est unique. Pour que f admette un développement limité à l'ordre n au voisinage de 0, il suffit que f admette une dérivée n-ième en ce point. (En particulier, une fonction indéfiniment dérivable admet un développement limité à tout ordre.) Le développement limité de f est alors donné par la formule de Maclaurin-Young : Développements limités classiques. Les suites géométriques fournissent un exemple fondamental : On obtient la plupart des autres développements limités à partir de la formule de Maclaurin-Young ; on utilise également les opérations algébriques, la composition des fonctions, la dérivation et l'intégration. Voici quelques résultats classiques : En revanche, dans le cas de la fonction tangente, le résultat ne peut s'écrire facilement à l'ordre n. On peut retenir : Extensions de la notion de développement limité. Soit x0 un nombre réel. En remplaçant x par x - x0, on obtient la notion de développement limité au voisinage de x0. De même, en introduisant la variable auxiliaire , on définit les développe ments limités au voisinage de + ¥ ou de - ¥ , appelés alors plutôt « développements asymptotiques ».