probabilités conditionelles

« Probabilités conditionnelles I.

Probabilité conditionnelle Soit p une probabilité sur un univers Ω. A.

Probabilité de A sachant que B est réalisé : 1.

Définition : soient A et B deux événements de l’univers Ω tels que p(B) , 0. La probabilité de A sachant que B est réalisé est le nombre noté pB (A) égal à : pB (A) = Exercice : une enquête sur les gauchers porte sur une population de 8735 élèves. On a recensé 1130 gauchères et gauchers répartis en 681 garçons et 449 filles. On choisit un élève au hasard ayant participé à cette enquête. 1.

Quelle est la probabilité que l’élève soit gaucher ? 2.

Quelle est la probabilité que l’élève soit une fille gauchère ? 3.

Quelle est la probabilité que l’élève soit une fille sachant que c’est un élève gaucher ? 2.

Conséquences immédiates de la définition : • si p(B) , 0 , on a : Preuve : p(A ∩ B) = pB (A) × p(B) • si p(A) , 0 , on a : p(A ∩ B) = pA (B) × p(A) 3.

Propriété : Soient A et B sont deux événements tels que p(B) , 0 ; pB (A) + pB (A) = 1 B.

Probabilités totales : 1.

Propriétés : Soient A et B sont deux événements tels que p(B) , 0. • p(A ∩ B) + p(A ∩ B) = p(A) Preuve • Formule des probabilités totales : p(A) = pB (A) × p(B) + pB (A) × p(B) 1 p(A ∩ B) p(B) Illustration à l’aide d’un arbre pondéré 1.

Généralisation : • Partition de l’univers Ω : signifie que : n événements B1 ; B2 ; B3 ; ......; Bn forment une partition de Ω B1 ∪ B2 ∪ B3 ∪ ......

∪ Bn = Ω et B1 ; B2 ; B3 ; ......; Bn sont deux à deux disjoints • Propriété : formule des probabilités totales Si B1 ; B2 ; B3 ; ......; Bn forment une partition de l’univers Ω alors A = (A ∩ B1 ) ∪ (A ∩ B2 ) ∪ (A ∩ B3.... »