le nombre d’or Idée de problématique : Le nombre d’or est-il vraiment une proportion universelle ou une construction mythifiée ?

« DM Maths : Grand Oral Partie A – Généralités : Le sujet : le nombre d’or Idée de problématique : Le nombre d’or est-il vraiment une proportion universelle ou une construction mythifiée ? Thème/Partie du programme : Raisonnent par récurrence + Second degré Partie B - Développement mathématique de votre sujet : Introduction : C’est quoi le nombre d’or ? Pourquoi certaines œuvres architecturales ou artistiques nous semblentelles naturellement harmonieuses ? Est-ce un simple hasard… ou une proportion mathématique qui se cache derrière cette sensation ? Depuis l’Antiquité, le nombre d’or, désigné par la lettre φ (phi), fascine autant les mathématiciens que les artistes.

On le retrouve dans les pyramides, les temples grecs, les peintures de Léonard de Vinci….

Il est souvent lié à une certaine idée d’harmonie ou de beauté, d’où son surnom de « proportion divine ».

Mais ce nombre est-il réellement une proportion universelle, ou bien un mythe amplifié au fil du temps ? I) Les origines et les propriétés du nombre d’or Connu depuis l’Antiquité mais de manière empirique, étudié par Pythagore au 6e siècle avant J.-C., le nombre d’or ne sera théorisé par écrit que trois siècles plus tard par le mathématicien grec Euclide.

Euclide étudie les polygones réguliers.

Partant d’un pentagone régulier inscrit dans un cercle, il montre comment le rapport de sa diagonale à son côté correspond au nombre d’or.

Ce rapport harmonique particulier s’exprime par un nombre que, par allusion au sculpteur Phidias, celui du Parthénon, on désigne plus tard par la lettre de l’alphabet grec : φ (phi).

Le nombre d'or est une proportion, définie initialement en géométrie comme l'unique rapport a/b entre deux longueurs a et b telles que le rapport de la somme a + b des deux longueurs sur la plus grande (a) soit égal à celui de la plus grande (a) sur la plus petite (b), ce qui s'écrit : Le découpage d'un segment en deux longueurs vérifiant cette propriété est appelé par Euclide découpage en « extrême et moyenne raison ». Pour mieux comprendre, on pose x=a/b , c’est-à-dire le rapport entre les deux parties En posant x = a/b, on obtient : On peut étudier se polynôme Avec Le nombre d’or possède quelques propriétés mathématiques étonnantes.

L’une des plus célèbres est : Cela signifie que si on élève le nombre d’or au carré, on obtient simplement phi augmenté de 1.

Ceci permet aussi d'écrire φ sous forme de racines carrées imbriquées : Autre propriété : ϕ = 1 + 1/ϕ.

Cette équation se retrouve sous forme de fraction continue, ce qui donne une expression infinie et élégante du nombre d’or : Ces propriétés révèlent la beauté algébrique du nombre d’or. (Cette équation est particulièrement intéressante car elle peut être résolue de manière répétitive pour obtenir une séquence infinie de fractions convergentes qui s’approchent du nombre d’or.) II)La suite de Fibonacci et sa convergence vers φ En mathématiques, il existe une suite nommée la suite de Fibonacci qui correspond à une séquence infinie d’entiers où chaque nombre est la somme des deux précédents.

Elle commence généralement par 0 et 1, donnant ainsi : 0, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … La suite doit son nom à Leonardo Fibonacci qui, dans un problème récréatif posé dans l'ouvrage Liber abaci publié en 1202, décrit la croissance d'une population de lapins : « Quelqu’un a déposé un couple de lapins dans un certain lieu, clos de toutes parts, pour savoir combien de couples seraient issus de cette paire en une année, car il est dans leur nature de générer un autre couple en un seul mois, et qu’ils enfantent dans le second mois après leur naissance.

» Le problème de Fibonacci est à l'origine de la suite dont le nième terme correspond au nombre de paires de lapins au n-ième mois. Cette suite peut être défini par les relations de récurrence suivantes : F0=0, F1=1, Fn=Fn−1+Fn−2 pour n≥2 La relation entre le nombre d’or et la suite de Fibonacci est étonnante et a captivé l’attention des mathématiciens et des artistes depuis sa découverte.

Lorsque l’on prend deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci et que l’on divise le plus grand par le plus petit, le résultat s’approche de plus en plus du nombre d’or à mesure que l’on prend des nombres plus grands.

On considère donc la séquence de fractions partielles définie par : Où Fn/Fn-1 est la n-ième approximation de φ.

Cette séquence commence avec la fraction 1/1, puis chaque terme suivant est obtenu en ajoutant 1 à l’inverse de la fraction précédente.

Mathématiquement, cela peut être formalisé par les relations de récurrence suivantes : Ces relations montrent comment chaque terme de la séquence est construit à partir des termes précédents.

À mesure que n tend vers l’infini, les fractions Fn/Fn−1 convergent vers φ.

Cela signifie que plus nous prenons de termes dans la séquence, plus nos approximations de φ deviennent précises. Ainsi Cette relation avec la suite.... »