Grand oral: la convexité

« Introduction : Depuis des millénaires, les humains ont levé les yeux vers le ciel pour contempler les étoiles et comprendre notre place dans l'univers.

Avec l'avancée de la technologie, les télescopes ont été développés pour observer des objets célestes encore plus lointains et précisément dans la galaxie .

Dans ce contexte, le télescope James Webb, lancé en décembre 2021, a marqué un tournant dans l'histoire de l'astronomie.

Mais comment les définitions de la convexité on-t-elle contribué à la réalisation de cet exploit scientifique ? Pour répondre à cette question, nous commencerons par présenter les définitions et propriété de la convexité.

Ensuite, nous aborderons le problème de conception des miroirs et son lien avec les définitions de la convexité.

Pour enfin explorer les limitations de la convexité pour les futurs projets d’observations astronomiques I.

Comprendre la convexité La convexité est une notion mathématique qui décrit la forme de certaines structures géométriques. En géométrie plane, pour une fonction f dérivable sur un intervalle I La fonction f est dite convexe si, sur l'intervalle I, sa courbe représentative est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangente.

Réciproquement, une fonction g est concave sur un intervalle J, si sa courbe représentative est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes. D’un point de vu analytique une fonction f définie et dérivable sur un intervalle est convexe sur cet intervalle si sa dérivée f ' est croissante ce qui implique que sa dérivée seconde est positive pour tout x de l’intervalle contrairement a une fonction g concave qui verra sa dérivée f ' décroissante impliquant une dérivée seconde négative pour tout x de l’intervalle. Ainsi , des fonctions comme la fonction carré est convexe sur R et la fonction racine carré est concave sur [0;+∞[ Par exemple, en optique, la convexité est utilisée pour décrire la forme des lentilles et des miroirs qui permettent de former des images claires en fonction de divers paramètres.

La surface d'une lentille doit être convexe pour que les rayons lumineux qui la traversent soient focalisés sur un point précis ou concave diverger les rayons lumineux qui passent à travers elle, plutôt que de les focaliser en un point afin que ces rayons soit traités par d’autre instruments, comment cette théorie peut être utilisée pour optimiser la conception du télescope spatial James Webb? II.

La conception du télescope James Webb La conception de ce télescope spatial fut un processus complexe et difficile.

Les ingénieurs ont prendre en compte de nombreux facteurs, tels que la forme du miroir, la distance focale, l'instrumentation et la résolution spatiale.

De plus, les télescopes spatiaux doivent être conçus pour résister aux rigueurs de l'environnement spatial, notamment aux changements de température, aux radiations et aux vibrations. La théorie de la convexité peut offrir des outils précieux pour optimiser la conception du télescope James Webb.La forme convexe de la lentille principale permet à la lumière qui traverse le télescope d'être focalisée en un point précis, où se trouvent les instruments scientifiques.

Cela permet aux scientifiques d'obtenir des images beaucoup plus nettes et plus précises de l'univers, en capturant des rayons lumineux provenant de sources très lointaines.

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