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Maths cours ECS

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R´esum´e d’un cours de math´ematiques 2019 − 2020 e rehn`el´e cuo H B 1 S C E Cl´ement Dunand Les math´ematiques ne sont pas une moindre immensit´e que la mer. (Victor Hugo) `res Table des matie ´ ements de logique 1 El´ 1 Assertions . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . 1.2 Quantificateurs . . . . . . . . . 1.3 M´ethode de d´emonstration . . 2 Op´erations ´el´ementaires . . . . . . . . 2.1 N´egation . . . . . . . . . . . . 2.2 D´efinitions . . . . . . . . . . . 2.3 M´ethodes de d´emonstration . . 3 Implication . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . 3.2 Contrapos´ee . . . . . . . . . . . 3.3 M´ethodes de d´emonstration . . 3.4 Raisonnement par l’absurde . . ´ 4 Equivalence . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . 4.2 M´ethode de d´emonstration . . 5 Autres types de raisonnements . . . . 5.1 Raisonnement par r´ecurrence . 5.2 D´emontrer existence et unicit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 7 8 8 9 9 9 10 11 11 12 12 12 13 13 13 13 13 14 2 Calculs alg´ ebriques 17 1 Sommes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 Sommes doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ´ 3 Etudes de fonctions 1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Op´erations . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Repr´esentation graphique . . . . . . . 2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . 3 D´erivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Variations . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Fonctions polynomiales et rationnelles 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 23 23 24 26 27 27 28 28 28 29 30 31 31 4.2 4.3 4.4 4.5 Exponentielles et logarithmes Puissances . . . . . . . . . . . Croissances compar´ees . . . . Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Nombres complexes 1 Forme alg´ebrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Calculs, conjugaison, module . . . . . . . . . . . . . 1.3 Interpr´etation g´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Binˆome de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 R´esolution d’´equations du second degr´e . . . . . . . 2 Forme trigonom´etrique d’un nombre complexe . . . . . . . . 2.1 Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Argument et forme trigonom´etrique . . . . . . . . . 2.3 Interpr´etation g´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Exemple fondamental des racines n-i`emes de l’unit´e 5 Ensembles et d´ enombrement 1 Ensembles et applications . . . . 2 D´enombrement . . . . . . . . . . 2.1 Ensembles et parties finis 2.2 Op´erations . . . . . . . . 2.3 p-listes . . . . . . . . . . . 2.4 p-arrangements . . . . . . 2.5 p-combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 35 36 37 . . . . . . . . . . . 39 39 39 39 42 43 44 46 46 48 49 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 51 54 54 55 55 55 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . termes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 59 59 60 61 61 62 62 64 65 66 66 66 67 68 68 7 Matrices et syst` emes lin´ eaires 1 Syst`emes lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 71 71 71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Nombres r´ eels et suites num´ eriques 1 Corps des nombres r´eels . . . . . . . . . . . . 1.1 Intervalles de R . . . . . . . . . . . . . 1.2 Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . 1.3 Partie enti`ere . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Bornes sup´erieure et inf´erieure . . . . 2 Suites num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Suites usuelles . . . . . . . . . . . . . ´ 2.3 Etude d’une suite r´ecurrente lin´eaire `a 3 Convergence, divergence . . . . . . . . . . . . 3.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Op´erations sur les limites . . . . . . . 3.4 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . 3.5 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Calcul 2.1 2.2 R´esolution d’un syst`eme matriciel . . . . . . . . . Op´erations matricielles . Matrices inversibles . . 8 Arithm´ etique des polynˆ omes 1 D´efinitions . . . . . . . . . . 2 Op´erations . . . . . . . . . 3 Racines d’un polynˆ ome . . . 4 Polynˆomes d´eriv´es . . . . . 5 Factorisation dans K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 74 74 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 77 78 80 82 84 9 Probabilit´ es sur un univers fini 1 Exp´erience al´eatoire . . . . . . . 2 Loi de probabilit´e . . . . . . . . . 3 Probabilit´es conditionnelles . . . 4 Ind´ependance . . . . . . . . . . . 5 Variables al´eatoires finies . . . . 5.1 Variables al´eatoires r´eelles 5.2 Esp´erance, variance . . . 5.3 Lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 87 87 88 90 91 91 92 94 ´ 10 Etude des fonctions r´ eelles ´ 1 Etude locale des fonctions r´eelles . . . . . . . 1.1 Limites, continuit´e . . . . . . . . . . . 1.2 Op´erations . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Fonctions continues . . . . . . . . . . 2 D´erivation des fonctions r´eelles . . . . . . . . 2.1 D´erivabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 D´eriv´ees successives . . . . . . . . . . 2.3 Un exemple incontournable . . . . . . ´ 2.4 Etude globale des fonctions d´erivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 97 97 99 101 102 102 104 105 105 . . . . . . . . . . 11 Int´ egration sur un segment 107 1 Primitives et int´egrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 2 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 12 Techniques d’approximation 1 Relations de comparaison . . . . . . . . 2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . 3 D´eveloppements limit´es . . . . . . . . . 3.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . 3.2 Op´erations . . . . . . . . . . . . 3.3 D´eveloppements limit´es usuels en 4 Compl´ements d’analyse fonctionnelle . . 4.1 Extrema . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Convexit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Bijectivit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Noyau, image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Projecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 En dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Interpr´etation matricielle des applications lin´eaires 15 Probabilit´ es sur un univers quelconque 1 Cadre g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Probabilit´e . . . . . . . . . . . . 1.3 Probabilit´es conditionnelles . . . 1.4 Ind´ependance . . . . . . . . . . . 1.5 Variables al´eatoires r´eelles . . . . 2 Variables al´eatoires discr`etes . . . . . . . 2.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . 2.2 Moments . . . . . . . . . . . . . 2.3 Lois usuelles . . . . . . . . . . . 3 Variables al´eatoires ` a densit´e . . . . . . 3.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . 3.2 Lois usuelles . . . . . . . . . . . 16 Int´ egrales g´ en´ eralis´ ees, s´ eries 1 Int´egrales sur un intervalle quelconque 1.1 Convergence . . . . . . . . . . 1.2 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . ´ 2 Etude de convergence . . . . . . . . . 2.1 Int´egrales de r´ef´erence . . . . . 2.2 Cas des fonctions positives . . 2.3 Cas g´en´eral . . . . . . . . . . . 3 S´eries num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 125 125 127 128 129 131 132 133 135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 . 139 . 139 . 140 . 141 . 142 . 143 . 144 . 145 . 148 . . . . . . . . . . . . . 151 . 151 . 151 . 152 . 155 . 156 . 157 . 159 . 160 . 161 . 163 . 165 . 165 . 168 . . . . . . . . 173 . 173 . 173 . 173 . 174 . 174 . 175 . 176 . 176 4 3.1 3.2 ´ Etude 4.1 4.2 4.3 D´efinitions . . . . . . Propri´et´es . . . . . . . de convergence . . . . S´eries ` a termes positifs Cas g´en´eral . . . . . . S´eries de r´ef´erence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 177 178 178 178 179 17 Probabilit´ es et convergences 181 1 Convergence en probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 2 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 9 Chapitre 1 ´ e ´ments de logique El 1 Assertions On admet pour commencer qu’il existe exactement deux valeurs logiques : vrai et faux. 1.1 D´ efinitions D´ efinition 1.1 On appelle assertion ou proposition toute d´eclaration susceptible d’ˆetre vraie (V ) ou fausse (F ). Remarques. • Un axiome est une proposition dont on admet la v´eracit´e et qui est `a la base d’une th´eorie math´ematique. • Une conjecture est une assertion dont on soup¸conne qu’elle est vraie sans pour autant pouvoir le d´emontrer. D´ efinition 1.2 La d´ emonstration d’une assertion A est une succession (finie) de propositions dont la (les) premi`eres sont ´etablies (axiomes ou donn´ees), dont la v´eracit´e de chacune des suivantes se d´eduit des pr´ec´edentes par un lien logique et dont la derni`ere est A. Remarque. Une assertion ainsi d´emontr´ee peut se d´ecliner en plusieurs nuances : • le th´ eor` eme, r´esultat souvent important d’un domaine math´ematique, • la propri´ et´ e, th´eor`eme secondaire ou d´ecrivant un aspect ou ´enon¸cant un r´esultat technique propre ` a un objet math´ematique, • le lemme, r´esultat pr´eliminaire ou interm´ediaire utile `a la d´emonstration d’un th´eor`eme plus important, • le corollaire, cons´equence d’un th´eor`eme ou d’une propri´et´e, pr´esentant souvent une utilisation pratique et/ou fr´equente de ce r´esultat. 11 12 ECS1 2019–2020 H. Boucher 1.2 Quantificateurs ´ ements de logique 1. El´ D´ efinition 1.3 Soit A(x) une assertion d´ependant d’une variable x. • L’assertion ∀x, A(x) est vraie lorsque l’assertion A(x) est vraie quel que soit l’objet x. • L’assertion ∃x, A(x) est vraie lorsqu’il existe un objet x tel que l’assertion A(x) soit vraie. • L’assertion ∃!x, A(x) est vraie lorsqu’il existe un unique objet x tel que l’assertion A(x) soit vraie. D´ efinition 1.4 • Un exemple est un objet x particulier tel que A(x) soit vraie. • Un contre-exemple est un objet x particulier tel que A(x) soit fausse. 1.3 M´ ethode de d´ emonstration Pour montrer une proposition du type ∀x ∈ E, A(x) : • Commencer par  Soit x ∈ E. . ´ • Ecrire une d´emonstration de l’assertion A(x). • Conclure :  On a donc montr´e que ∀x ∈ E, A(x). . Exemple. D´emontrer que tous les entiers naturels sont divisibles par 1. Pour montrer une proposition du type ∃x ∈ E, A(x) : • Choisir judicieusement un ´el´ement x0 ∈ E :  On pose x = x0 . . ´ • Ecrire une d´emonstration de l’assertion A(x0 ). • Conclure :  On a donc montr´e que ∃x ∈ E, A(x). . Exemple. D´emontrer qu’il existe un entier sup´erieur `a 28. Pour montrer une proposition du type ∃!x ∈ E, A(x), • Existence : Montrer que ∃x ∈ E, A(x). • Unicit´e : poser x1 et x2 tels que A(x1 ) et A(x2 ) soient vraies ; montrer que x1 = x2 . • Conclure : Exemple.  On a donc montr´e que ∃!x ∈ E, A(x). . D´emontrer qu’il existe un unique x ∈ R+ dont la racine carr´ee vaut 7. Combinaison de quantificateurs Bien ´evidemment on ne peut pas interchanger des quantificateurs ni changer l’ordre de quantificateurs diff´erents. Exemples. Vrai ou faux ? (1) ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, y = 2x. (2) ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, y = 2x. (3) ∃y ∈ R, ∀x ∈ R, y = 2x. ´ ements de logique 1. El´ ECS1 2019–2020 H. Boucher 2 13 Op´ erations ´ el´ ementaires Dans la suite, A, B et C d´esignent des assertions. 2.1 N´ egation D´ efinition 1.5 On appelle n´ egation ou contraire de A la proposition qui est vraie lorsque A est fausse et fausse lorsque A est vraie. Notation. A (ou ¬A) d´esigne la n´egation de A. Remarque. A ≡ A. Pour ´ecrire la n´egation d’une assertion, • on change les ∃ en ∀ et inversement, • on change les ´egalit´es en diff´erences, les in´egalit´es en in´egalit´es contraires (les in´egalit´es strictes deviennent larges et vice-versa). Exemple. Il existe un chat ↓ Tous les chats ont 2.2 dont tous les poils ↓ au moins un poil sont gris. ↓ pas gris. D´ efinitions D´ efinition 1.6 Deux assertions sont dites logiquement ´ equivalentes lorsqu’elles prennent toujours la mˆeme valeur de v´erit´e. Notation. Deux assertions logiquement ´equivalentes sont not´ees A ≡ B. D´ efinition 1.7 On d´efinit le connecteur v´erit´e suivantes.  et A V V F F  (not´e ∧) et le connecteur B V F V F A∧B V F F F A V V F F B V F V F  ou  (not´e ∨) par les tables de A∨B V V V F Remarques. • Si A est vraie, alors A ∨ B est toujours vraie (quelle que soit la valeur de B). 14 ´ ements de logique 1. El´ ECS1 2019–2020 H. Boucher • Si A est fausse, alors A ∧ B est toujours fausse (quelle que soit la valeur de B). Proposition 1.8 (R` egles de calcul) (i) Principe du tiers exclu : A ∨ A est toujours vraie et A ∧ A est toujours fausse. (ii) (Lois de De Morgan) (A ∨ B) ≡ A ∧ B et (A ∧ B) ≡ A ∨ B, (iii) A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C), (iv) A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C). Remarque.   Les lois de De Morgan donnent aussi A ∨ B ≡ A ∧ B et A ∧ B ≡ A ∨ B . Il suffit d’en ´ecrire la n´egation (et d’utiliser A ≡ A). D´ em. 1.8 On ´ecrit la table de v´erit´e de chacun des termes de ces propositions. (i) A V F A A∨A F V V V A V V F F B V F V F et A∧A F F A V F A F V A F F V V B A∧B F F V F F F V V (ii) A ∨ B (A ∨ B) V F V F V F F V Le second est sur le mˆeme principe et laiss´e au lecteur. (iii) A V V V V F F F F B V V F F V V F F C V F V F V F V F B∧C V F F F V F F F A ∨ (B ∧ C) V V V V V F F F A∨B A∨C V V V V V V V V V V V F F V F F (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) V V V V V F F F (iv) Sur le mˆeme principe ou en jouant avec les lois de De Morgan : A ∧ (B ∨ C) ≡ A ∨ (B ∨ C) ≡ A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) ≡ A ∨ B ∨ A ∨ C. Donc A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C). 2.3 M´ ethodes de d´ emonstration Pour d´emontrer une assertion du type  A et B , ´ ements de logique 1. El´ ECS1 2019–2020 H. Boucher • ´ecrire une d´emonstration de l’assertion A, • ´ecrire une d´emonstration de l’assertion A • conclure par  On a donc montr´e que A et B. . Pour d´emontrer une assertion du type  A ou B , • supposer l’assertion A, • ´ecrire une d´emonstration de l’assertion B • conclure par 3 3.1  On a donc montr´e que A ou B. . Implication D´ efinition D´ efinition 1.9 On d´efinit l’implication A ⇒ B (lire Remarque.  A implique B ) par A ∨ B. Le faux implique tout (et n’importe quoi). Th´ eor` eme 1.10 (i) Si A est vraie et si A ⇒ B est vraie, alors B est vraie. (ii) Si A ⇒ B et B ⇒ C sont vraies, alors A ⇒ C est vraie. D´ em. 1.10 (i) M1 Supposons que A est vraie, ainsi que A ⇒ B, c’est `a dire A ∨ B. Comme A est vraie, A est fausse. Donc B est vraie. M2 A ∧ (A ⇒ B) ≡ A ∧ (A ∨ B) ≡ (A ∧ A) ∨ A ∧ B ≡ A ∧ B (car A ∧ A est fausse). Ceci implique que B est vraie. (ii) Troisi`eme m´ethode pour d´emontrer ce type d’assertions : ´ecrire les tables de v´erit´e. C’est l’occasion de voir celle de A ⇒ B (qui n’est autre que celle de A ∨ B). A V V V V F F F F B V V F F V V F F C V F V F V F V F A⇒B B⇒C V V V F F V F V V V V F V V V V (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C) V F F F V F V V A⇒C V F V F V V V V 15 16 ECS1 2019–2020 H. Boucher 3.2 Contrapos´ ee ´ ements de logique 1. El´ D´ efinition 1.11 On appelle contrapos´ ee de l’implication A ⇒ B l’implication B ⇒ A. Proposition 1.12 Une implication et sa contrapos´ee sont logiquement ´equivalentes. D´ em. 1.12 Simple jeu de n´egations en utilisant la commutativit´e du A ⇒ B ≡ A ∨ B ≡ B ∨ A ≡ B ∨ A ≡ B ⇒ A. 3.3  ou  : M´ ethodes de d´ emonstration Face `a un ´enonc´e du type Montrer que si A alors B. plusieurs m´ethodes possibles. Pour montrer que A ⇒ B, M´ ethode directe • commencer par  On suppose A. , • ´ecrire une d´emonstration de l’assertion B, • conclure par Exemple.  On a donc montr´e que A ⇒ B. . Soit n un entier. D´emontrer que si n est impair, alors n2 est impair. M´ ethode par contrapos´ ee ´equivalent (prop. 3.2). • Annoncer  Pour montrer que A ⇒ B, on d´emontre que B ⇒ A, ce qui est logiquement On va montrer par contrapos´ee que A ⇒ B , • commencer par  On suppose B. , • ´ecrire une d´emonstration de l’assertion A, • conclure par Exemple. 3.4  On a donc montr´e (par contrapos´ee) que A ⇒ B. . Soit n un entier. Montrer que si n2 est pair, alors n est pair. Raisonnement par l’absurde Pour montrer une assertion A, on d´emontre que son contraire entraˆ?ne une absurdit´e : • commencer par  On suppose A. , • d´emontrer une assertion fausse B, • conclure par Exemple. B ´etant fausse, on a d´emontr´e A par l’absurde. . x+1 Montrer que ∀x 6= −2, 6= 1. x+2  ´ ements de logique 1. El´ ECS1 2019–2020 H. Boucher 17 ´ Equivalence 4 4.1 D´ efinitions D´ efinition 1.13 • On appelle r´ eciproque de l’implication A ⇒ B l’implication B ⇒ A. • On d´efinit l’´ equivalence A ⇔ B (lire  A ´equivaut `a B ) par (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A). Th´ eor` eme 1.14 (i) A ⇔ B et B ⇔ A sont logiquement ´equivalentes. (ii) Si A ⇔ B et B ⇔ C sont vraies, alors A ⇔ C est vraie. D´ em. 1.14 (i) (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A) est ´equivalente `a (B ⇒ A) ∧ (A ⇒ B) (commutativit´e du  et ). (ii) Si A ⇔ B et B ⇔ C sont vraies, alors on a A ⇒ B et B ⇒ C et aussi B ⇒ A et C ⇒ B, ce qui implique (d’apr`es la transitivit´e de l’implication) que A ⇒ C et C ⇒ A, d’o` u A ⇔ C. 4.2 M´ ethode de d´ emonstration Sauf dans les cas les plus simples, pour d´emontrer que A ⇔ B, • d´emontrer que A ⇒ B, • d´emontrer que B ⇒ A, • conclure par  On a donc montr´e que A ⇔ B. . Remarque. Si la situation s’y prˆete, pour d´emontrer directement A ⇔ B, on part de A, puis on ´ecrit une succession d’assertions toutes ´equivalentes dont la derni`ere est B. L’´equivalence doit ˆetre ´etablie ` a chaque   ´etape ; en particulier PAS DE DONC . 5 5.1 Autres types de raisonnements Raisonnement par r´ ecurrence Il s’agit de d´emontrer qu’une assertion d´ependant d’un entier naturel n est vraie quelle que soit la valeur prise par cet entier. 18 ´ ements de logique 1. El´ ECS1 2019–2020 H. Boucher Th´ eor` eme 1.15 (Principe de r´ ecurrence simple) Soit A(n) une assertion d´ependant de n ∈ N. On suppose que (i) A(0) est vraie, (ii) pour tout n ∈ N, A(n) ⇒ A(n + 1). Alors A(n) est vraie pour tout n ∈ N. Pour d´emontrer A(n) pour tout n ∈ N, Utilisation. • d´emontrer A(0), • ´ecrire  Soit n ∈ N. On suppose A(n). , • ´ecrire une d´emonstration de A(n + 1), • conclure par  On a donc d´emontr´e par r´ecurrence que ∀n ∈ N, A(n). . Remarque. Si on ne cherche ` a d´emontrer la propri´et´e qu’`a partir d’un certain rang, il suffit de remplacer  n ∈ N  par  n > n0 . Th´ eor` eme 1.16 (Principe de r´ ecurrence forte) Soit A(n) une assertion d´ependant de n ∈ N. On suppose que (i) A(0) est vraie, (ii) pour tout n ∈ N, (A(0) ∧ A(1) ∧ . . . ∧ A(n)) ⇒ A(n + 1). Alors A(n) est vraie pour tout n ∈ N. Pour d´emontrer A(n) pour tout n ∈ N, Utilisation. • d´emontrer A(0), • ´ecrire  Soit n ∈ N. On suppose A(k) pour tout 0 6 k 6 n. , • ´ecrire une d´emonstration de A(n + 1), • conclure par Exemple. 5.2  On a donc d´emontr´e par r´ecurrence forte que ∀n ∈ N, A(n). . Tout nombre entier n > 2 peut se d´ecomposer en produit de nombres premiers. D´ emontrer existence et unicit´ e Pour d´emontrer une assertion du style s´epar´ement l’existence et l’unicit´e.  Il existe un unique x v´erifiant la propri´et´e P  , on d´emontre • Pour montrer l’existence, il suffit d’exhiber un x qui v´erifie la propri´et´e P . C’est le plus difficile en g´en´eral. Plus rarement, on peut avoir recours `a un th´eor`eme d´ej`a d´emontr´e qui ´etablit directement l’existence de l’´el´ement x. • Pour montrer l’unicit´e, â on commence par  Soient x1 et x2 qui v´erifient la propri´et´e P  , â on montre que x1 = x2 . Une autre technique est le raisonnement par analyse-synth` ese. La partie analyse d´emontre l’unicit´e en trouvant l’´el´ement x voulu PUIS la synth`ese v´erifie son existence. En pratique, ´ ements de logique 1. El´ ECS1 2019–2020 H. Boucher • on suppose qu’on a un r´esultat :  19 Analyse : soit x v´erifiant la propri´et´e P . , • on raisonne par conditions n´ecessaires pour en d´eduire qui est x :  Alors . . . Alors x = . . ..  • on v´erifie que le x trouv´e v´erifie bien la propri´et´e P :  Synth`ese : soit x = . . .. Alors . . . Alors x v´erifie la propri´et´e P . Remarques. • Si on regarde bien, on d´emontre en fait par double implication que x v´erifie la propri´et´e P ⇔ x = . . . . • Ce type de raisonnement s’´etend ` a des questions du type  D´eterminer tous les x v´erifiant la propri´et´e P . On examine un x qui y r´epond, on trouve (analyse) par conditions n´ecessaires tous les candidats, puis on v´erifie (synth`ese) lesquels v´erifient effectivement la propri´et´e P . Exemples. x4 x2 − . 4 2 • Montrer que toute fonction r´eelle peut s’´ecrire de mani`ere unique comme somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire. • D´eterminer tous les minima locaux de x 7→ 20 ECS1 2019–2020 H. Boucher ´ ements de logique 1. El´ Chapitre 2 ´briques Calculs alge Notations. Soient (uk )k ∈ N une suite de nombres (r´eels ou complexes) et m, n ∈ N tels que m 6 n. La somme et le produit d’´el´ements successifs de la suite se notent de la mani`ere suivante. um + . . . + un = n X uk , k=m um × . . . × un = n Y uk . k=m Remarque. On peut aussi imaginer (et c’est la notation qu’on emploiera pour ´enoncer les propri´et´es en toute g´en´eralit´e) une famille d’´el´ements index´ee par un sous-ensemble I de N : (ui )i∈I , dont on ´ecrit la somme X ui . i∈I 1 Sommes usuelles Proposition 2.1 (Somme t´ elescopique) Soit (an ) une famille de nombres complexes. Alors n X ak − ak−1 = an − a0 . k=1 D´ em. 2.1 Init. 1 X ak − ak−1 = a1 − a0 .. k=1 ∗ H´er. Soit n ∈ N . On suppose que n X ak − ak−1 = an − a0 . k=1 n+1 X k=1 ak − ak−1 = n X (ak − ak−1 ) + an+1 − an = an − a0 + an+1 − an = an+1 − a0 . k=1 21 22 2. Calculs alg´ebriques ECS1 2019–2020 H. Boucher Proposition 2.2 Soit n ∈ N. Alors n X n(n + 1) , (i) k= 2 k=0 n X n(n + 1)(2n + 1) , 6 k=0   n X n(n + 1) 2 3 (iii) . k = 2 (ii) k2 = k=0 D´ em. 2.2 (i) Init. 0 X k=0= k=0 0(0 + 1) . 2 H´er. Soit n ∈ N. On suppose que n X k= k=0 n+1 X n X k= k=0 (ii) Init. 0 X ! k +n+1= k=0 k2 = 0 = k=0 n(n + 1) (n + 1)(n + 2) +n+1= . 2 2 0(0 + 1)(2 × 0 + 1) . 6 H´er. Soit n ∈ N. On suppose que n X k2 = k=0 n+1 X n(n + 1) . 2 n X n(n + 1)(2n + 1) . 6 ! n(n + 1)(2n + 1) + (n + 1)2 , 6 k=0 k=0 (n + 1)(n(2n + 1) + 6(n + 1)) soit et on v´erifie que : 6 n+1 X (n + 1)(n + 2)(2n + 3) . k2 = (n + 2)(2n + 3) = n(2n + 1) + 6(n + 1). D’o` u 6 k2 = k2 + (n + 1)2 = k=0 (iii) La r´ecurrence fonctionne, mais on pr´esente ici une autre m´ethode, adaptable ´egalement aux formules pr´ec´edentes. On d´eveloppe une formule du binˆ ome : (k + 1)4 = k 4 + 4k 3 + 6k 2 + 4k + 1. Donc (k + 1)4 − k 4 = 4k 3 + 6k 2 + 4k + 1, que l’on va sommer de 0 `a n. n n n n n X X X X X (k + 1)4 − k 4 = 4 k3 + 6 k2 + 4 k+ 1. k=0 k=0 k=0 k=0 k=0 Le membre de gauche est t´elescopique et on connaˆ?t toutes les sommes du membre de droite, `a l’exception de celle recherch´ee bien sˆ ur. D’o` u: n X n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1) (n + 1)4 = 4 k3 + 6 +4 + n + 1. 6 2 k=0 Il reste `a v´erifier que (n + 1)4 − n(n + 1)(2n + 1) − 2n(n + 1) − (n + 1) = n2 (n + 1)2 et 2. Calculs alg´ebriques ECS1 2019–2020 H. Boucher on a alors n X k3 = k=0 n2 (n + 1)2 . 4 Th´ eor` eme 2.3 (Progression arithm´ etique) Soient (uk )k une suite arithm´etique de raison r et m, n ∈ N. Alors n X uk = (n − m + 1) × k=m um + un . 2 D´ em. 2.3 (un ) est arithm´etique donc pour tout k > m, uk = um + (k − m)r. n n n n n X X X X X uk = (um + (k − m)r) = um + (k − m)r = (n − m + 1)um + r (k − m). k=m Or k=m n X (k − m) = k=m Donc k=m n X n−m X k=0 k=m k=m (n − m)(n − m + 1) . k= 2 uk = (n − m + 1)(um + k=m n−m um + un ) = (n − m + 1) . 2 2 Th´ eor` eme 2.4 (Progression g´ eom´ etrique) Soient (vk )k une suite g´eom´etrique de raison q et m, n ∈ N. Alors n X k=m vk = vm − vn+1 1 − q n−m+1 = vm × . 1−q 1−q D´ em. 2.4 (1 − q) n X k=m vk = n X (vk − qvk ). Or qvk = vk+1 . Donc (1 − q) k=m n X k=m reconnaˆ?t une somme t´elescopique. n n X X vm − vn+1 (1 − q) vk = vm − vn+1 , donc vk = . 1−q k=m k=m Th´ eor` eme 2.5 (Identit´ e remarquable) Soient a, b ∈ C et n ∈ N∗ . Alors an − bn = (a − b) n−1 X k=0 ak bn−1−k . vk = n X k=m (vk − vk+1 ) et on 23 24 2. Calculs alg´ebriques ECS1 2019–2020 H. Boucher D´ em. 2.5 (a − b) n−1 X k n−1−k a b = k=0 n−1 X a k+1 n−1−k b − k=0 n−1 X k n−k a b k=0 = n−1 X ak+1 bn−(k+1) − ak bn−k . k=0 n n On reconnaˆ?t une somme t´elescopique, d’o` u a − b = (a − b) n−1 X ak bn−1−k . k=0 2 Propri´ et´ es Proposition 2.6 Soient I un ensemble fini et (ai )i ∈ I et (bi )i∈I deux familles de nombres complexes. Soit λ une constante. Alors • X i∈I • X λai = λ X • i∈I ai + bi = i∈I • !λ ai , X Y aλi = i∈I ai + i∈I X bi , • i∈I • ai bi = , Y ai × Y i∈I bi , i∈I Y Y (λai ) = λp ai , i∈I i∈I ai i∈I i∈I X X (λ + ai ) = pλ + ai , i∈I Y Y i∈I o` u p est le nombre d’´el´ements de I. Remarque. 3 Par convention, une somme vide vaut 0 et un produit vide vaut 1. Sommes doubles ´ Notations. Etant donn´es deux ensembles finis I et J, une famille d’´el´ements index´ee par I et J se note (ai,j )(i,j)∈I×J ou (aij ) i∈I . La somme de ces ´el´ements est not´ee j∈J X aij ou X aij . i∈I j∈J (i,j)∈I×J Remarque. Dans le cas particulier o` u I = Jm, nK et J = Jp, q K sont des ensembles d’entiers successifs, on note la somme X aij . m6i6n p6j6q 2. Calculs alg´ebriques ECS1 2019–2020 H. Boucher Th´ eor` eme 2.7 (Indexation sur un rectangle) Soient m, n, p, q ∈ N et (aij )m6i6n une famille de nombres complexes. Alors p6j6q X aij = m6i6n p6j6q q n X X aij = i=m j=p q X n X aij . j=p i=m <...

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