CHAOS, FRACTALES, COMPLEXITÉ (Sciences et Techniques)

« de souligner les aspects fondamentaux du mouvement déterminé par le phénomène élastique et d'écarter lesaspects de moindre importance pour sa compréhension.

C'est ainsi que nous pouvons mesurer la masse de laballe (en grammes, par exemple), mais considérer comme négligeable la masse du ressort, c'est-à-diresupposer que cette masse est nulle (bien entendu, si cela était vrai dans la réalité, le ressort n'existerait pas et iln'y aurait pas de mouvement, ce qui représente un beau paradoxe !).

Nous pouvons aussi complètement ignorerle frottement, qui est pourtant présent dans les expériences réelles.

En outre, seul le déplacement longitudinal dela balle nous intéressera, si bien que, même si le système physique est placé dans l'espace réel à troisdimensions (longueur, largeur, profondeur) et que nous le dessinons schématiquement en deux dimensions (lesdimensions de l'écran de l'ordinateur), nous le pensons en une seule dimension.

Pour ce faire, nous nousreprésentons la balle comme réduite à un point.

On peut réaliser de nombreuses expériences avec des balles de poids différents (50 g, 100 g, etc.), avec desressorts de matériaux plus ou moins élastiques, et en soumettant le ressort à un allongement initial de taillesdifférentes (de 3 cm ou de 10 cm, etc.).

Du point de vue mathématique, nous pouvons toutefois décrire en unseul système tous ces cas particuliers, et représenter de façon très générale les quantités par des lettresindiquant tant les quantités constantes que les quantités variables.

Sont définies comme constantes lesgrandeurs qui restent fixes pour chaque expérience ; dans ce cas, la masse de la balle, que nous désignons parla lettre m, et la constante élastique du ressort, que nous indiquons par k.

Sont définies comme variables lesgrandeurs qui reçoivent des valeurs différentes aux différents moments de la période de temps pendant laquellele phénomène a lieu.

Dans notre exemple, il n'y a qu'une variable, x, c'est-à-dire la distance parcouruelongitudinalement.

On l'écrit parfois x(t) pour souligner le fait qu'elle dépend du temps.À ce stade, la loi de Hooke peut être écrit en langage mathématique : F = -kx Nous avons de la sorte une première « formule », c'est-à-dire l'une de ces écritures symboliques dont laphysique se sert habituellement.

F représente la force, et la formule nous dit qu'elle est proportionnelle à ladéformation.

En outre, la proportion dépend des caractéristiques de la matière élastique du ressort, qui sontdonnées par la constante caractéristique : k.Examinons maintenant le mouvement de façon plus détaillée.

La balle acquiert une vitesse v.

Dans unmouvement à vitesse constante, comme nous le savons, la vitesse peut être calculée en divisant l'espaceparcouru par le temps écoulé.

Mais dans ce cas, la vitesse change continuellement.

La vitesse de la balle à toutinstant est alors mesurée mathématiquement par la dérivée de l'espace par rapport au temps : Mais la vitesse aussi varie avec le temps, autrement dit le mouvement est accéléré.

L'accélération est donnéepar la dérivée de la vitesse par rapport au temps : En d'autres termes, l'accélération est la dérivée de la dérivée de l'espace par rapport au temps ou, comme on. »