Algebra - Mathematik.

« abstrakten Ansatz beeinflusst, verfasste George Boole The Laws of Thought (1854), eine algebraische Abhandlung der grundlegenden Logik (Boole’sche Algebra). Niels Henrik Abel (1802-1829)Porträt des norwegischen Mathematikers Niels Henrik Abel, der u.

a.

grundlegende Arbeiten über die Auflösungstheorie algebraischerGleichungen lieferte.

Abel starb im Alter von 26 Jahren an Tuberkulose.Roger Viollet/Getty Images Die Axiomatisierung erfasste in der zweiten Hälfte des 19.

Jahrhunderts unter den Händen von Camille Jordan, Richard Dedekind, Leopold Kronecker, um nur einigeForscher zu nennen, immer weitere mathematische Objekte und fand ihren ersten systematischen Niederschlag in dem Lehrbuch der Algebra von Heinrich Weber (1895/96). Doch waren diese Axiomatisierungen stets auf konkrete traditionelle Objekte der Mathematik gerichtet, wie Zahlentheorie, Galoistheorie oder Transformationsgruppen.Wesentliche Anstöße zur völligen Loslösung von konkreten Objekten gingen von Ernst Steinitz und von der Göttinger Schule unter Felix Klein, David Hilbert und Emmy Nöther aus.

Steinitz hatte 1910 mit seiner fundamentalen Arbeit über die Algebraische Theorie der Körper erstmals eine rein auf axiomatischer Grundlage beruhende Untersuchung der Struktur der Körper vorgelegt und damit die Epoche der abstrakten Algebra eingeleitet.

Diese strukturelle Methode wurde in der Folge auf andereStrukturen angewendet und fand 1930/31 in dem Lehrbuch Moderne Algebra von Bartel L.

van der Waerden ihren wichtigsten und einflussreichsten Ausdruck.

Das Lehrbuch, seit 1955 unter dem Titel Algebra, ist noch heute eine unübertroffene Einführung in die Algebra.

Ein vollständig systematischer Aufbau der Algebra in größter Allgemeinheit wurde 1942 bis 1948 von der Gruppe Nicolas Bourbaki im Rahmen einer Gesamtdarstellung der Mathematik unternommen.

In den letzten Jahrzehnten haben sich – nichtzuletzt durch das Vordringen der Computer – neue konkrete Fragen der Algebra gestellt, wie z.

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die algebraische Kodierungstheorie und Kryptographie.

Gegenüber demStrukturdenken tritt hier der algorithmische Gesichtspunkt wieder in den Vordergrund.

In diesem Sinn dringt die Algebra auch in neue, informatiknahe Anwendungsgebietevor.

Waren früher die Methoden der Analysis in den Anwendungen der Mathematik beherrschend, so treten ihnen heute die algebraischen Methoden gleichbedeutend zurSeite. 3 VERKNÜPFUNGEN Die Algebra untersucht Strukturen .

Das sind Mengen, auf denen eine oder mehrere Verknüpfungen zwischen den Elementen definiert sind.

Eine Verknüpfung ∘ auf der Menge M ordnet jedem Paar von Elementen a, b aus M eindeutig ein Element c aus M zu, das dann mit c = a ∘ b bezeichnet wird.

Beispielsweise sind die Addition und Multiplikation auf der Menge der ganzen Zahlen Verknüpfungen, die je zwei ganzen Zahlen ihre Summe bzw.

ihr Produkt zuordnen. Für diese Verknüpfungen fordert man gewisse Rechenregeln, wie wir sie z.

B.

bei den ganzen Zahlen kennen.

Eine meist geforderte Regel ist das Assoziativgesetz: (a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c).Oft wird auch das Kommutativgesetz gefordert: a ∘ b = b ∘ a.Gibt es ein Element e, das sich bezüglich der Verknüpfung neutral verhält, also für alle a aus M gilt: a ∘ e = a,so heißt e neutrales Element der Verknüpfung.

Bei der Addition ganzer Zahlen ist z.

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die Null das neutrale Element bezüglich der Addition und die Eins das neutrale Element bezüglich der Multiplikation. Besitzt die Verknüpfung ein neutrales Element e, so heißt ein Element b inverses Element von a, wenn gilt: a ∘ b = e.

Bei den ganzen Zahlen ist z.

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- a das inverse Element zu a bezüglich der Addition.

Dagegen besitzt nur die Eins ein Inverses in der Menge der ganzen Zahlen bezüglich der Multiplikation, nämlich sich selbst. Zu jeder Struktur gehören diejenigen Abbildungen, welche die Verknüpfung respektieren: Sind ( M, ∘) und ( M ′, ∘′ ) Mengen mit Verknüpfungen, so heißt eine Abbildung F: M→M ′ ein Homomorphismus, wenn für alle a, b aus M gilt: F(a ∘ b) = F(a) ∘ F ′(b) F heißt ein Isomorphismus , wenn F eine Umkehrabbildung ( siehe Abbildung) besitzt, die ebenfalls ein Homomorphismus ist.

Solche Strukturen heißen dann isomorph, sind also in ihren algebraischen Eigenschaften als gleich anzusehen.

Es ist eines der Ziele der Algebra, algebraische Strukturen bis auf Isomorphie zu klassifizieren. Im Folgenden werden einige wichtige Strukturen der Algebra und Beispiele dazu vorgestellt. 3.1 Gruppen Eine Gruppe besteht aus einer Menge mit einer assoziativen Verknüpfung, die ein neutrales Element und zu jedem Element ein Inverses besitzt. 3.2 Körper Ein Körper besteht aus einer Menge mit zwei Verknüpfungen, der Addition + und der Multiplikation ·.

Bezüglich der Addition bildet die Menge eine kommutative Gruppe.Bezüglich Multiplikation bilden die von Null verschiedenen Elemente ebenfalls eine kommutative Gruppe.

Für das Rechnen mit den beiden Verknüpfungen gelten dieDistributivgesetze oder Klammerregeln ( siehe Arithmetik).

Beispiele für Körper sind die rationalen Zahlen (Brüche), die reellen Zahlen (Dezimalbrüche) und die komplexen Zahlen ( siehe Zahl).

Diese Körper haben unendlich viele Elemente.

Es gibt aber auch Körper, die nur aus endlich vielen Elementen bestehen, z.

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bilden die Restklassen modulo einer Primzahl p (siehe Zahlentheorie) einen Körper mit p Elementen.

Die Klassifizierung der endlichen Körper geht schon auf Évariste Galois zurück, weshalb man sie auch Galoisfelder nennt. 3.3 Ringe Ein Ring R besteht aus einer Menge mit zwei Verknüpfungen, der Addition + und der Multiplikation ·, wobei aber im Gegensatz zur Definition eines Körpers jetzt von der Multiplikation nur das Assoziativgesetz gefordert wird.

Besitzt die Multiplikation ein neutrales Element (Eins-Element), so heißt R eine Ring mit Eins, ist die Multiplikation kommutativ, so heißt R ein kommutativer Ring . Das Urbeispiel eines kommutativen Ringes mit Eins ist der Ring der ganzen Zahlen .

Eine wichtige Erweiterung des Ringes der ganzen Zahlen ist der Ring der ganzenGauߒschen Zahlen, der aus allen komplexen Zahlen der Gestalt a + b·i besteht, wobei i die imaginäre Einheit und a und b ganze Zahlen sind.

Hieraus entstanden später die Ringe der ganzen algebraischen Zahlen. Ein weiteres wichtiges Beispiel eines kommutativen Ringes mit Eins ist der Ring der Polynome, der im Abschnitt „Polynomringe” ausführlicher behandelt wird.

Beispiele fürRinge, in denen die Multiplikation nicht kommutativ ist, sind die Quaternionen und der Ring der n×n-Matrizen bezüglich Addition und Multiplikation von Matrizen ( siehe Matrizenrechnung). 4 POLYNOMRINGE. »