Calcul Matriciel MPSIA

« Calcul Matriciel MPSIA Guillaume Hervé Dans ce chapitre, nous allons définir les éléments de base du calcul matriciel.

Nous définissons pour le moment les matrices comme des objets mathématiques isolés (nous verrons plus tard comment les matrices sont -également- un mode de réprésentation des applications linéaires en dimension finie).

Le but est pour le moment d’apprivoiser les notations matricielles ainsi que les calculs que l’on peut faire avec.

Les matrices nous serviront d’exemples non triviaux lors de l’étude des structures algébriques (anneaux et espaces vectoriels). Dans tout ce chapitre, K = R ou C, n et p sont des entiers naturels non nuls. I L’ensemble Mn,p (K) Définition 1.1 Une matrice n × p est une application de A : [[1, n]] × [[1, p]] → K. C’est-à-dire que à tout (i, j) ∈ [[1, n]] × [[1, p]] on associe une image A(i, j) ∈ K. Notations : Soit A une matrice n × p.

On note A ∈ Mn,p (K). On dit aussi que A est une matrice n-lignes et p-colonnes à coefficients dans K. Par défaut, on note aij = A(i, j) et A = (aij )1 6 i 6 n ∈ Mn,p (K), abrégé en A = (ai,j ) ∈ Mn,p (K). 16j 6p L’écriture Mn,p (K) désigne donc l’ensemble des matrices n × p à coefficients dans K. On simplifie l’écriture Mn,n (K) = Mn (K) dans le cas où n = p (matrices carrées). Enfin, on note aussi (surtout ?) les matrices sous la forme de tableaux entourés de parenthèses (ou de crochets).

Par exemples :   1  2  −1 , −2 0  A= 0 0  0   ∈ M4,6 (K),  B= 0  0 1 2  C=   n  1 2  n  ∈ Mn (K), .   Remarque : on note qu’il y a beaucoup d’implicite dans les définitions des matrices.

Cela ne pose en général pas de difficultés, mais il convient d’être clair sur les significations de ces implicites, afin d’éviter de grossières confusions.

On pourrait bien sûr décider de tout définir à chaque fois très précisément, mais cela engendrerait des lourdeurs d’écritures pénibles et finalement peu utiles mathématiquement. Proposition 1.2 (Égalité matricielle) Deux matrices A = (aij ) ∈ Mn,p (K) et B = (bij ) ∈ Mq,r (K) sont égales si et seulement si q = n, r = p et ∀(i, j) ∈ [[1, n]] × [[1, p]], aij = bij . Transposition Définition 1.3 Soit A = (aij ) ∈ Mn,p (K).

On définit la transposée de A par AT ∈ Mp,n (K) avec pour tout (i, j) ∈ [[1, p]] × [[1, n]], (AT )ij = aji . Remarques : — On trouve aussi la notation tA pour AT .

La notation AT tend à s’imposer, nous nous efforcerons de la suivre. — La contraposée n’est pas un concept difficile.

Cependant, méfiez vous de l’écriture rapide hh AT = (aji ) ii qui apporte beaucoup de confusion et sera finalement source d’erreur pour les calculs hh théoriquesii .

Je vous recommande d’écrire plutôt (AT ) ij = aji avec i ∈ [[1, p]] et j ∈ [[1, n]]. 1. »