Complexe

« · A propos du plan : 1.

Définition et propriétés : On dit qu’un vecteurur est normal (ou orthogonal) à un plan P si ur est orthogonal à tous vecteurs de P Pour qu’un vecteur u r soit orthogonal à P il suffit qu’il soit orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P . Enfin, tous les vecteurs orthogonaux à un plan P sont colinéaires entre eux ce qui signifie que leurs coordonnées sont proportionnelles . 2.

Théorème : Tout plan P a une équation cartésienne de la forme 0 ax by cz d +++= avec ( ) ( ) , , 0, 0, 0a b c ¹ .

De plus, le vecteur u r de coordonnées ( ) , ,a b c est un vecteur normal à P .

Réciproquement, l’ensemble des points M de coordonnées ( ) , ,x y z tel que 0ax by cz d + + + = où ( ) ( ) , , 0, 0, 0a b c ¹ est un plan qui a pour vecteur normal le vecteur u r de coordonnées ( ) , ,a b c . 3.

Définition : La projection orthogonale sur le plan P est l’application qui à un point 0 M associe le point m, tel que m soit l’intersection du plan P et de la droite passant par 0 M et perpendiculaire à P . 4.

Définition : Soit 0 M le point de coordonnées ( ) 0 0 0 , ,x y z et P le plan d’équation 0ax by cz d + + + = .

Alors la distance du point 0 M au plan P notée ( ) 0, d M P est le réel positif donné par : ( ) 0 0 0 0 0, ² ² ² ax by cz d d M P M m a b c + + + = = + + · A propos des droites : 1.

Théorème : Soit D la droite passant par le point A de coordonnées ( ) , , A A Ax y z et de vecteur directeur le vecteur ur de coordonnées ( ) , , a b g .

Alors un système d’équations paramétriques de la droite D est donné par : : A A A x x k D y y k z z k a b g = + ì ï = + í ï = + î kÎ ¡ Réciproquement, un tel système avec ( ) ( ) , , 0, 0, 0a b c ¹ définit une droite. 2.

Propriétés : Soit D et 'D deux droites de vecteur directeur u r et v r . On dit que les droites D et 'D sont parallèles si et seulement si les vecteurs ur et vr sont colinéaires , c’est-à-dire si et seulement si il existe un réel k tel que u kv=r r . On dit que les droites D et 'D sont perpendiculaires ou orthogonales si et seulement si. »