Cours primitive

« PRIMITIVES-ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Avant de commencer p284 ; Activités A&B p286 ; Sesamath Tle p203-205 1.

ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE y’ = f ET PRIMITIVES D’UNE FONCTION f Primitives d’une fonction continue sur un intervalle Définitions Soit F une fonction définie sur I.

On dit que F est une primitive de f sur I lorsque F est dérivable sur I et que F′ = f.

On dit alors que F est solution de l'équation différentielle y′ = f , d'inconnue la fonction y. Remarque La notation fonctionnelle y′ = f signifie que, pour tout x∈I, y′(x) = f (x). Exemples Les fonctions x ↦ x2 et x ↦ x2+1 sont des solutions sur ℝ de l'équation différentielle y′ = 2x d'inconnue y. Ces deux fonctions sont donc des primitives sur ℝ de la fonction x ↦ 2x. Théorème (admis) Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle. Remarques - Ce théorème est démontré dans le chapitre sur le calcul intégral. - On ne peut pas toujours expliciter les primitives d'une fonction continue sur un intervalle : c'est par 2 exemple le cas de la fonction de Gauss : x ↦ e - x .

Voir avec Scilab. Théorème Deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d'une constante. Remarque Si une fonction admet une primitive sur un intervalle, celle-ci n'est pas unique : il en existe une infinité. Démonstration Soient y1 et y2 deux solutions sur I de (E) : y′ = f .

On définit sur I la fonction g par g(x) = y2(x) − y1(x). Par hypothèse, les fonctions y1 et y2 sont dérivables sur I et on a y1′ = f et y2′ = f . Par conséquent, g = y2 − y1 est aussi dérivable sur I et g′ = y2′ − y1′ = 0. On en déduit que g est constante sur I.

Il existe donc un réel k tel que, pour tout x∈I, g(x) = k qui équivaut à y2(x) − y1(x) = k et enfin à y2(x) = y1(x) + k, d'où le résultat. Propriété Soient x0 un réel de I et y0 un réel quelconque.

L'équation différentielle (E) : y′ = f admet une unique solution F sur I telle que F(x0) = y0. Remarque - On rappelle que f est supposée continue. - La condition F(x0) = y0 est parfois appelée condition initiale, en référence à certaines situations rencontrées en physique (cf ActB p286). Exercice (cf p289) Déterminer la solution F de l'équation différentielle (E) : y′ = e2x vérifiant F(0) = -1. Méthode : on cherche une primitive G de x ↦e2x.

On utilise le deuxième théorème en posant F(x) = G(x) + k, avec k∈R.

On calcule enfin k avec la condition initiale.

Afaire ! Primitives des fonctions usuelles L'intervalle I devra être convenablement choisi.

Le réel k est une constante arbitraire.

On prend le plus souvent k égal à 0. Fonction f f (x )=a Une primitive F de f F (x)=ax+ k où a est un réel x2 F (x)= + k 2 f (x )=x f (x )=x f (x )= f ( x )=x n 3 x F (x)= + k 3 2 1 2 x F (x)= x n+ 1 F ( x)= +k n+ 1 où n est un entier distinct de -1 f (x )= 1 x F (x)=ln( x)+ k f (x )=exp( x) f (x )= −1 +k x F (x)=exp( x)+ k 1 √( x ) F (x)=2 √(x )+ k f (x )=cos (x ) F (x)=sin( x)+ k f (x )=sin( x) F ( x)=- cos( x)+ k Remarque On obtient ce tableau par lecture inverse du tableau des dérivées usuelles.

A savoir par coeur ! Primitives des formes usuelles Soit une fonction u définie et dérivable sur un intervalle I. Dans certains cas, u(x) devra être non nul ou encore strictement positif pour tout réel x de I. Si f est une fonction de la forme : u ' u n où n est un entier distinct de -1 Avec n=- 2 : u' =u ' u−2 2 u alors une primitive de f est : u n+ 1 n+ 1 −1 u u' où u≠0 sur I u ln(∣u∣) u' où u> 0 sur I √u 2√u u ' exp(u) exp( u) ATTENTION : ces résultats sont à savoir retrouver à l’aide de la propriété suivante.

A faire ! Propriété (admise) Soient v une fonction définie et dérivable sur un intervalle J et u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I telle que, pour tout x∈I, u(x)∈J. Alors v∘u est une primitive sur I de u′×(v′∘u). Remarque v∘u est une solution sur I de l'équation différentielle y′ = u′×(v′∘u). Opérations sur les primitives Propriété (admise) Soient F une primitive d'une fonction f et G une primitive d'une fonction g sur I. Alors la fonction f + g admet comme primitive sur I la fonction F+G et fonction λ f (avec λ∈R) admet comme primitive sur I la fonction λF. Remarque Contrairement à la dérivation, il n’existe aucune formule permettant de calculer une primitive du produit ou du quotient de deux fonctions. Exercice (cf p289) Résoudre l'équation (E) : y′ = x2 + cos(x) d'inconnue y définie sur ℝ . Méthode : on vérifie que la fonction f est continue et admet donc des primitives.

On utilise le tableau des primitives.

Les solutions de l'équation sont toutes les primitives : on ajoute donc une constante réelle k. A faire ! Exercice (cf p290) Résoudre l'équation différentielle (E) : y′ = x d'inconnue.... »