cours de TRIGONOMETRIE

« TRIGONOMETRIE  Valeurs remarquables : 𝑥 0 cos 𝑥 1 sin 𝑥 0 tan 𝑥 0 𝜋 𝜋 𝜋 6 4 3 √3 √2 1 2 2 2 1 √2 √3 2 2 2 √3 1 √3 3 𝜋 2 𝜋 0 −1 1 0 0  Les élémentaires: ∀𝑥 ∈ℝ −1 ≤ cos 𝑥 ≤ 1 −1 ≤ sin 𝑥 ≤ 1 cos2 𝑥 + sin2 𝑥 = 1 𝜋 ∀ 𝑥 ≠ + 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ 2 sin 𝑥 tan 𝑥 = cos 𝑥 1 1 + tan 𝑥 = cos 2 𝑥 2 2  Angles associés à 𝑥 : Tour cos(𝑥 + 2𝜋) = cos 𝑥 sin(𝑥 + 2𝜋) = sin 𝑥 tan(𝑥 + 2𝜋) = tan 𝑥 Angle opposé cos(−𝑥 ) = cos 𝑥 sin(−𝑥 ) = − sin 𝑥 tan(−𝑥 ) = − tan 𝑥 Demi-tour cos(𝑥 + 𝜋) = − cos 𝑥 sin(𝑥 + 𝜋) = − sin 𝑥 tan(𝑥 + 𝜋) = − tan 𝑥 Quart de tour direct 𝜋 cos (𝑥 + ) = − sin 𝑥 2 𝜋 sin (𝑥 + ) = cos 𝑥 2 𝜋 1 tan (𝑥 + ) = − 2 tan 𝑥 Quart de tour indirect Angle supplémentaire Angle complémentaire 𝜋 𝜋 cos (𝑥 − ) = sin 𝑥 cos ( − 𝑥) = sin 𝑥 2 2 cos(𝜋 − 𝑥 ) = − cos 𝑥 𝜋 𝜋 ( ) sin 𝜋 − 𝑥 = sin 𝑥 sin (𝑥 − ) = − cos 𝑥 sin ( − 𝑥) = cos 𝑥 2 2 ( ) tan 𝜋 − 𝑥 = − tan 𝑥 𝜋 1 𝜋 1 tan (𝑥 − ) = − tan ( − 𝑥) = 2 tan 𝑥 2 tan 𝑥 3  Formules d’addition : cos(𝑎 + 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 − sin 𝑎 sin 𝑏 cos(𝑎 − 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 + sin 𝑎 sin 𝑏 tan 𝑎 + tan 𝑏 tan(𝑎 + 𝑏) = 1 − tan 𝑎 tan 𝑏 sin(𝑎 + 𝑏) = sin 𝑎 cos 𝑏 + cos 𝑎 sin 𝑏 tan(𝑎 − 𝑏) = tan 𝑎 − tan 𝑏 1 + tan 𝑎 tan 𝑏 sin(𝑎 − 𝑏) = sin 𝑎 cos 𝑏 − cos 𝑎 sin 𝑏  Formules de duplication : cos 2𝑥 = cos 2 𝑥 − sin2 𝑥 = 2 cos 2 𝑥 − 1 = 1 − 2 sin2 𝑥 sin 2𝑥 = 2 sin 𝑥 cos 𝑥 tan 2𝑥 = 2 tan 𝑥 1 − tan2 𝑥 1 + cos 2𝑥 cos 𝑥 = 2 1 − cos 2𝑥 sin2 𝑥 = 2 2 4  Transformation de Produits en Sommes : 1 cos 𝑎 cos 𝑏 = [cos(𝑎 − 𝑏) + cos(𝑎 + 𝑏)] 2 1 sin 𝑎 cos 𝑏 = [sin(𝑎 − 𝑏) + sin(𝑎 + 𝑏)] 2 1 sin 𝑎 sin 𝑏 = [cos(𝑎 − 𝑏) − cos(𝑎 + 𝑏)] 2 1 cos 𝑎 sin 𝑏 = − [sin(𝑎 − 𝑏) − sin(𝑎 + 𝑏)] 2  Transformation de Sommes en Produits : 𝑝+𝑞 𝑝−𝑞 cos 𝑝 + cos 𝑞 = 2 cos ( ) cos ( ) 2 2 𝑝+𝑞 𝑝−𝑞 cos 𝑝 − cos 𝑞 = −2 sin ( ) sin ( ) 2 2 𝑝+𝑞 𝑝−𝑞 sin 𝑝 + sin 𝑞 = 2 sin ( ) cos ( ) 2 2 sin 𝑝 − sin 𝑞 = 2 sin ( 𝑝−𝑞 2 ) cos ( 𝑝+𝑞 2 ) 5  Equations trigonométriques : 𝑢 = 𝑣 + 2𝑘𝜋 ( cos 𝑢 = cos 𝑣 ⟺ { 𝑘 ∈ ℤ) 𝑢 = − 𝑣 + 2𝑘𝜋 ∀ 𝑢 ∈ ℝ ,∀ 𝑣 ∈ ℝ 𝑢 = 𝑣 + 2𝑘𝜋 (𝑘 ∈ ℤ) sin 𝑢 = sin 𝑣 ⟺ { 𝑢 = 𝜋 − 𝑣 + 2𝑘𝜋 𝜋 𝜋 ∀ 𝑢 ≠ + 𝑘𝜋, ∀ 𝑣 ≠ + 𝑘𝜋 2 2 tan 𝑢 = tan 𝑣 ⟺ 𝑢 = 𝑣 + 𝑘𝜋 (𝑘 ∈ ℤ)  Equations particulières : 𝜋 cos 𝑡 = 0 ⇔ 𝑡 = + 𝑘𝜋 2 sin t = 0 ⇔ 𝑡 = 𝑘𝜋 cos 𝑡 = −1 ⇔ 𝑡 = 𝜋 + 2𝑘𝜋 𝜋 sin t = −1 ⇔ 𝑡 = − + 2𝑘𝜋 2 cos 𝑡 = 1 ⇔ 𝑡 = 2𝑘𝜋 𝜋 sin t = 1 ⇔ 𝑡 = + 2𝑘𝜋 2 6  Factorisation de 𝑎 cos 𝜔𝑥 + 𝑏 sin 𝜔𝑥 : Mettre √𝒂² + 𝒃² en facteur 𝑎 𝑏 √ 𝑎 cos 𝜔𝑥 + 𝑏 sin 𝜔𝑥 = 𝑎² + 𝑏² ( cos 𝜔𝑥 + sin 𝜔𝑥) √𝑎² + 𝑏² √𝑎² + 𝑏² Factorisation en cosinus 𝑎 cos 𝛼 = √𝑎²+𝑏² ] ] Chercher 𝛼 ∈ −𝜋 ; 𝜋 ⁄{ 𝑏 sin 𝛼 = √𝑎²+𝑏² On a alors : 𝑎 cos 𝜔𝑥 + 𝑏 sin 𝜔𝑥 = √𝑎2 + 𝑏 2 (cos 𝛼 cos 𝜔𝑥 + sin 𝛼 sin 𝜔𝑥 ) 𝑎 cos 𝜔𝑥 + 𝑏 sin 𝜔𝑥 = √𝑎² + 𝑏² cos(𝜔𝑥 − 𝛼) Factorisation en sinus 𝑎 sin 𝛽 = √𝑎²+𝑏² ] ] Chercher 𝛽 ∈ −𝜋 ; 𝜋 ⁄{ 𝑏 cos 𝛽 = √𝑎²+𝑏² On a alors : 𝑎 cos 𝜔𝑥 + 𝑏 sin 𝜔𝑥 = √𝑎2 + 𝑏 2 (sin 𝛽 cos 𝜔𝑥 + cos 𝛽 sin 𝜔𝑥 ) 𝑎 cos 𝜔𝑥 + 𝑏 sin 𝜔𝑥 = √𝑎² + 𝑏² sin(𝜔𝑥 + 𝛽) 7  Quelques résultats utiles : cos(𝑘𝜋) = (−1)𝑘 { ∀ 𝑘 ∈ ℤ, sin(𝑘𝜋) = 0 ∀ 𝑥 ∈ ℝ, ∀ 𝑘 ∈ ℤ, 𝜋 sin ( + 𝑘𝜋) = (−1)𝑘 2 𝜋 cos ( + 𝑘𝜋) = 0 { 2 cos(𝑥 + 𝑘𝜋) = (−1)𝑘 cos 𝑥 cos(𝑘𝜋 − 𝑥 ) = (−1)𝑘 cos 𝑥 sin(𝑥 + 𝑘𝜋) = (−1)𝑘 sin 𝑥 { sin(𝑘𝜋 − 𝑥 ) = −(−1)𝑘 sin 𝑥 { 8 NOMBRES COMPLEXES  Les différentes formes d’un nombre complexe : Soient (𝑎 , 𝑏 , 𝜃) ∈ ℝ3 et 𝑟 ∈ ℝ∗+ Forme algébrique Forme trigonométrique Forme exponentielle 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃) 𝑧 = 𝑟𝑒 𝑖𝜃 𝑎 𝑎 = ℜ𝑒(𝑧) et 𝑏 = ℑ𝑚(𝑧) cos 𝜃 = 𝑟 𝑟 = |𝑧| = √𝑎2 + 𝑏 2 et 𝜃 = 𝑎𝑟𝑔(𝑧) ⟺ { 𝑏 sin 𝜃 = 𝑟  Egalité de deux nombres complexes : Avec les formes algébriques 𝒛 = 𝒂 + 𝒊𝒃 et 𝒛′ = 𝒂′ + 𝒊𝒃′ Avec les formes exponentielles 𝒊𝜽 ′ 𝒊𝜽′ 𝒛 = 𝒓𝒆 et 𝒛 = 𝒓′𝒆 𝑧 = 𝑧 ⟺ {𝑎 = 𝑎′ 𝑏 = 𝑏′ 𝑎=0 En particulier :𝑧 = 0 ⟺ { 𝑏=0 𝑟 = 𝑟′ 𝑧=𝑧 ⟺{ 𝜃 = 𝜃 ′ + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ ′ ′ 10  Conjugué d’un nombre complexe : Propriétés Soit 𝒛 ∈ ℂ   𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 ⟺ 𝑧̅ = 𝑎 − 𝑖𝑏 𝑧 = 𝑟𝑒 𝑖𝜃 ⟺ 𝑧̅ = 𝑟𝑒 − 𝑖𝜃  𝑧 + 𝑧̅ = 2ℜ𝑒(𝑧)  𝑧 − 𝑧̅ = 2ℑ𝑚(𝑧)  𝑧𝑧̅ = |𝑧|2 1̅ 1  = si 𝑧 ≠ 0 𝑧 𝑧̅ 𝑛 = 𝑧̅ 𝑛 ∀ 𝑛 ∈ ℤ  𝑧̅̅̅ Soient Soit 𝒛 et𝒛′ ∈ ℂ    ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑧 + 𝑧 ′ = 𝑧̅ + 𝑧̅′ ̅̅̅̅ 𝑧𝑧 ′ = 𝑧̅𝑧̅′ ̅𝑧 = 𝑧̅ si 𝑧′ ≠ 0 ̅̅̅′ ′ 𝑧 𝑧  Module d’un nombre complexe : Propriétés  |𝑧 | = 0 ⟺ 𝑧 = 0  |−𝑧| = |𝑧| et |𝑧̅| = |𝑧|  |𝑧 ′ | = |𝑧′| 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑧′ ≠ 0  |𝑧 + 𝑧 ′ | ≤ |𝑧| + |𝑧′|  |𝑧𝑧′| = |𝑧||𝑧′| 𝑧 |𝑧|  |𝑧 𝑛 | = |𝑧 |𝑛 ∀ 𝑛 ∈ ℤ 11  Arguments : Si 𝒛 et𝒛′ sont deux nombres complexes non nuls, alors :  𝑎𝑟𝑔(𝑧𝑧′) = 𝑎𝑟𝑔(𝑧) + 𝑎𝑟𝑔(𝑧′) 𝑧  𝑎𝑟𝑔 ( ′ ) = 𝑎𝑟𝑔(𝑧) − 𝑎𝑟𝑔(𝑧′) 𝑧 1  𝑎𝑟𝑔 ( ) = −𝑎𝑟𝑔(𝑧)  𝑎𝑟𝑔(𝑧 𝑛 ) = 𝑛𝑎𝑟𝑔(𝑧) 𝑧  Formules d’Euler et Formule de Moivre : Formules d’Euler Formule de Moivre ∀𝜃 ∈ℝ∶ cos 𝜃 = 𝑒 𝑖𝜃 + 𝑒 − 𝑖𝜃 2 et sin 𝜃 = 𝑒 𝑖𝜃 − 𝑒 − 𝑖𝜃 2𝑖 ∀ 𝜃 ∈ ℝ, ∀ 𝑛 ∈ ℤ ∶ 𝑛 𝑛 𝑖𝜃 (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃) = cos 𝑛𝜃 + 𝑖 sin 𝑛𝜃 ou (𝑒 ) = 𝑒 𝑖𝑛𝜃 12  Equation du second degré 𝒂𝒛𝟐 + 𝒃𝒛 + 𝒄 = 𝟎 : Discriminant ∆= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 Si ∆≥ 0 alors 𝑧1 = −𝑏 − √∆ 2𝑎 et 𝑧2 = −𝑏 + √∆ 2𝑎 ∆ est un réel Si ∆< 0 alors 𝑧1 = −𝑏 − 𝑖√−∆ 2𝑎 et 𝑧2 = −𝑏 +𝑖 √−∆ 2𝑎 𝑥2 − 𝑦2 = 𝑎 ∆ n’est pas un réel Pour 𝛿 = 𝑥 + 𝑖𝑦, 𝛿 2 = ∆ ⟺ {𝑥 2 + 𝑦 2 = √𝑎2 + 𝑏 2 2𝑥𝑦 = 𝑏 Et alors 𝑧1 = −𝑏 − 𝛿 2𝑎 et 𝑧2 =.... »